Recapitulare — metrica planului

Formularul §11–§15 pe o singură pagină. Pentru demonstrații și figuri, urmați legăturile.

Firul celor cinci paragrafe

§10 a dat unde se află un punct. §11 adaugă cât de departe (distanțe). §13 adaugă sub ce unghi (produsul scalar). §14 adaugă în ce parte (unghiul orientat) și, din el, aria. §15 arată cum se schimbă toate acestea când schimbăm sistemul. §12 nu adaugă nimic nou logic — oferă un al doilea limbaj, potrivit pentru figurile radiale.

1. Sistemul rectangular cartezian (§11)

$$R=\{O,\vec{i},\vec{j}\},|\vec{i}|=|\vec{j}|=1,\vec{i}\perp \vec{j}$$

Caz particular al sistemului afin ⇒ toate formulele §10 rămân valabile. În plus:

#	Formulă
(10)	$x=|\vec{a}|\cos \phi ={\mathrm{pr}}_{(Ox)}\vec{a}$, $y=|\vec{a}|\sin \phi ={\mathrm{pr}}_{(Oy)}\vec{a}$	proiecții ortogonale
—	$\vec{a}=\{|\vec{a}|\cos \phi ;|\vec{a}|\sin \phi \}$; pentru $|\vec{a}|=1$: $\vec{a}=\{\cos \phi ;\sin \phi \}$	forma trigonometrică
—	$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}$	nu determină singur unghiul
(11)	$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$	modulul
(12)	$\rho (A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$	distanța

Exemplul 11.1: $A(-2;2)$, $B(2;6)$, $C(10;-2)$ ⇒ $AB=4\sqrt{2}$, $AC=4\sqrt{10}$, $BC=8\sqrt{2}$. (Triunghiul este dreptunghic în $B$: $32+128=160$.)

2. Coordonate polare (§12)

Reper polar $R=\{O,\vec{i}\}$: polul $O$, axa polară $[OE)$. Punctul $M(r;\phi )$, cu $0\le r<\infty$, $0\le \phi <2\pi$ (se admit și unghiuri negative).

De la	La	Formule
$(r;\phi )$	$(x;y)$	$x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$
$(x;y)$	$(r;\phi )$	$r=\sqrt{x^2+y^2}$; $\cos \phi =x/r$, $\sin \phi =y/r$

Distanța direct în polare (teorema cosinusului în $OAB$):

$$\rho (A,B)=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)}$$

Polul este excepția: $r=0$ și $\phi$ nedeterminat; corespondența e biunivocă doar pe $P\setminus \{O\}$.

3. Unghiul dintre vectori (§13)

$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ = unghiul $AOB$, cu $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$. Nu depinde de $O$ (unghiuri cu laturi respectiv paralele și la fel orientate sunt congruente). Domeniul: $[0;\pi ]$, neorientat.

$\vec{a}\perp \vec{b}⟺\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\pi /2$. Convenție: vectorul nul e perpendicular pe orice vector.

4. Produsul scalar (§13)

#	Formulă
(1)	$(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}$
(2)	${\vec{a}}^2=(\vec{a},\vec{a})=|\vec{a}{|}^2$, deci $|\vec{a}|=\sqrt{{\vec{a}}^2}$
(3)	$(\vec{a},\vec{b})=a_1{b}_1+a_2{b}_2$ — numai în bază ortonormată
(4)	$(\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}-\vec{a}{|}^2\right)$
(6)	$\vec{a}\perp \vec{b}⟺a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$
(7)	$\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}}$

Teorema 13.3: $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$ · $(\alpha \vec{a},\vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b})$ · $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$.

Consecința 13.4: $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c}+\vec{d})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{a},\vec{d})+(\vec{b},\vec{c})+(\vec{b},\vec{d})$. Caz particular: $|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+2(\vec{a},\vec{b})+|\vec{b}{|}^2$.

Semnul: $+$ unghi ascuțit · $0$ unghi drept · $-$ unghi obtuz.

Fizic: lucrul mecanic $A=(\vec{F},\overrightarrow{M_1{M}_2})$.

5. Ce nu are produsul scalar

Proprietatea numerelor	La produsul scalar
rezultat de aceeași natură	nu — dă un număr; ${\vec{a}}^3$ nu are sens
$\alpha \beta =0\Rightarrow \alpha =0$ sau $\beta =0$	nu — $\{1;0\}$ și $\{0;1\}$
simplificare prin factor comun	nu — din $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{a},\vec{c})$ rezultă doar $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$
asociativitate	nu — $(\vec{a},\vec{b})\vec{c}$ e coliniar cu $\vec{c}$, $(\vec{b},\vec{c})\vec{a}$ cu $\vec{a}$

6. Unghiul orientat (§14)

$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\in (-\pi ;\pi ]$: pozitiv dacă $\vec{b}$ se obține din $\vec{a}$ prin rotație contrar acelor, negativ dacă în sensul acelor.

