Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3

Despre ce este paragraful

§20 a dat cinci forme ale ecuației dreptei. §21 arată că, oricare ar fi forma, după ce trecem totul într-un membru obținem același tip de ecuație: de gradul întâi în $x$ și $y$. Și invers — orice ecuație de gradul întâi descrie o dreaptă.

Aceasta e o echivalență completă între o clasă de figuri (dreptele) și o clasă de ecuații (cele de gradul întâi). Capitolul III va face același lucru pentru curbele de gradul doi: elipsa, hiperbola, parabola.

1. Teorema 21.1 — dreapta are o ecuație de gradul întâi

Teorema 21.1

Ecuația dreptei într-un sistem afin de coordonate este o ecuație de gradul întâi:

$$Ax+By+C=0.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Demonstrație. Fie într-un sistem afin de coordonate dreapta $d$ se determină de punctul $M_0(x_0;y_0)$ și vectorul director $\vec{a}(a_1;a_2)$. Scriem ecuația canonică a acestei drepte sub forma (1″) din paragraful precedent: $a_2(x-x_0)-a_1(y-y_0)=0$. Să notăm $a_2=A$, $-a_1=B$, $a_1{y}_0-a_2{x}_0=C$. Atunci ecuația dată are forma: $Ax+By+C=0$. Această ecuație este de gradul întâi, deoarece vectorul director $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ nu este nul și deci $A^2+B^2>0$. Teorema 21.1 este demonstrată. $■$

Pas cu pas — de unde vin $A$, $B$, $C$

Pasul 1 — desfaceți parantezele în (1″). $a_{2}x-a_2{x}_0-a_{1}y+a_1{y}_0=0$.

Pasul 2 — grupați după $x$, $y$ și termenul liber. $\underset{A}{\underbrace{a_2}}x+\underset{B}{\underbrace{(-a_1)}}y+\underset{C}{\underbrace{(a_1{y}_0-a_2{x}_0)}}=0$.

Pasul 3 — de ce e „de gradul întâi”. O ecuație $Ax+By+C=0$ e de gradul întâi doar dacă $x$ sau $y$ apare efectiv, adică $A$ și $B$ nu sunt ambii nuli: $A^2+B^2>0$. Aici $A=a_2$, $B=-a_1$, iar $\vec{a}\ne \vec{0}$ garantează că măcar una dintre coordonate e nenulă.

Exemplu. Exemplul 20.1: $M_0(2;-5)$, $\vec{a}=\{3;-5\}$. $A=-5$, $B=-3$, $C=3\cdot (-5)-(-5)\cdot 2=-15+10=-5$. Ecuația: $-5x-3y-5=0$, adică $5x+3y+5=0$ — același rezultat ca în §20. ✓

2. Teorema 21.2 — o ecuație de gradul întâi e o dreaptă

Teorema 21.2

Orice ecuație de gradul întâi

$$Ax+By+C=0\text{\hspace{1em}(2)}$$

într-un sistem afin de coordonate reprezintă (este) ecuația unei drepte. Vectorul $\vec{a}\{-B;A\}$ este un vector director al acestei drepte.

Demonstrație. Să presupunem că $x_0$, $y_0$ este o careva soluție a ecuației (2), adică

$$A{x}_0+B{y}_0+C=0.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Ecuația (2) va fi echivalentă cu ecuația ce se obține dacă din ecuația (2) scădem parte cu parte egalitatea (3): $A(x-x_0)+B(y-y_0)=0$ sau

$$\left|\begin{array}{cc}x-x_0& y-y_0\\ -B& A\end{array}\right|=0.$$

Din cele demonstrate în teorema 21.1, ultima ecuație, cât și ecuația (2), este ecuația dreptei ce trece prin punctul $M_0(x_0;y_0)$ și are vectorul director $\vec{a}\{-B;A\}$. Teorema 21.2 este demonstrată. $■$

Ecuația generală

Ecuația $Ax+By+C=0$ se numește ecuația generală a dreptei.

fig. 1 — teoremele 21.1 și 21.2 ca dicționar în ambele sensuri: dreaptă (punct + direcție) ⇄ ecuație de gradul întâi

Cum se citește figura — echivalența dreaptă ⇄ ecuație

Pasul 1 — caseta din stânga. O dreaptă e dată geometric: un punct $M_0$ și un vector director $\vec{a}$.

Pasul 2 — săgeata de sus (T. 21.1). Din punct și vector se calculează $A=a_2$, $B=-a_1$, $C=a_1{y}_0-a_2{x}_0$.

