Geometrie analitică în plan — index

Notițe de curs, sistematizate pe paragrafele cursului (§1–§7, §9–§16, §20–§21). Fiecare paragraf are folderul lui, cu lecțiile numerotate în ordinea predării și figurile alături.

Intrări rapide

• Recapitulare — vectori — tot formularul §3–§7 pe o pagină
• Recapitulare — baze și coordonate — tot formularul §9–§10 pe o pagină
• Recapitulare — metrica planului — tot formularul §11–§15 pe o pagină
• Recapitulare — dreapta în plan — tot formularul §20–§21 pe o pagină
• Notații și simboluri — ce înseamnă fiecare simbol
• Firul logic al cursului — de ce vine fiecare noțiune după cealaltă

Capitole

§1 — Figuri geometrice simple. Paralelism

#	Lecția	Conținut
1	Figuri geometrice simple. Definiții și notare	figură geometrică, convenții de notare
2	Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor	paralelism dreaptă–dreaptă, dreaptă–plan, plan–plan; criterii
3	Orientarea semidreptelor. Direcție	semidrepte coorientate / opus orientate, direcție

§2 — Segmente orientate. Echipolență

#	Lecția	Conținut
1	Segmente orientate. Segmente echipolente	segment orientat, echipolență, criteriul de echipolență

§3 — Vectori

#	Lecția	Conținut
1	Vectori	vectorul ca clasă de echivalență, reprezentant, teorema reprezentantului unic
2	Coliniaritatea și orientarea vectorilor	vectori coliniari, $\uparrow \uparrow$ și $\uparrow \downarrow$
3	Modulul vectorului. Vectorul opus	$|\vec{a}|$, $-\vec{a}$, vectorul liber
4	Vectori aplicați, alunecători și liberi	tipuri de vectori, mărime vectorială

§4 — Adunarea și scăderea vectorilor

#	Lecția	Conținut
1	Adunarea vectorilor. Regula triunghiului și a poligonului	linia frântă, relația lui Chasles
2	Regula paralelogramului	diagonala paralelogramului; comparație cu regula triunghiului
3	Proprietățile adunării vectorilor	comutativitate, asociativitate, $\vec{0}$, $-\vec{a}$
4	Scăderea vectorilor	diferența ca operație inversă

§5 — Produsul vectorului la un număr

#	Lecția	Conținut
1	Produsul vectorului la un număr	definiția 5.1, omotetia
2	Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr	proprietățile 4–6, cu demonstrații
3	Raportul a doi vectori coliniari	definiția 5.2, teorema 5.3

§6 — Dependența și independența liniară

#	Lecția	Conținut
1	Combinație liniară. Dependență și independență liniară	definițiile 6.1–6.4
2	Teoremele fundamentale ale dependenței liniare	teoremele 6.5–6.7, corolarul 6.8
3	Vectori coplanari	definiție, paralelipipedul
4	Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari	teorema 6.9
5	Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară	teoremele 6.10 și 6.11

§7 — Spații vectoriale

#	Lecția	Conținut
1	Spațiul vectorial al vectorilor liberi	cele 8 proprietăți, subspații, $L(\vec{a},\vec{b})$

§8 — Axa numerică (neconspectat)

Manualul, p. 35–39. Din el se folosesc în §10 definiția raportului pe dreaptă și explicația pentru $\lambda \ne -1$ — rezumate în Împărțirea segmentului în raportul dat.

§9 — Spațiul V₂

#	Lecția	Conținut
1	Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului	sistem de vectori coplanari, dimensiunea 2, exemplul 9.3
2	Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului	definiția 9.1, coordonatele în bază
3	Reperul afin în plan. Tipuri de repere	definiția 9.2; repere cartezian, rectangular, rectangular cartezian

§10 — Sistemul afin de coordonate în plan. Împărțirea segmentului în raportul dat

#	Lecția	Conținut
1	Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane	axe, origine, definiția 10.1, cadrane
2	Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor	orientare stângă/dreaptă, poligoane și unghiuri orientate
3	Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice	definițiile 10.2–10.3, teorema 10.4
4	Operații cu vectori în coordonate	proprietățile 1⁰–5⁰, concluzia 10.5
5	Coordonatele punctului. Raza vectoare	definițiile 10.6–10.7, formula (5)
6	Împărțirea segmentului în raportul dat	definiția 10.8, formulele (6)–(9)

§11 — Sistemul de coordonate rectangular cartezian

#	Lecția	Conținut
1	Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector	proprietățile 1⁰–2⁰, formulele (10)–(11), $\mathrm{tg}\phi =y/x$
2	Distanța dintre două puncte	proprietatea 3⁰, formula (12), exemplul 11.1

§12 — Sistemul polar de coordonate

#	Lecția	Conținut
1	Reperul polar. Coordonate polare	pol, axă polară, rază polară, unghi polar
2	Trecerea între coordonate polare și carteziene	$x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$ și invers; exemplul 12.1