#	Formulă
(1)	$\sin \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\sin \widehat{(\vec{b},\vec{a})}$, $\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\cos \widehat{(\vec{b},\vec{a})}$	ordinea contează
(2)	$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})}\equiv \widehat{(\vec{a},\vec{c})}(\mathrm{mod}2\pi )$	doar sin și cos coincid
(3)	$a_1=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$, $a_2=|\vec{a}|\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$	T. 14.1, bază ortonormată dreaptă
(5)	$\cos \phi =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$, $\sin \phi =\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{|\vec{a}||\vec{b}|}$	unghiul orientat în coordonate
(6)	$\mathrm{tg}\phi =\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{a_1{b}_1+a_2{b}_2}$	nu determină singur unghiul

Determinantul $a_1{b}_2-a_2{b}_1$: $=0$ ⇔ coliniari · $>0$ ⇔ $\vec{b}$ „la stânga” lui $\vec{a}$ · $|\cdot |$ = aria paralelogramului pe $\vec{a}$, $\vec{b}$.

7. Aria triunghiului (§14)

#	Formulă
(7)	$S=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|\sin \widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}$	cu unghi orientat ⇒ arie cu semn
(8)	$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{cc}{x}_2-x_1& y_2-y_1\\ x_3-x_1& y_3-y_1\end{array}\right|$	arie orientată: $>0$ dacă $A\to B\to C$ e contrar acelor
(9)	$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}\mathrm{mod}\left|\begin{array}{c}\dots \end{array}\right|$	aria obișnuită

Ex. 14.5: $A(3;7)$, $B(2;-3)$, $C(-1;4)$ ⇒ $\det =-37$, $S_{\Delta ABC}=\frac{37}{2}$, $S_{ABCD}=37$, $D(0;14)$.

8. Transformarea coordonatelor (§15)

Sistemul nou: originea $O^{\prime }(x_0;y_0)$, vectorii ${\vec{e}}_1{}^{\prime }=\{c_{11};c_{21}\}$, ${\vec{e}}_2{}^{\prime }=\{c_{12};c_{22}\}$ — toate în sistemul vechi.

#	Caz	Formulele
(5)	general	$x=c_{11}{x}^{\prime }+c_{12}{y}^{\prime }+x_0$, $y=c_{21}{x}^{\prime }+c_{22}{y}^{\prime }+y_0$
(6)	translație	$x=x^{\prime }+x_0$, $y=y^{\prime }+y_0$
(7)	aceeași origine	$x=c_{11}{x}^{\prime }+c_{12}{y}^{\prime }$, $y=c_{21}{x}^{\prime }+c_{22}{y}^{\prime }$
(9)	rectangular, aceeași orientare	$x=x^{\prime }\cos \alpha -y^{\prime }\sin \alpha +x_0$, $y=x^{\prime }\sin \alpha +y^{\prime }\cos \alpha +y_0$
(10)	rotație în jurul originii	(9) cu $x_0=y_0=0$
(11)	rectangular, orientări opuse	$x=x^{\prime }\cos \alpha +y^{\prime }\sin \alpha +x_0$, $y=x^{\prime }\sin \alpha -y^{\prime }\cos \alpha +y_0$
(12)	unificat	$x=x^{\prime }\cos \alpha -\epsilon y^{\prime }\sin \alpha +x_0$, $y=x^{\prime }\sin \alpha +\epsilon y^{\prime }\cos \alpha +y_0$

Matricea de trecere $C=(c_{ij})$: coloanele = vectorii noi. $\det C\ne 0$. Între baze ortonormate $\det C=\epsilon =\pm 1$; inversa e transpusa.

9. Harta logică §11–§15

graph TD
  A["§10 · sistem afin<br/>coordonate, fără metrică"] --> B["§11 · axe ⊥, unități = 1"]
  B --> C["(11) modulul<br/>√(x²+y²)"]
  C --> D["(12) distanța<br/>ρ(A,B)"]
  B --> E["§12 · coordonate polare<br/>x = r cos φ, y = r sin φ"]
  D --> E
  C --> F["§13 · T.13.5<br/>(a,b) = a₁b₁ + a₂b₂"]
  G["def. 13.1<br/>(a,b) = |a||b| cos α"] --> F
  H["teorema cosinusului"] --> F
  F --> I["T.13.3 · proprietăți"]
  F --> J["(6) perpendicularitate"]
  F --> K["(7) unghiul"]
  G --> K
  K --> L["§14 · unghi orientat<br/>sin φ = det / (|a||b|)"]
  L --> M["(8) aria orientată"]
  L --> N["T.14.1 · a = |a|(cos, sin)"]
  A --> P["§15 · formulele (5)<br/>matricea de trecere"]
  N --> Q["(12) rotația<br/>det = ±1"]
  P --> Q

Ordinea reală a demonstrațiilor

Manualul enunță teorema 13.3 înaintea teoremei 13.5, dar o demonstrează folosind formula (3) din 13.5. Nu e cerc vicios: 13.5 se sprijină doar pe definiția 13.1, teorema cosinusului, formula (11) și criteriul de coliniaritate din §5. Lanțul logic este 13.5 → 13.3.

