Unghi orientat

Unghiul de la $\vec{a}$ la $\vec{b}$ (vectori nenuli, în această ordine), cu semn:

• mărimea unghiului geometric dintre ei, dacă $\vec{b}$ se obține din $\vec{a}$ prin rotație contrar acelor;
• minus această mărime, dacă rotația e în sensul acelor;
• $0$ pentru vectori coorientați, $\pi$ pentru vectori opuși.

$$-\pi <\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\le \pi$$

Proprietate	Formula
ordinea	$\sin \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\sin \widehat{(\vec{b},\vec{a})}$, $\cos$ neschimbat
compunerea	$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})}\equiv \widehat{(\vec{a},\vec{c})}(\mathrm{mod}2\pi )$
cosinusul	$\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ (ca în §13)
sinusul	$\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ — numărătorul e determinantul din condiția de coliniaritate
coordonatele (bază ortonormată dreaptă)	$\vec{a}=\{|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})};|\vec{a}|\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}\}$

Două capcane ale manualului. (1) În §10 rotația contrar acelor e numită orientare „stângă”, în §14–§15 — „dreaptă”; sensul pozitiv e același, doar numele se inversează. (2) §10 dă unghiului orientat valori în $[0;2\pi )$, §14 în $(-\pi ;\pi ]$; diferă cu $2\pi$, au aceleași sin și cos.

Nu folosiți tangenta singură — nu distinge $\phi$ de $\phi \pm \pi$.

Vezi: Unghiul orientat dintre doi vectori · Coordonatele vectorului prin unghiul orientat · Unghiul dintre doi vectori (neorientat) · Orientarea planului