Produs scalar

Prima operație care ia doi vectori și dă un număr:

$$(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Într-o bază ortonormată, pentru $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$, $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$:

$$(\vec{a},\vec{b})=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{\hspace{1em}(3)}$$

Ce se poate face cu el

Întrebare	Răspuns
$\vec{a}\perp \vec{b}$?	$(\vec{a},\vec{b})=0$, adică $a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$
$|\vec{a}|$?	$|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^2}$
unghiul?	$\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2}}$
semnul?	$+$ unghi ascuțit · $0$ unghi drept · $-$ unghi obtuz

Interpretare: $(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot {\mathrm{pr}}_{\vec{a}}\vec{b}$ — cât din $\vec{b}$ merge în direcția lui $\vec{a}$. În fizică: lucrul mecanic, $A=(\vec{F},\overrightarrow{M_1{M}_2})$.

Proprietăți (teorema 13.3)

1. $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$
2. $(\alpha \vec{a},\vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b})$
3. $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$

Ce nu are

• rezultat de aceeași natură (dă număr ⇒ nu se poate itera; ${\vec{a}}^3$ nu are sens);
• „produs nul ⇒ factor nul” — $\{1;0\}$ și $\{0;1\}$ sunt nenuli cu produs $0$;
• simplificare: din $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{a},\vec{c})$ nu rezultă $\vec{b}=\vec{c}$;
• asociativitate.

Vezi: Produsul scalar — definiție și interpretare · Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate · Ce nu se transferă de la numere. Aplicații · Pătrat scalar