Arie orientată

Pentru $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$, $C(x_3;y_3)$ într-un sistem rectangular cartezian:

$$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|$$

• $S>0$ ⇔ $A\to B\to C$ se parcurge contrar acelor (triunghi orientat pozitiv);
• $S<0$ ⇔ se parcurge în sensul acelor;
• $S=0$ ⇔ punctele sunt coliniare.

Aria obișnuită: valoarea absolută, $\frac{1}{2}|\det |$. Aria paralelogramului construit pe $\vec{a}$, $\vec{b}$: $|a_1{b}_2-a_2{b}_1|$.

Schimbarea a două vârfuri schimbă semnul; o permutare circulară ($ABC\to BCA$) îl păstrează.

Vine din $S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}$ cu unghiul orientat — de aici semnul. Cu unghiul interior $\hat{A}$ formula dă mereu un număr pozitiv.

Vezi: Aria triunghiului în coordonate · Unghi orientat · Orientarea planului