Pătrat scalar

Numărul $(\vec{a},\vec{a})$, notat ${\vec{a}}^2$.

Cum unghiul unui vector cu el însuși este $0$ și $\cos 0=1$:

$${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2,\text{deci}|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^2}\text{\hspace{1em}(2)}$$

În coordonate (bază ortonormată): ${\vec{a}}^2=a_1^2+a_2^2$.

Este un număr, nu un vector. Notația nu înseamnă „$\vec{a}$ înmulțit cu el însuși ca vector” — o asemenea operație nu a fost definită. Din același motiv ${\vec{a}}^3$ nu are sens: ${\vec{a}}^2$ fiind deja un număr, nu mai poate fi al doilea argument al unui produs scalar.

Identitate utilă (din consecința 13.4):

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2={\vec{a}}^2+2(\vec{a},\vec{b})+{\vec{b}}^2$$

— teorema cosinusului scrisă vectorial; pentru $\vec{a}\perp \vec{b}$, chiar teorema lui Pitagora.

Vezi: Produsul scalar — definiție și interpretare · Modulul vectorului