Pasul 3 — caseta din dreapta. O ecuație de gradul întâi, cu condiția $A^2+B^2>0$.

Pasul 4 — săgeata de jos (T. 21.2). Din ecuație se recuperează dreapta: vectorul director $\{-B;A\}$ și ca punct orice soluție a ecuației.

Pasul 5 — de ce contează ambele sensuri. T. 21.1 singură ar spune doar „dreptele sunt printre soluțiile ecuațiilor de gradul întâi”. T. 21.2 adaugă: „și nimic altceva”. Împreună: dreptele sunt exact mulțimile de soluții ale ecuațiilor de gradul întâi.

Pe ce se bazează: ecuația canonică (1″) din §20.

Ce să verificați singuri pe figură: treceți de la $M_0$ și $\vec{a}$ la ecuație, apoi înapoi la vector. Obțineți $\{-B;A\}=\{a_1;a_2\}$ — exact vectorul de la care ați plecat.

Completare — soluția $(x_0;y_0)$ chiar există

Demonstrația începe cu „să presupunem că $x_0,y_0$ este o careva soluție”, fără să arate că există una. Există, și se poate scrie explicit, folosind $A^2+B^2>0$:

• dacă $B\ne 0$: $x_0=0$, $y_0=-\frac{C}{B}$ (punctul unde dreapta taie axa $Oy$);
• dacă $B=0$, atunci $A\ne 0$ și $x_0=-\frac{C}{A}$, $y_0=0$.

Fără condiția $A^2+B^2>0$ afirmația ar fi falsă: $0x+0y+5=0$ nu are nicio soluție, iar $0x+0y+0=0$ e satisfăcută de tot planul. Niciuna nu e o dreaptă. De aceea în „ecuație de gradul întâi” condiția e esențială.

Ecuația unei drepte nu e unică

$Ax+By+C=0$ și $\lambda Ax+\lambda By+\lambda C=0$ (cu $\lambda \ne 0$) descriu aceeași dreaptă. Așadar $A$, $B$, $C$ sunt determinați doar până la un factor comun. Exemplu: $5x+3y+5=0$ și $-10x-6y-10=0$.

3. Teorema 21.3 — când e un vector paralel cu dreapta

Teorema 21.3

Fie într-un sistem afin de coordonate este dată dreapta $d$ prin ecuația generală $Ax+By+C=0$. Condiția

$$a_{1}A+a_{2}B=0\text{\hspace{1em}(4)}$$

este necesară și suficientă pentru ca vectorul $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ să fie paralel la dreapta $d$.

Demonstrație. Depunem vectorul $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ din orice punct $M_0(x_0;y_0)$ al dreptei date. Atunci extremitatea $M$ a vectorului $\vec{a}$ va avea coordonatele $x_0+a_1$, $y_0+a_2$. Vectorul $\vec{a}\{a_1;a_2\}$ va fi paralel la dreapta dată atunci și numai atunci, când punctul $M$ va aparține dreptei date, adică atunci și numai atunci, când are loc egalitatea:

$$A(x_0+a_1)+B(y_0+a_2)+C=0\text{sau}A{a}_1+B{a}_2=0$$

(deoarece $M_0$ aparține dreptei date, atunci $A{x}_0+B{y}_0+C=0$). Teorema 21.3 este demonstrată. $■$

fig. 2 — doi vectori depuși din același punct al dreptei: capătul celui paralel cade pe dreaptă, al celuilalt — nu

Cum se citește figura — teorema 21.3

Pasul 1 — dreapta $2x+3y-6=0$ (violet) și punctul ei $M_0(0;2)$.

Pasul 2 — vectorul verde $\vec{a}=\{3;-2\}$, depus din $M_0$. Capătul: $(0+3;2-2)=(3;0)$. În ecuație: $6+0-6=0$ — capătul e pe dreaptă, deci $\vec{a}$ e paralel cu $d$.

Pasul 3 — vectorul roșu $\vec{b}=\{2;1\}$. Capătul $(2;3)$: $4+9-6=7\ne 0$ — capătul iese de pe dreaptă.

Pasul 4 — de ce rămâne doar $A{a}_1+B{a}_2$. Introducând capătul $(x_0+a_1;y_0+a_2)$ în ecuație, partea $A{x}_0+B{y}_0+C$ e deja $0$ (fiindcă $M_0\in d$). Rămâne exact $A{a}_1+B{a}_2$: pentru $\vec{a}$, $2\cdot 3+3\cdot (-2)=0$; pentru $\vec{b}$, $2\cdot 2+3\cdot 1=7$. Exact cât a ieșit mai sus.

