Geometrie analitică în plan

Notițe de curs sistematizate, explicate pas cu pas și ilustrate: vectori, operații cu vectori, dependență liniară, baze, repere și coordonate, metrica planului, coordonate polare, produsul scalar, unghiul orientat, aria triunghiului, transformarea coordonatelor, spațiul V₃ și ecuațiile dreptei.

Acoperă §1–§7, §9–§16 și §20–§21 din manual. → toate cursurile

Material neoficial

Aceste notițe urmează manualul lui L. Calmuțchi, D. Afanas și M. Cioban, Geometrie analitică în plan (UST, Chișinău, 2014). Nu sunt aprobate de autorii manualului, de titularul cursului sau de universitate și nu înlocuiesc manualul. Detalii în Despre, surse și licență.

Începeți de aici

Cuprinsul complet, cu firul logic al cursului
Recapitulare — vectori — formularul §3–§7 pe o pagină
Recapitulare — baze și coordonate — formularul §9–§10 pe o pagină
Recapitulare — metrica planului — formularul §11–§15 pe o pagină
Recapitulare — dreapta în plan — formularul §20–§21 pe o pagină
Probleme rezolvate — vectori
Notații și simboluri
Surse originale — ce paragraf vine de unde și erorile găsite în manual

Capitole

§1 — Figuri geometrice simple. Paralelism

# Lecția Conținut
1 Figuri geometrice simple. Definiții și notare figură geometrică, convenții de notare
2 Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor paralelism dreaptă–dreaptă, dreaptă–plan, plan–plan; criterii
3 Orientarea semidreptelor. Direcție semidrepte coorientate / opus orientate, direcție

§2 — Segmente orientate. Echipolență

# Lecția Conținut
1 Segmente orientate. Segmente echipolente segment orientat, echipolență, criteriul de echipolență

§3 — Vectori

# Lecția Conținut
1 Vectori vectorul ca clasă de echivalență, reprezentant, teorema reprezentantului unic
2 Coliniaritatea și orientarea vectorilor vectori coliniari, $↑↑$ și $↑↓$
3 Modulul vectorului. Vectorul opus $∣ a ∣$ , $- a$ , vectorul liber
4 Vectori aplicați, alunecători și liberi tipuri de vectori, mărime vectorială

§4 — Adunarea și scăderea vectorilor

# Lecția Conținut
1 Adunarea vectorilor. Regula triunghiului și a poligonului linia frântă, relația lui Chasles
2 Regula paralelogramului diagonala paralelogramului; comparație cu regula triunghiului
3 Proprietățile adunării vectorilor comutativitate, asociativitate, $0$ , $- a$
4 Scăderea vectorilor diferența ca operație inversă

§5 — Produsul vectorului la un număr

# Lecția Conținut
1 Produsul vectorului la un număr definiția 5.1, omotetia
2 Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr proprietățile 4–6, cu demonstrații
3 Raportul a doi vectori coliniari definiția 5.2, teorema 5.3

§6 — Dependența și independența liniară

# Lecția Conținut
1 Combinație liniară. Dependență și independență liniară definițiile 6.1–6.4
2 Teoremele fundamentale ale dependenței liniare teoremele 6.5–6.7, corolarul 6.8
3 Vectori coplanari definiție, paralelipipedul
4 Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari teorema 6.9
5 Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară teoremele 6.10 și 6.11

§7 — Spații vectoriale

# Lecția Conținut
1 Spațiul vectorial al vectorilor liberi cele 8 proprietăți, subspații, $L (a, b)$

§8 — Axa numerică (neconspectat)

Manualul, p. 35–39. Din el se folosesc în §10 definiția raportului pe dreaptă și explicația pentru $λ \neq = - 1$ — rezumate în Împărțirea segmentului în raportul dat.

§9 — Spațiul V₂

# Lecția Conținut
1 Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului sistem de vectori coplanari, dimensiunea 2, exemplul 9.3
2 Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului definiția 9.1, coordonatele în bază
3 Reperul afin în plan. Tipuri de repere definiția 9.2; repere cartezian, rectangular, rectangular cartezian

§10 — Sistemul afin de coordonate în plan. Împărțirea segmentului în raportul dat

# Lecția Conținut
1 Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane axe, origine, definiția 10.1, cadrane
2 Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor orientare stângă/dreaptă, poligoane și unghiuri orientate
3 Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice definițiile 10.2–10.3, teorema 10.4
4 Operații cu vectori în coordonate proprietățile 1⁰–5⁰, concluzia 10.5
5 Coordonatele punctului. Raza vectoare definițiile 10.6–10.7, formula (5)
6 Împărțirea segmentului în raportul dat definiția 10.8, formulele (6)–(9)

