Logica matematică este știința demonstrației. Legile generale de raționament corect.
Operează cu propoziții și predicate.
Definiția: propoziția în care includem proprietăți esențiale. Tindem spre laconism.
Folosim propoziții enunțiative.
Deducția este aplicarea unui set de reguli într-o situație pentru a extrage o concluzie.
Logica matematică operează cu definiții, propoziții, predicate, operatori logici, cuantificatori și reguli de deducție.
Principiul identității În cadrul oricărui proces de raționament, noțiunile, propozițiile, predicatele, notațiile, etc. trebuie utilizate într-o singură accepțiune și numai una.
Principiul non-contradicției Ceva nu poate fi și adevărat și fals.
Principiul terțului exclus Propozițiile pot fi adevărate sau false, iar logica matematică se bazează pe cerința că o a treia stare nu există
Principiul rațiunii suficiente Exceptând axiomele, toate afirmațiile acceptate drept adevărate se bazează doar pe demonstrații corecte, care folosesc numai adevăruri deja cunoscute, suficient de întemeiate. Concluziile trebuie obținute doar pe cale deductivă.
Antinomii Antinomiile semantice Formulările echivoce Utilizarea dublei negații cu rol de negație simplă
Simboluri Orice, există, negație, aparține, nu aparține, rezultă, echivalent, intersecție, reuniuni, disjuncție, conjuncție.
Gottlob Frege vs Bertrand Russell
Paradoxul lui Russell
David Hilbert
- matematica este consistentă
- matematica este completă
- matematica este decidabilă
Kurt Godel
- incompletitudinea aritmeticii obișnuite
- imposibilitatea de a demonstra consistența teoriei mulțimilor
Alan Turing
- a demonstrat că logica de ordinul întâi este nedecidabilă
Formulăm definiții prin genul proxim și … specie