§13 — Produsul scalar a doi vectori

#	Lecția	Conținut
1	Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate	definiția unghiului, independența de $O$, $\vec{a}\perp \vec{b}$
2	Produsul scalar — definiție și interpretare	definiția 13.1, formulele (1)–(2), exemplul 13.2
3	Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate	teoremele 13.3 și 13.5, consecințele 13.4, 13.6, 13.7
4	Ce nu se transferă de la numere. Aplicații	cele trei capcane, exemplul 13.8

§14 — Unghiul dintre doi vectori pe planul orientat. Aria triunghiului

#	Lecția	Conținut
1	Unghiul orientat dintre doi vectori	definiția, $(-\pi ;\pi ]$, relațiile (1)–(2)
2	Coordonatele vectorului prin unghiul orientat	teorema 14.1, consecința 14.2, exemplul 14.3: $\sin$ și $\cos$ în coordonate
3	Aria triunghiului în coordonate	aria orientată (8), aria (9), exemplele 14.4–14.5

§15 — Formulele de transformare ale coordonatelor

#	Lecția	Conținut
1	Transformarea sistemului afin de coordonate	formulele (1)–(7), matricea de trecere, translația
2	Rotația sistemului rectangular cartezian	cazurile cu aceeași orientare și cu orientări opuse, formulele (8)–(12)

§16 — Spațiul V₃ și baza lui

#	Lecția	Conținut
1	Baza spațiului V3. Teorema 16.1	teorema 16.1, consecința 16.2, dimensiunea 3, definiția 16.3
2	Coordonatele vectorului în spațiul V3	definiția 16.4, exemplul $\overrightarrow{P{B}_1}$, exemplul 16.5, teorema 16.6
3	Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului	definiția 16.7, teorema 16.8

§17–§19 — Probleme (neconspectate)

Manualul, p. 75–92: utilizarea vectorilor și a metodei coordonatelor la rezolvarea problemelor, probleme propuse pentru lucrul individual.

---

Capitolul II. Dreapta pe plan

§20 — Diferite tipuri de ecuații ale dreptei

#	Lecția	Conținut
1	Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte	vectorul director, ecuațiile (1)–(2′), exemplele 20.1–20.2
2	Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică	ecuațiile (3)–(6), coeficientul unghiular $k=\mathrm{tg}\phi$

§21 — Ecuația generală a dreptei

#	Lecția	Conținut
1	Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3	teoremele 21.1–21.3, vectorul normal
2	Poziția dreptei față de axe	cazurile $A$, $B$ sau $C$ nul

Concepte

Fișe scurte de referință, în folderul Concepte/:

• Figuri primare: Punct · Dreaptă · Plan · Semiplan · Semidreaptă · Segment
• Orientare: Direcție · Segment orientat · Echipolență
• Vectori: Vector · Vector liber · Vector opus · Modulul vectorului · Vectori coliniari · Coplanaritate
• Algebră liniară: Combinație liniară · Dependență liniară · Spațiu vectorial
• Transformări: Omotetie
• Coordonate: Bază · Reper afin · Sistem afin de coordonate · Orientarea planului · Proiecția unui vector · Rază vectoare · Raportul de împărțire a segmentului
• Metrică (§11–§13): Sistem rectangular cartezian · Bază ortonormată · Distanța dintre două puncte (formulă) · Coordonate polare · Unghiul dintre doi vectori · Vectori perpendiculari · Produs scalar · Pătrat scalar
• Orientare și transformări (§14–§15): Unghi orientat · Arie orientată · Matrice de trecere
• Spațiul (§16): Spațiul V3
• Dreapta (§20–§21): Ecuațiile dreptei · Vector director · Vector normal · Coeficient unghiular

Referință

• Recapitulare — vectori — formulele, teoremele și capcanele §3–§7
• Recapitulare — baze și coordonate — formulele §9–§10 și erorile găsite în manual
• Recapitulare — metrica planului — formulele §11–§15: distanțe, coordonate polare, produs scalar, unghi orientat, arie, transformări
• Recapitulare — dreapta în plan — formulele §20–§21: toate formele ecuației dreptei, ecuația generală
• Probleme rezolvate — vectori — 7 aplicații clasice, rezolvate pas cu pas
• Notații și simboluri — toate simbolurile folosite în curs
• Surse originale — fotografiile caietului, PDF-ul lectorului, manualul, notițele brute

Firul logic al cursului

graph TD
  S1["§1 · Figuri, paralelism<br/>apare DIRECȚIA"] --> S2["§2 · Segmente orientate<br/>apare ECHIPOLENȚA"]
  S2 --> S3["§3 · VECTORUL<br/>clasă de echivalență"]
  S3 --> S4["§4 · Adunarea<br/>prima operație"]
  S3 --> S5["§5 · Înmulțirea cu un număr<br/>a doua operație"]
  S4 --> S6["§6 · Dependența liniară<br/>ce se poate construi"]
  S5 --> S6
  S6 --> S7["§7 · SPAȚIU VECTORIAL<br/>structura completă"]
  S4 --> S7
  S5 --> S7
  S6 --> S9["§9 · SPAȚIUL V₂<br/>bază, coordonatele vectorului"]
  S7 --> S9
  S9 --> S10["§10 · SISTEM AFIN<br/>coordonatele punctului"]
  S10 --> S11["§11 · RECTANGULAR CARTEZIAN<br/>apar distanțele"]
  S11 --> S12["§12 · SISTEM POLAR<br/>aceleași puncte, alt limbaj"]
  S11 --> S13["§13 · PRODUSUL SCALAR<br/>apar unghiurile"]
  S13 --> S14["§14 · UNGHI ORIENTAT<br/>unghiul primește semn; aria"]
  S10 --> S15["§15 · TRANSFORMĂRI<br/>schimbarea sistemului"]
  S14 --> S15
  S9 --> S16["§16 · SPAȚIUL V₃<br/>3 vectori necoplanari"]
  S10 --> S20["§20 · ECUAȚIILE DREPTEI<br/>M₀M ∥ a"]
  S13 --> S21["§21 · ECUAȚIA GENERALĂ<br/>Ax + By + C = 0"]
  S20 --> S21