§11 — Sistemul de coordonate rectangular cartezian

# Lecția Conținut
1 Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector proprietățile 1⁰–2⁰, formulele (10)–(11), $tg φ = y / x$
2 Distanța dintre două puncte proprietatea 3⁰, formula (12), exemplul 11.1

§12 — Sistemul polar de coordonate

# Lecția Conținut
1 Reperul polar. Coordonate polare pol, axă polară, rază polară, unghi polar
2 Trecerea între coordonate polare și carteziene $x = r cos φ$ , $y = r sin φ$ și invers; exemplul 12.1

§13 — Produsul scalar a doi vectori

# Lecția Conținut
1 Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate definiția unghiului, independența de $O$ , $a ⊥ b$
2 Produsul scalar — definiție și interpretare definiția 13.1, formulele (1)–(2), exemplul 13.2
3 Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate teoremele 13.3 și 13.5, consecințele 13.4, 13.6, 13.7
4 Ce nu se transferă de la numere. Aplicații cele trei capcane, exemplul 13.8

§14 — Unghiul dintre doi vectori pe planul orientat. Aria triunghiului

# Lecția Conținut
1 Unghiul orientat dintre doi vectori definiția, $(- π; π]$ , relațiile (1)–(2)
2 Coordonatele vectorului prin unghiul orientat teorema 14.1, consecința 14.2, exemplul 14.3: $sin$ și $cos$ în coordonate
3 Aria triunghiului în coordonate aria orientată (8), aria (9), exemplele 14.4–14.5

§15 — Formulele de transformare ale coordonatelor

# Lecția Conținut
1 Transformarea sistemului afin de coordonate formulele (1)–(7), matricea de trecere, translația
2 Rotația sistemului rectangular cartezian cazurile cu aceeași orientare și cu orientări opuse, formulele (8)–(12)

§16 — Spațiul V₃ și baza lui

# Lecția Conținut
1 Baza spațiului V3. Teorema 16.1 teorema 16.1, consecința 16.2, dimensiunea 3, definiția 16.3
2 Coordonatele vectorului în spațiul V3 definiția 16.4, exemplul $P B_{1}$ , exemplul 16.5, teorema 16.6
3 Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului definiția 16.7, teorema 16.8

§17–§19 — Probleme (neconspectate)

Manualul, p. 75–92: utilizarea vectorilor și a metodei coordonatelor la rezolvarea problemelor, probleme propuse pentru lucrul individual.

Capitolul II. Dreapta pe plan

§20 — Diferite tipuri de ecuații ale dreptei

# Lecția Conținut
1 Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte vectorul director, ecuațiile (1)–(2′), exemplele 20.1–20.2
2 Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică ecuațiile (3)–(6), coeficientul unghiular $k = tg φ$

§21 — Ecuația generală a dreptei

# Lecția Conținut
1 Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3 teoremele 21.1–21.3, vectorul normal
2 Poziția dreptei față de axe cazurile $A$ , $B$ sau $C$ nul
Legătură către original

#	Lecția	Conținut
1	Figuri geometrice simple. Definiții și notare	figură geometrică, convenții de notare
2	Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor	paralelism dreaptă–dreaptă, dreaptă–plan, plan–plan; criterii
3	Orientarea semidreptelor. Direcție	semidrepte coorientate / opus orientate, direcție

#	Lecția	Conținut
1	Segmente orientate. Segmente echipolente	segment orientat, echipolență, criteriul de echipolență

#	Lecția	Conținut
1	Vectori	vectorul ca clasă de echivalență, reprezentant, teorema reprezentantului unic
2	Coliniaritatea și orientarea vectorilor	vectori coliniari, $↑↑$ și $↑↓$
3	Modulul vectorului. Vectorul opus	$∣ a ∣$ , $- a$ , vectorul liber
4	Vectori aplicați, alunecători și liberi	tipuri de vectori, mărime vectorială

#	Lecția	Conținut
1	Adunarea vectorilor. Regula triunghiului și a poligonului	linia frântă, relația lui Chasles
2	Regula paralelogramului	diagonala paralelogramului; comparație cu regula triunghiului
3	Proprietățile adunării vectorilor	comutativitate, asociativitate, $0$ , $- a$
4	Scăderea vectorilor	diferența ca operație inversă

#	Lecția	Conținut
1	Produsul vectorului la un număr	definiția 5.1, omotetia
2	Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr	proprietățile 4–6, cu demonstrații
3	Raportul a doi vectori coliniari	definiția 5.2, teorema 5.3

#	Lecția	Conținut
1	Combinație liniară. Dependență și independență liniară	definițiile 6.1–6.4
2	Teoremele fundamentale ale dependenței liniare	teoremele 6.5–6.7, corolarul 6.8
3	Vectori coplanari	definiție, paralelipipedul
4	Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari	teorema 6.9
5	Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară	teoremele 6.10 și 6.11

