Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte

Despre ce este capitolul II

Capitolul I a construit unelte: vectori, coordonate, coliniaritate, produs scalar. Capitolul II le folosește pentru primul obiect geometric adevărat: dreapta. Ideea centrală a geometriei analitice — o figură devine o ecuație — apare aici pentru prima dată în forma ei completă.

Ce înseamnă „ecuația dreptei”? O relație între $x$ și $y$ pe care o satisfac coordonatele tuturor punctelor dreptei și numai ale lor. Totul se reduce la o singură idee din §10: un punct $M$ e pe dreaptă exact când vectorul care îl leagă de un punct cunoscut al dreptei e paralel cu dreapta.

1. Vectorul director

Definiție

Orice vector nenul $a$ paralel la dreapta $d$ se numește vector director al dreptei $d$ .

Evident, dreapta are o mulțime infinită de vectori directori, însă oricare doi din ei sunt coliniari (ca vectori paraleli la aceeași dreaptă).

figură fig. 1 — $a$ , $2 a$ , $- a$ sunt toți vectori directori ai lui $d$ ; vectorul roșu nu este

Cum se citește figura — vectorul director

Pasul 1 — dreapta gri $d$ . Vectorii directori nu trebuie să stea pe dreaptă: sunt vectori liberi, pot fi desenați oriunde, important e să fie paraleli cu ea.

Pasul 2 — trei vectori directori. $a$ (albastru), $2 a$ (portocaliu) și $- a$ (verde). Lungimi diferite, sensuri diferite, dar aceeași direcție — a dreptei.

Pasul 3 — un vector care nu e director. Săgeata roșie are altă direcție: oricât am lungi-o sau scurta-o, n-ar deveni paralelă cu $d$ .

Pe ce se bazează: definiția vectorului director și coliniaritatea.

Ce să verificați singuri pe figură: de ce vectorul nul e exclus din definiție? (Răspuns: e paralel cu orice dreaptă — prin convenție — deci n-ar spune nimic despre direcția lui $d$ .)

Poziția dreptei în planul de coordonate este determinată pe deplin, dacă este dat un punct al ei și un vector director, sau două puncte ale dreptei. Se pune problema: de scris ecuația dreptei, dacă într-un sistem afin de coordonate este dat un punct al dreptei $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ și un vector director $a (a_{1}; a_{2})$ sau două puncte ale dreptei.

2. 1⁰. Ecuația dreptei ce trece prin punctul dat și are vectorul director dat

Fie în plan este introdus un sistem afin de coordonate $O e_{1} e_{2}$ în raport cu care este dat un punct $M_{0} (x_{0}; y_{0})$ al dreptei $d$ și un vector director $a {a_{1}; a_{2}}$ al dreptei $d$ .

Să deducem ecuația dreptei $d$ . Fie $M (x; y)$ un punct arbitrar al planului. Evident, punctul $M (x; y) \in d$ atunci și numai atunci, când vectorii $M_{0} M$ și $a$ sunt coliniari. Deoarece $M_{0} M = {x - x_{0}; y - y_{0}}$ , $a = {a_{1}; a_{2}}$ , înseamnă că punctul $M (x; y) \in d$ atunci și numai atunci, când

x - x_{0} y - y_{0} a_{1} a_{2} = 0 (1)

\frac{x - x _{0}}{a _{1}} = \frac{y - y _{0}}{a _{2}}, (1’)

a_{2} (x - x_{0}) - a_{1} (y - y_{0}) = 0. (1”)

Dacă punctul $M$ aparține dreptei $d$ , atunci coordonatele punctului $M$ satisfac ecuațiilor (1)–(1″), iar dacă punctul $M$ nu aparține dreptei $d$ , atunci coordonatele punctului $M$ nu satisfac ecuațiilor (1)–(1″). Prin urmare, ecuațiile (1)–(1″) sunt ecuații ale dreptei $d$ .

Ecuațiile canonice

Ecuațiile (1) și (1′) se numesc ecuații canonice ale dreptei $d$ .

figură fig. 2 (după fig. 75 din manual) — $M$ e pe dreaptă exact când $M_{0} M$ e paralel cu $a$

Cum se citește figura — deducerea ecuației canonice

Pasul 1 — sistemul. Axele sunt oblice ( $e_{1}$ , $e_{2}$ nu sunt perpendiculari). Ecuația canonică nu cere un sistem rectangular — se bazează doar pe coliniaritate, care are sens în orice sistem afin.

Pasul 2 — datele. Punctul $M_{0}$ și vectorul director $a$ (portocaliu), depus din $M_{0}$ .

Pasul 3 — un punct al dreptei. $M$ e pe $d$ ; săgeata violet $M_{0} M$ e pe aceeași dreaptă cu $a$ , deci $M_{0} M ∥ a$ .

