Recapitulare — dreapta în plan

Formularul §20–§21 pe o singură pagină. Pentru demonstrații și figuri, urmați legăturile.

Ideea capitolului

Un punct $M$ e pe dreapta $d$ exact când vectorul de la un punct cunoscut $M_0\in d$ la $M$ e paralel cu $d$. Toate ecuațiile dreptei sunt această frază scrisă în coordonate — cu condiția de coliniaritate din §10.

1. Vectorul director

Orice vector nenul paralel cu $d$. Oricare doi vectori directori sunt coliniari. Din două puncte: $\overrightarrow{M_1{M}_2}$.

2. Formele ecuației (§20)

#	Forma	Ecuația	Condiții
(1)	canonică (determinant)	$\left|\begin{array}{cc}x-x_0& a_1\\ y-y_0& a_2\end{array}\right|=0$	—
(1′)	canonică (fracții)	$\frac{x-x_0}{a_1}=\frac{y-y_0}{a_2}$	$a_1,a_2\ne 0$
(1″)	canonică (fără fracții)	$a_2(x-x_0)-a_1(y-y_0)=0$	—
(2)	prin două puncte	$\left|\begin{array}{cc}x-x_1& x_2-x_1\\ y-y_1& y_2-y_1\end{array}\right|=0$	—
(2′)	prin două puncte (fracții)	$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1}$	numitori $\ne 0$
(3)	în segmente	$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$	$a,b\ne 0$
(4)	prin punct, cu $k$	$y-y_0=k(x-x_0)$	$d\nparallel (Oy)$
(5)	cu coeficient unghiular	$y=kx+b$	$d\nparallel (Oy)$
(6)	parametrică	$x=x_0+a_{1}t$, $y=y_0+a_{2}t$	$t\in \mathbb{R}$

Coeficientul unghiular: $k=a_2/a_1$ (nu depinde de vectorul director). În sistem rectangular cartezian $k=\mathrm{tg}\phi$ — unghiul cu $(Ox)$, determinat până la $180°$.

Exemple: ex. 20.1: $A(2;-5)$, $\vec{a}\{3;-5\}$ ⇒ $5x+3y+5=0$ · ex. 20.2: $A(2;-5)$, $B(-3;2)$ ⇒ $7x+5y+11=0$.

3. Ecuația generală (§21)

$$Ax+By+C=0,A^2+B^2>0$$

Rezultat	Enunț	Sistem
T. 21.1	orice dreaptă are o ecuație de gradul întâi: $A=a_2$, $B=-a_1$, $C=a_1{y}_0-a_2{x}_0$	afin
T. 21.2	orice ecuație de gradul întâi e o dreaptă, cu vectorul director $\{-B;A\}$	afin
T. 21.3	$\vec{v}\parallel d⟺A{v}_1+B{v}_2=0$	afin
vectorul normal	$\vec{n}=\{A;B\}\perp d$	rectangular cartezian
coeficientul unghiular	$k=-A/B$ ($B\ne 0$)	afin

Cazuri particulare: $C=0$ ⇔ prin $O$ · $A=0$ ⇔ paralelă cu $(Ox)$ ($A=C=0$: axa $Ox$) · $B=0$ ⇔ paralelă cu $(Oy)$ ($B=C=0$: axa $Oy$).

4. Harta logică §20–§21

graph TD
  C10["§10 · coliniaritate<br/>x₁y₂ − x₂y₁ = 0"] --> F1["(1) canonică<br/>M₀M ∥ a"]
  F1 --> F2["(2) prin două puncte<br/>a = M₁M₂"]
  F2 --> F3["(3) în segmente"]
  F1 --> F4["(4)–(5) cu k<br/>k = a₂/a₁"]
  T14["§14 · T. 14.1"] --> K["k = tg φ"]
  F4 --> K
  F1 --> F6["(6) parametrică<br/>M₀M = t·a"]
  F1 --> G1["T. 21.1<br/>Ax + By + C = 0"]
  G1 --> G2["T. 21.2<br/>reciproca"]
  G2 --> G3["T. 21.3<br/>Aa₁ + Ba₂ = 0"]
  S13["§13 · (a,b) = 0"] --> N["vectorul normal {A; B}"]
  G2 --> N
  G3 --> P["cazuri particulare<br/>A, B sau C = 0"]

5. Capcane frecvente

De verificat la fiecare problemă

1. Forma cu fracții (1′) cere numitori nenuli. Pentru drepte paralele cu o axă, folosiți (1″).
2. Verificați ecuația obținută cu două puncte, nu cu unul: un singur punct nu prinde o greșeală la vectorul director.
3. Dreptele verticale nu au $k$; dreptele prin $O$ sau paralele cu axele nu au formă în segmente.
4. $k=\mathrm{tg}\phi$ doar în sistem rectangular cartezian; în sistem afin, $k$ e doar un raport.
5. Vectorul normal $\{A;B\}$ cere sistem rectangular cartezian; vectorul director $\{-B;A\}$ — nu.
6. Ecuația generală e determinată până la un factor: $5x+3y+5=0$ și $-10x-6y-10=0$ sunt aceeași dreaptă.
7. $A^2+B^2>0$ e esențială: $0x+0y+C=0$ nu e o dreaptă.

Erori și scăpări în manual (§20–§21)

Pagina	În manual	Corect
94	forma (1′) scrisă fără condiții	cere $a_1\ne 0$ și $a_2\ne 0$ (condiția apare abia la (2′))
96	„numărul $k$ permite de aflat unghiul orientat $\phi =\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$“	doar până la $180°$ — $\vec{a}$ și $-\vec{a}$ dau același $k$; $k$ determină unghiul dreptei cu $(Ox)$
96	„în aces caz”	„în acest caz”
93–97	numerotarea subsecțiunilor: 1⁰, 2⁰, 3., 4., 5⁰	neuniformă; păstrată ca în manual
97	„$A^2++B^2>0$“	$A^2+B^2>0$
97	T. 21.2: „Să presupunem că $x_0,y_0$ este o careva soluție”	existența soluției trebuie arătată: dacă $B\ne 0$, $(0;-C/B)$; altfel $(-C/A;0)$
98	„vectoril director”, „este parallel”	„vectorul director”, „este paralel”

Legături

• Lecțiile: Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte · Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică · Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3 · Poziția dreptei față de axe
• Anterior: Recapitulare — metrica planului
• Notații și simboluri · Geometrie analitică în plan