Pe ce se bazează: definiția vectorului director (un vector e paralel cu $d$ dacă, depus dintr-un punct al lui $d$, rămâne pe $d$) și faptul că $M_0\in d$.

Ce să verificați singuri pe figură: verificați că $\{-B;A\}=\{-3;2\}$ satisface (4): $2\cdot (-3)+3\cdot 2=0$ ✓ — vectorul director din teorema 21.2 trece testul, cum era de așteptat.

4. Vectorul normal

Dacă dreapta este determinată de ecuația $Ax+By+C=0$ într-un sistem rectangular cartezian de coordonate, atunci vectorul $\vec{n}\{A;B\}$ este perpendicular pe dreapta $d$. Într-adevăr, $(\vec{a},\vec{n})=-B\cdot A+A\cdot B=0$. Prin urmare, vectorul $\vec{n}\{A;B\}$ este perpendicular pe vectorul director $\vec{a}\{-B;A\}$ al dreptei $d$, dar atunci $\vec{n}\perp d$.

Vectorul normal

Vectorul $\vec{n}\{A;B\}$ se numește vector normal al dreptei $d$. Evident, există o infinitate de vectori normali ai dreptei.

fig. 3 — coeficienții lui $x$ și $y$ dau direct un vector perpendicular pe dreaptă

Cum se citește figura — vectorul normal

Pasul 1 — dreapta $2x+3y-6=0$ și punctul ei $M_0(1,5;1)$.

Pasul 2 — vectorul director (portocaliu) $\vec{a}=\{-B;A\}=\{-3;2\}$ — din teorema 21.2. Stă pe dreaptă.

Pasul 3 — vectorul normal (verde) $\vec{n}=\{A;B\}=\{2;3\}$ — coeficienții citiți direct din ecuație.

Pasul 4 — unghiul drept. $(\vec{a},\vec{n})=(-3)\cdot 2+2\cdot 3=0$ ⇒ $\vec{a}\perp \vec{n}$, după consecința 13.6.

Pe ce se bazează: teorema 21.2 și criteriul de perpendicularitate în coordonate — care cere sistem rectangular cartezian.

Ce să verificați singuri pe figură: din $\{A;B\}$ se obține $\{-B;A\}$ prin aceeași „regulă rapidă” ca în §13: schimbi coordonatele între ele și schimbi semnul uneia.

Vectorul normal cere sistem rectangular cartezian

Teorema 21.3 și vectorul director $\{-B;A\}$ sunt valabile în orice sistem afin. Vectorul normal nu: într-un sistem cu axe oblice, $\{A;B\}$ nu mai e perpendicular pe dreaptă, fiindcă formula produsului scalar $a_1{b}_1+a_2{b}_2$ cere bază ortonormată.

Rezumat — ce se citește dintr-o ecuație generală

Din $Ax+By+C=0$ se citește		Sistem
un vector director	$\vec{a}=\{-B;A\}$	afin
testul „$\vec{v}\parallel d$?“	$A{v}_1+B{v}_2=0$	afin
testul „$P\in d$?“	$A{x}_P+B{y}_P+C=0$	afin
un vector normal	$\vec{n}=\{A;B\}$	rectangular cartezian
coeficientul unghiular (dacă $B\ne 0$)	$k=-\frac{A}{B}$	afin

Întrebări de control

1. Scrieți ecuația generală a dreptei prin $M_0(-1;4)$ cu vectorul director $\{2;5\}$.
2. Un vector director și un vector normal pentru $4x-y+7=0$.
3. Este vectorul $\{6;4\}$ paralel cu dreapta $2x-3y+1=0$? Dar $\{3;2\}$?
4. De ce $0\cdot x+0\cdot y+1=0$ nu reprezintă o dreaptă? Ce condiție din teorema 21.2 încalcă?
5. Arătați că $k=-A/B$ pornind de la vectorul director $\{-B;A\}$.

Legături

• Anterior: Ecuația în segmente, cu coeficient unghiular și parametrică
• Continuare: Poziția dreptei față de axe
• Se sprijină pe: Ecuația canonică și ecuația dreptei prin două puncte, Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate
• Concepte: Ecuațiile dreptei, Vector director, Vector normal