Pasul 4 — un punct din afara dreptei. $N$ nu e pe $d$ ; săgeata roșie $M_{0} N$ iese din direcția lui $a$ , deci nu e paralelă cu el.

Pasul 5 — traduceți „paralel” în coordonate. Doi vectori sunt coliniari exact când determinantul coordonatelor lor e nul (§10, condiția 5⁰). Determinantul dintre $M_{0} M = {x - x_{0}; y - y_{0}}$ și $a = {a_{1}; a_{2}}$ este exact (1).

Pe ce se bazează: formula $\vec{M_1M_2} = \{x_2 - x_1;\ y_2 - y_1\}$ și condiția de coliniaritate din §10.

Ce să verificați singuri pe figură: luați $M = M_{0}$ . Atunci $M_{0} M = 0$ , determinantul e $0$ — punctul $M_{0}$ satisface ecuația, cum e firesc.

Forma (1′) cere $a_{1} \neq = 0$ și $a_{2} \neq = 0$

Manualul scrie (1′) fără această condiție (o pune abia la (2′)). Dacă o coordonată a vectorului director e nulă, fracția nu are sens.

Exemplu. $M_{0} (1; 2)$ , $a = {0; 3}$ — dreapta e paralelă cu $(O y)$ . Forma (1′) ar da $\frac{x - 1}{0} = \frac{y - 2}{3}$ . Formele (1) și (1″) funcționează fără probleme: $3 (x - 1) - 0 \cdot (y - 2) = 0$ , adică $x = 1$ .

Convenția uzuală: un numitor nul în (1′) înseamnă că numărătorul corespunzător e nul. Mai sigur e să folosiți (1″), care nu împarte la nimic.

Pas cu pas — de la (1) la (1′) și (1″)

Pasul 1 — dezvoltați determinantul (1). $(x - x_{0}) a_{2} - a_{1} (y - y_{0}) = 0$ . Aceasta este deja (1″).

Pasul 2 — pentru (1′), mutați un termen. $a_{2} (x - x_{0}) = a_{1} (y - y_{0})$ , apoi împărțiți la $a_{1} a_{2}$ (dacă ambele sunt nenule): $\frac{x - x _{0}}{a _{1}} = \frac{y - y _{0}}{a _{2}}$ .

Ce exprimă (1′). Proporționalitatea coordonatelor: $M_{0} M$ e un multiplu al lui $a$ , cu același factor pe ambele coordonate.

3. Exemplul 20.1

Enunț

Să se scrie ecuația dreptei ce trece prin punctul $A (2; - 5)$ și are vectorul director $a {3; - 5}$ .

Rezolvare. Introducem coordonatele punctului $A$ și a vectorului director în (1), obținem:

\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{- 5}, - 5 x + 10 = 3 y + 15 sau 5 x + 3 y + 5 = 0.

figură fig. 3 — dreapta $5 x + 3 y + 5 = 0$ într-un sistem rectangular; vectorul director e desenat de la $(- 1; 0)$ până la $A$

Pas cu pas — calculul și verificarea

Pasul 1 — „înmulțirea în cruce”. Din $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 5}{- 5}$ : $- 5 (x - 2) = 3 (y + 5)$ , adică $- 5 x + 10 = 3 y + 15$ .

Pasul 2 — totul într-un membru. $- 5 x - 3 y - 5 = 0$ ; înmulțind cu $- 1$ : $5 x + 3 y + 5 = 0$ .

Pasul 3 — verificați punctul dat. $A (2; - 5)$ : $10 - 15 + 5 = 0$ ✓.

Pasul 4 — verificați direcția. Un al doilea punct: $A - a = (2 - 3; - 5 + 5) = (- 1; 0)$ . În ecuație: $- 5 + 0 + 5 = 0$ ✓. Două puncte verificate determină dreapta, deci ecuația e corectă.

De reținut: verificarea cu două puncte e completă; verificarea doar cu punctul dat nu ar prinde o greșeală de semn la vectorul director.

4. 2⁰. Ecuația dreptei ce trece prin două puncte

Fie în plan este dat un sistem afin de coordonate $O e_{1} e_{2}$ în raport cu care sunt date coordonatele a două puncte $M_{1} (x_{1}; y_{1})$ și $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ ale dreptei $d$ . În acest caz vectorul $M_{1} M_{2}$ este un vector director al dreptei $d$ . Deoarece $M_{1} M_{2} = {x_{2} - x_{1}; y_{2} - y_{1}}$ , atunci conform formulei (1), obținem:

x - x_{1} y - y_{1} x_{2} - x_{1} y_{2} - y_{1} = 0. (2)

Dacă $x_{2} - x_{1} \neq = 0$ și $y_{2} - y_{1} \neq = 0$ , atunci ecuația (2) poate fi scrisă sub forma:

\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}} . (2’)

figură fig. 4 (după fig. 76 din manual) — două puncte dau și un punct, și un vector director

Cum se citește figura — ecuația prin două puncte

Pasul 1 — cele două puncte date, $M_{1}$ și $M_{2}$ .