#	Lecția	Conținut
1	Spațiul vectorial al vectorilor liberi	cele 8 proprietăți, subspații, $L (a, b)$

#	Lecția	Conținut
1	Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului	sistem de vectori coplanari, dimensiunea 2, exemplul 9.3
2	Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului	definiția 9.1, coordonatele în bază
3	Reperul afin în plan. Tipuri de repere	definiția 9.2; repere cartezian, rectangular, rectangular cartezian

#	Lecția	Conținut
1	Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane	axe, origine, definiția 10.1, cadrane
2	Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor	orientare stângă/dreaptă, poligoane și unghiuri orientate
3	Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice	definițiile 10.2–10.3, teorema 10.4
4	Operații cu vectori în coordonate	proprietățile 1⁰–5⁰, concluzia 10.5
5	Coordonatele punctului. Raza vectoare	definițiile 10.6–10.7, formula (5)
6	Împărțirea segmentului în raportul dat	definiția 10.8, formulele (6)–(9)

#	Lecția	Conținut
1	Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector	proprietățile 1⁰–2⁰, formulele (10)–(11), $tg φ = y / x$
2	Distanța dintre două puncte	proprietatea 3⁰, formula (12), exemplul 11.1

#	Lecția	Conținut
1	Reperul polar. Coordonate polare	pol, axă polară, rază polară, unghi polar
2	Trecerea între coordonate polare și carteziene	$x = r cos φ$ , $y = r sin φ$ și invers; exemplul 12.1

#	Lecția	Conținut
1	Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate	definiția unghiului, independența de $O$ , $a ⊥ b$
2	Produsul scalar — definiție și interpretare	definiția 13.1, formulele (1)–(2), exemplul 13.2
3	Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate	teoremele 13.3 și 13.5, consecințele 13.4, 13.6, 13.7
4	Ce nu se transferă de la numere. Aplicații	cele trei capcane, exemplul 13.8

#	Lecția	Conținut
1	Unghiul orientat dintre doi vectori	definiția, $(- π; π]$ , relațiile (1)–(2)
2	Coordonatele vectorului prin unghiul orientat	teorema 14.1, consecința 14.2, exemplul 14.3: $sin$ și $cos$ în coordonate
3	Aria triunghiului în coordonate	aria orientată (8), aria (9), exemplele 14.4–14.5

#	Lecția	Conținut
1	Transformarea sistemului afin de coordonate	formulele (1)–(7), matricea de trecere, translația
2	Rotația sistemului rectangular cartezian	cazurile cu aceeași orientare și cu orientări opuse, formulele (8)–(12)

#	Lecția	Conținut
1	Baza spațiului V3. Teorema 16.1	teorema 16.1, consecința 16.2, dimensiunea 3, definiția 16.3
2	Coordonatele vectorului în spațiul V3	definiția 16.4, exemplul $P B_{1}$ , exemplul 16.5, teorema 16.6
3	Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului	definiția 16.7, teorema 16.8

#	Lecția	Conținut
1	Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte	vectorul director, ecuațiile (1)–(2′), exemplele 20.1–20.2
2	Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică	ecuațiile (3)–(6), coeficientul unghiular $k = tg φ$

#	Lecția	Conținut
1	Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3	teoremele 21.1–21.3, vectorul normal
2	Poziția dreptei față de axe	cazurile $A$ , $B$ sau $C$ nul

Susține proiectul

Totul rămâne gratuit. Dacă notițele te-au ajutat, ☕ îmi poți cumpăra o cafea.

Licență

Conținutul original este publicat sub licența CC BY-NC-SA 4.0: îl poți distribui și adapta, cu atribuire, necomercial și sub aceeași licență. Fragmentele citate din manual rămân ale autorilor lor. Vezi Despre, surse și licență.

Cursuri

Geometrie analitică în plan

Începeți de aici

Capitole

§1 — Figuri geometrice simple. Paralelism

§2 — Segmente orientate. Echipolență

§3 — Vectori

§4 — Adunarea și scăderea vectorilor

§5 — Produsul vectorului la un număr

§6 — Dependența și independența liniară

§7 — Spații vectoriale

§8 — Axa numerică (neconspectat)

§9 — Spațiul V₂

§10 — Sistemul afin de coordonate în plan. Împărțirea segmentului în raportul dat

§11 — Sistemul de coordonate rectangular cartezian

§12 — Sistemul polar de coordonate

§13 — Produsul scalar a doi vectori

§14 — Unghiul dintre doi vectori pe planul orientat. Aria triunghiului

§15 — Formulele de transformare ale coordonatelor

§16 — Spațiul V₃ și baza lui

§17–§19 — Probleme (neconspectate)

§20 — Diferite tipuri de ecuații ale dreptei

§21 — Ecuația generală a dreptei

Susține proiectul

Licență