Citit în cuvinte:

1. §1 Notare și paralelism — fixăm limbajul, apoi relația care permite compararea a două figuri îndepărtate. Paralelismul singur nu distinge sensul; semiplanele îl disting, și apare direcția.
2. §2 Echipolență — direcție + sens + lungime. Se dovedește că este o relație de echivalență.
3. §3 Vectorul — clasele de echivalență ale echipolenței. Teorema reprezentantului unic arată că un vector poate fi aplicat oriunde: e liber.
4. §4 și §5 Operațiile — adunarea (geometric: linia frântă) și înmulțirea cu un număr (geometric: omotetia).
5. §6 Dependența liniară — ce se poate și ce nu se poate obține din vectori dați. Rezultatul-cheie: coliniar = dependent (2 vectori), coplanar = dependent (3 vectori).
6. §7 Spațiul vectorial — cele opt proprietăți strânse la un loc dau structura abstractă.
7. §9 Spațiul $V_2$ — în plan, doi vectori necoliniari formează o bază; fiecare vector primește o pereche unică de numere.
8. §10 Sistemul afin — adăugând o origine, și fiecare punct primește o pereche de numere. De aici, problemele de geometrie se rezolvă prin calcul.
9. §11 Sistemul rectangular cartezian — cerând axe perpendiculare și unități egale cu $1$, coordonatele încep să măsoare: apar modulul $\sqrt{x^2+y^2}$ și distanța dintre două puncte.
10. §12 Sistemul polar — același plan descris prin distanță + direcție în loc de două deplasări. Nimic logic nou; un limbaj mai potrivit pentru figurile radiale.
11. §13 Produsul scalar — prima operație care dă un număr. Cu ea, perpendicularitatea devine ecuația $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$, iar unghiurile se calculează în loc să fie măsurate.
12. §14 Unghiul orientat — unghiul primește semn: știm nu doar cât de departe sunt două direcții, ci și în ce parte. Sinusul lui se calculează cu determinantul din §10, iar același determinant dă aria triunghiului.
13. §15 Transformarea coordonatelor — același punct, alt sistem: formule liniare, cu matricea de trecere. Între sisteme rectangulare carteziene ea depinde de un singur unghi — rotația.
14. §16 Spațiul $V_3$ — totul din §9 se repetă cu un vector în plus: trei vectori necoplanari formează o bază, al patrulea e de prisos. Figura-cheie devine paralelipipedul.
15. §20–§21 Dreapta — primul obiect geometric descris complet printr-o ecuație. Un punct e pe dreaptă exact când vectorul spre el e paralel cu dreapta; în coordonate, asta dă o ecuație de gradul întâi, și orice ecuație de gradul întâi e o dreaptă.

Ideea centrală a cursului

Fiecare noțiune geometrică primește un echivalent algebric:

Geometrie	Algebră
săgeți echipolente	un vector
coliniari	$\vec{a}=\lambda \vec{b}$
coplanari	$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$
„nimic în plus”	independență liniară
un punct din plan	o pereche $(x;y)$
mijlocul unui segment	$\left(\frac{x_1+x_2}{2};\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
distanța dintre două puncte	$\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
perpendicularitate	$a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$
unghi	$\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Aceasta este geometria analitică: figurile devin ecuații.

Cum se folosește vaultul

Notele de lecție conțin materia de curs. Blocurile pliate (cele cu - în titlu) se deschid la click:

Bloc	Ce conține
[!abstract] Definiție	definiția, exact ca la curs
[!tip] Teoremă	enunțul principal
[!check] Criteriu	condiție de verificat în probleme
[!example]- Pas cu pas	demonstrația sau construcția, desfăcută în pași, cu exemple numerice
[!example]- Cum se citește figura	ordinea în care se parcurge figura unei teoreme, pe ce se bazează fiecare pas și ce puteți verifica singuri pe desen
[!info]- Completare	material adăugat, care nu figura în notițele originale
[!warning]	capcane, ipoteze care nu pot fi eliminate, greșeli de tipar în surse

Fiecare lecție se încheie cu Întrebări de control și Legături (anterior / continuare / concepte).

Pentru note noi: folosiți șabloanele din Șabloane/. Materialele originale (fotografii, PDF-ul lectorului, manualul, notițele dactilografiate) sunt păstrate în Surse/.