Pasul 2 — vectorul director gratuit. Săgeata portocalie $M_{1} M_{2}$ e paralelă cu $d$ (stă chiar pe ea) — deci e un vector director.

Pasul 3 — reducerea la cazul 1⁰. Avem acum un punct ( $M_{1}$ ) și un vector director ( $M_{1} M_{2}$ ): ecuația (1) se aplică direct, cu $a_{1} = x_{2} - x_{1}$ , $a_{2} = y_{2} - y_{1}$ .

Pasul 4 — un punct oarecare. $M$ (violet) e pe $d$ exact când $M_{1} M ∥ M_{1} M_{2}$ .

Pe ce se bazează: ecuația (1) și formula coordonatelor unui vector prin capetele lui.

Ce să verificați singuri pe figură: în (2), puneți $M = M_{2}$ . Cele două coloane ale determinantului devin egale, deci determinantul e $0$ — $M_{2}$ e pe dreaptă. ✓

5. Exemplul 20.2

Enunț

Scrieți ecuația dreptei ce trece prin punctele $A (2; - 5)$ și $B (- 3; 2)$ .

Rezolvare. Din ecuația (2′) obținem:

\frac{x - 2}{- 3 - 2} = \frac{y + 5}{2 + 5} sau \frac{x - 2}{- 5} = \frac{y + 5}{7}, 7 x + 5 y + 11 = 0.

figură fig. 5 — dreapta prin $A$ și $B$ , cu vectorul director $A B = {- 5; 7}$

Pas cu pas — calculul și verificarea

Pasul 1 — vectorul director. $A B = {- 3 - 2; 2 - (- 5)} = {- 5; 7}$ . Atenție la $2 - (- 5) = 7$ .

Pasul 2 — înmulțirea în cruce. $7 (x - 2) = - 5 (y + 5)$ , adică $7 x - 14 = - 5 y - 25$ , adică $7 x + 5 y + 11 = 0$ .

Pasul 3 — verificarea cu ambele puncte. $A$ : $14 - 25 + 11 = 0$ ✓. $B$ : $- 21 + 10 + 11 = 0$ ✓.

Rezumat

Date Ecuația Forma cu fracții (dacă numitorii ≠ 0)
$M_{0} (x_{0}; y_{0})$ și $a {a_{1}; a_{2}}$ $a_{2} (x - x_{0}) - a_{1} (y - y_{0}) = 0$ $\frac{x - x _{0}}{a _{1}} = \frac{y - y _{0}}{a _{2}}$
$M_{1} (x_{1}; y_{1})$ și $M_{2} (x_{2}; y_{2})$ determinantul (2) $= 0$ $\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$

Ambele sunt valabile în orice sistem afin — nu cer axe perpendiculare.

Date	Ecuația	Forma cu fracții (dacă numitorii ≠ 0)
$M_{0} (x_{0}; y_{0})$ și $a {a_{1}; a_{2}}$	$a_{2} (x - x_{0}) - a_{1} (y - y_{0}) = 0$	$\frac{x - x _{0}}{a _{1}} = \frac{y - y _{0}}{a _{2}}$
$M_{1} (x_{1}; y_{1})$ și $M_{2} (x_{2}; y_{2})$	determinantul (2) $= 0$	$\frac{x - x _{1}}{x _{2} - x _{1}} = \frac{y - y _{1}}{y _{2} - y _{1}}$

Întrebări de control

De ce o dreaptă are o infinitate de vectori directori? Ce au comun toți?
Scrieți ecuația dreptei prin $M_{0} (1; - 1)$ cu vectorul director ${0; 2}$ . De ce nu puteți folosi forma (1′)?
Aceeași dreaptă poate avea două ecuații canonice diferite? Dați un exemplu.
Verificați dacă punctul $C (7; - 12)$ e pe dreapta din exemplul 20.2.
De ce ecuațiile din această lecție sunt valabile și într-un sistem de coordonate cu axe oblice?

Legături

Anterior: Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului (§17–§19 — probleme — nu sunt conspectate)
Continuare: Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică
Se sprijină pe: Operații cu vectori în coordonate, Coordonatele punctului. Raza vectoare
Concepte: Vector director, Ecuațiile dreptei, Dreaptă

Conspecte

Cursuri

Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte

1. Vectorul director

2. 1⁰. Ecuația dreptei ce trece prin punctul dat și are vectorul director dat

3. Exemplul 20.1

4. 2⁰. Ecuația dreptei ce trece prin două puncte

5. Exemplul 20.2

Întrebări de control

Legături

Graf

Cuprins

Legături înapoi

Îți sunt utile notițele?