Scăderea vectorilor

1. Definiția diferenței

Definiție

Prin diferența $\vec{a}-\vec{b}$ a doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ vom înțelege un al treilea vector $\vec{c}$, care în sumă cu vectorul $\vec{b}$ dă vectorul $\vec{a}$.

Din ultima definiție rezultă:

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}⟺\vec{b}+\vec{c}=\vec{a}$$

Scăderea este definită ca operație inversă

Nu definim scăderea printr-o construcție, ci prin ecuația pe care trebuie s-o rezolve. Abia apoi arătăm că soluția există, este unică și se construiește ușor.

Existență și unicitate

Se poate demonstra că pentru orice doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ întotdeauna există și este unică diferența lor $\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}$.

2. Construcția diferenței

Fie dați vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Construim $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ din aceeași origine $O$.

fig. 1 — vectorul diferență $\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$

Regula

Vectorul diferență are originea în extremitatea vectorului $\vec{b}$ (scăzătorul) și extremitatea în extremitatea vectorului $\vec{a}$ (descăzutul):

$$\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}$$

Verificare. După relația lui Chasles: $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$, adică $\vec{b}+\overrightarrow{BA}=\vec{a}$. Deci $\overrightarrow{BA}$ satisface exact definiția diferenței. $■$

Cum se citește figura — regula diferenței

Pasul 1 — originea comună. $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ (albastru) și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ (portocaliu) pornesc din același punct $O$.

Pasul 2 — săgeata diferenței (violet). Unește vârfurile: pleacă din $B$ (vârful scăzătorului) și ajunge în $A$ (vârful descăzutului).

Pasul 3 — verificarea prin drum. Parcurgeți $O\to B\to A$: portocaliu, apoi violet. Ajungeți în $A$, unde ajunge și albastrul singur: $\vec{b}+\overrightarrow{BA}=\vec{a}$.

Pasul 4 — concluzia. Aceasta este exact definiția diferenței, deci $\overrightarrow{BA}=\vec{a}-\vec{b}$.

Pe ce se bazează: definiția diferenței (ce trebuie verificat); relația lui Chasles $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}$ (pasul 3).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) vârful săgeții violet atinge vârful săgeții albastre, nu pe cel al portocaliei; (2) completați în gând paralelogramul pe $\vec{a}$ și $\vec{b}$: violetul este diagonala care nu trece prin $O$.

Pas cu pas — cum se ține minte sensul săgeții

Trei moduri de a nu greși niciodată:

1. Prin definiție. $\vec{a}-\vec{b}$ este vectorul care, adunat la $\vec{b}$, dă $\vec{a}$. Puneți degetul pe vârful lui $\vec{b}$: de acolo trebuie să plece săgeata, ca s-o continue pe $\vec{b}$ și să ajungă unde ajunge $\vec{a}$.

2. Prin Chasles. $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BO}+\overrightarrow{OA}=-\vec{b}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}$. Litera din stânga notației ($B$) e originea, cea din dreapta ($A$) e vârful — iar $A$ e vârful descăzutului.

3. Mnemotehnic. În $\vec{a}-\vec{b}$ săgeata arată spre primul vector scris. „Vârful spre descăzut.”

Test rapid. Dacă ați desenat corect, verificați cu ochiul: $\vec{b}+(\vec{a}-\vec{b})$ trebuie să vă ducă exact în vârful lui $\vec{a}$, mergând cap la cap.

Atenție la sens

Săgeata merge de la scăzător spre descăzut: în $\vec{a}-\vec{b}$, de la vârful lui $\vec{b}$ spre vârful lui $\vec{a}$. O greșeală frecventă este să se deseneze invers, obținând $\vec{b}-\vec{a}$.

3. Scăderea ca adunare cu opusul

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$$

fig. 2 — depunem $-\vec{b}$ din extremitatea lui $\vec{a}$

Justificare

$\vec{b}+(\vec{a}+(-\vec{b}))=\vec{a}+(\vec{b}+(-\vec{b}))=\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$, folosind comutativitatea și asociativitatea. Deci $\vec{a}+(-\vec{b})$ satisface definiția diferenței, iar prin unicitate coincide cu $\vec{a}-\vec{b}$.

Cum se citește figura — scăderea ca adunare cu opusul

Pasul 1 — datele. $\vec{a}$ (albastru) din $O$; $\vec{b}$ apare punctat (portocaliu), doar ca referință.

Pasul 2 — opusul. Din vârful $A$ se depune $-\vec{b}$ (portocaliu plin): aceeași lungime și direcție ca $\vec{b}$, sens contrar.

Pasul 3 — suma (violet). Violetul unește $O$ cu vârful lui $-\vec{b}$: regula triunghiului dă $\vec{a}+(-\vec{b})$.

Pasul 4 — comparația cu fig. 1. Săgeata violet este paralelă, egală și la fel orientată cu $\overrightarrow{BA}$ din fig. 1: același vector $\vec{a}-\vec{b}$, depus din $O$.

Pe ce se bazează: vectorul opus; regula triunghiului; unicitatea diferenței (§1).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) săgeata portocalie punctată și cea plină sunt paralele, egale și opuse; (2) punctele $O$, $B$, $A$ și vârful violet formează un paralelogram — de aceea violetul este o copie a lui $\overrightarrow{BA}$.

Cele două construcții din fig. 1 și fig. 2 dau același vector, doar depus din puncte diferite.

4. Cele două diagonale ale paralelogramului

Pe un singur desen — paralelogramul construit pe $\vec{a}$ și $\vec{b}$ aduși la originea comună $O$ — citim ambele operații:

Diagonala	Vectorul
din $O$ spre vârful opus	$\vec{a}+\vec{b}$
de la vârful lui $\vec{b}$ spre vârful lui $\vec{a}$	$\vec{a}-\vec{b}$

Întrebări de control

1. De ce definiția diferenței nu spune cum se construiește vectorul $\vec{c}$?
2. Demonstrați unicitatea diferenței. (Indicație: dacă $\vec{b}+{\vec{c}}_1=\vec{b}+{\vec{c}}_2$, adunați $-\vec{b}$ în ambele părți.)
3. Ce este $\vec{a}-\vec{a}$? Dar $\vec{0}-\vec{a}$?
4. În paralelogramul $OACB$ cu $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, exprimați $\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{AB}$ prin $\vec{a}$ și $\vec{b}$.
5. Când $|\vec{a}-\vec{b}|=|\vec{a}|+|\vec{b}|$?

Legături

• Anterior: Proprietățile adunării vectorilor
• Continuare: Produsul vectorului la un număr
• Concepte: Vector opus