Regula paralelogramului

Din fizică se cunoaște regula paralelogramului de compunere a două forțe ce acționează sub un unghi una față de alta. După această regulă se pot aduna numai doi vectori necoliniari.

Construcția

Fixăm doi vectori necoliniari $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Luăm un punct arbitrar $O$ și construim vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$. Construim apoi $(AC)\parallel (OB)$ și $(BC)\parallel (OA)$.

fig. 1 — paralelogramul $OACB$ construit pe vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$

În rezultat obținem paralelogramul $OACB$. Deoarece $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OB}$, după regula triunghiului obținem

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\vec{a}+\vec{b}\text{\hspace{1em}(5)}$$

Regula paralelogramului

$\vec{a}+\vec{b}=\overrightarrow{OC}$, unde $\overrightarrow{OC}$ este vectorul orientat după diagonala paralelogramului $OACB$, construit pe vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ aduși la originea comună $O$.

Cum se citește figura — regula paralelogramului

Pasul 1 — originea comună. $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ (albastru) și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ (portocaliu) pornesc din același punct $O$ — aici diferă de regula triunghiului.

Pasul 2 — construcția (gri punctat). Prin $A$ paralela la $(OB)$, prin $B$ paralela la $(OA)$; ele se taie în $C$ și închid paralelogramul $OACB$.

Pasul 3 — mutarea lui $\vec{b}$. Latura punctată $[AC]$ este paralelă, egală și la fel orientată cu $\overline{OB}$, deci $\overrightarrow{AC}=\vec{b}$: drumul $O\to A\to C$ înseamnă „întâi $\vec{a}$, apoi $\vec{b}$”, cap la cap.

Pasul 4 — concluzia (violet). Regula triunghiului în triunghiul $OAC$ dă diagonala $\overrightarrow{OC}=\vec{a}+\vec{b}$.

Pe ce se bazează: laturile opuse ale unui paralelogram sunt paralele și egale ⇒ echipolență (pasul 3); regula triunghiului (pasul 4).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) diagonala violet pleacă din $O$, nu din $A$ sau $B$; (2) apropiați în gând $\vec{b}$ de dreapta lui $\vec{a}$: paralelogramul se turtește și dispare când vectorii devin coliniari — de aceea regula cere vectori necoliniari.

Care regulă este mai generală?

Regula triunghiului este mai generală

Regula paralelogramului (relația 5) rezultă din cea a triunghiului. Regula triunghiului este mai generală, deoarece include și adunarea vectorilor coliniari, pe când regula paralelogramului nu poate fi aplicată la adunarea unor astfel de vectori.

Motivul este simplu: dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, atunci punctele $O$, $A$, $B$ sunt coliniare și nu se formează niciun paralelogram.

	Regula triunghiului	Regula paralelogramului
Cum se așază vectorii	cap la cap	din origine comună
Vectori coliniari	da	nu
Mai mult de 2 vectori	da (regula poligonului)	nu direct
Suma este	latura de închidere	diagonala

Completare — cealaltă diagonală

În paralelogramul construit pe $\vec{a}$ și $\vec{b}$ din originea comună $O$:

• diagonala din $O$ reprezintă $\vec{a}+\vec{b}$;
• cealaltă diagonală reprezintă $\vec{a}-\vec{b}$ (orientată de la extremitatea lui $\vec{b}$ spre extremitatea lui $\vec{a}$).

Un singur desen conține deci și suma, și diferența. Vezi Scăderea vectorilor.

Întrebări de control

1. De ce regula paralelogramului nu funcționează pentru vectori coliniari?
2. Arătați că regula paralelogramului rezultă din regula triunghiului.
3. Când diagonala paralelogramului construit pe $\vec{a}$ și $\vec{b}$ are lungimea maximă posibilă?
4. Ce condiție trebuie să îndeplinească $\vec{a}$ și $\vec{b}$ pentru ca paralelogramul să fie romb? Ce devine atunci diagonala?

Legături

• Anterior: Adunarea vectorilor. Regula triunghiului și a poligonului
• Continuare: Proprietățile adunării vectorilor