10. Capcane frecvente

1. Formulele metrice cer reper rectangular cartezian. Într-un reper oblic sau cu unități inegale, (10)–(12), (3), (6), (7) sunt false.
2. $\mathrm{tg}\phi =y/x$ nu identifică unghiul — nu distinge cadranele opuse. Folosiți perechea $(\cos \phi ,\sin \phi )$.
3. Vectorii unui unghi trebuie să plece din vârful cercetat. Pentru unghiul din $B$ se folosesc $\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{BC}$, nu $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$ — altfel unghiul iese suplementar.
4. Ordinea contează la (5), nu la (12). $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$, dar $\rho (A,B)=\rho (B,A)$.
5. Polul nu are unghi polar. Formulele $\cos \phi =x/r$ își pierd sensul pentru $r=0$.
6. ${\vec{a}}^2$ este un număr. Nu se poate itera, deci ${\vec{a}}^3$ nu există.
7. Produsul scalar nul nu înseamnă vector nul. Înseamnă perpendicularitate.
8. „Dreaptă” și „stângă” își schimbă sensul între §10 și §14. Rețineți rotația: contrar acelor = pozitiv, în ambele paragrafe.
9. Aria din (8) are semn. Pentru aria obișnuită luați valoarea absolută (9).
10. În matricea de trecere, vectorii noi sunt coloane, nu rânduri. Altfel obțineți transpusa — și formule greșite.
11. Teorema 14.1 cere bază dreaptă. Cu $\vec{j}$ la $-90°$ de $\vec{i}$, formula lui $a_2$ își schimbă semnul.

Erori găsite în manual (§11–§15)

Loc	Ce scrie	Ce ar trebui
p. 50–51	„sistemul rectangular cartezian cartezian” (de mai multe ori)	„sistemul rectangular cartezian” — cuvânt repetat
p. 53 vs. p. 54	$0\le r<\infty$, dar imediat $r=|\overrightarrow{OM}|>0$	$r\ge 0$ în general; $r>0$ doar pentru $M\ne O$
p. 55, ex. 12.1	al doilea termen tratat ca ${\left(4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{27}{4}$, deși rândul anterior scrie corect $4\sqrt{3}-\frac{5\sqrt{2}}{2}$; rezultat $\sqrt{\frac{141}{4}-20\sqrt{2}}\approx 2,64$	$|AB|=\sqrt{89-20\sqrt{2}-20\sqrt{6}}\approx 3,42$ — verificat cu teorema cosinusului ($89-80\cos 15°$). Rezultatul manualului este imposibil: ar fi mai mic decât $r_2-r_1=3$
p. 57	teorema 13.3 demonstrată prin formula (3) din teorema 13.5, enunțată ulterior	referință înainte; nu e cerc vicios, dar ordinea logică este 13.5 → 13.3
p. 59	$((\vec{a},\vec{b}),\vec{c})\ne (\vec{a},(\vec{b},\vec{c}))$	paranteza interioară e un număr, deci exteriorul nu e produs scalar; sensul corect e $(\vec{a},\vec{b})\vec{c}\ne (\vec{b},\vec{c})\vec{a}$
p. 60, ex. 13.8	„de unde obținem $\beta =m(\angle BCA)=45°$”	$\beta =m(\angle ABC)$; $\angle BCA$ este $\gamma$, folosit trei rânduri mai jos
p. 60–61, 67 vs. p. 44	rotația contrar acelor e numită orientare „dreaptă” (în §10: „stângă”)	sensul pozitiv e același; doar numele e inversat — rețineți sensul rotației
p. 60–61 vs. p. 45	unghiul orientat în $(-\pi ;\pi ]$ (în §10: $[0;2\pi )$)	două convenții; diferă cu $2\pi$, au aceleași sin și cos
p. 61, teorema 14.1	„într-o bază ortonormată”	trebuie bază ortonormată dreaptă; demonstrația folosește $\widehat{(\vec{j},\vec{i})}=-\pi /2$
p. 63, formula (7)	„sau” între $\frac{1}{2}|AB||AC|\sin \hat{A}$ și formula cu unghi orientat	nu sunt echivalente: a doua dă arie cu semn
p. 64, fig. 55	$A(3;7)$ desenat jos, $B(2;-3)$ sus	desen schematic, inversat față de coordonate; rezultatul (37) e corect
p. 66	„vectorii ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ sunt necoliniari, atunci $\det C\ne 0$”	${\vec{e}}_1{}^{\prime }$ și ${\vec{e}}_2{}^{\prime }$ — coloanele lui $C$ sunt vectorii noi
p. 66, translația	matricea de trecere $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 0\end{array}\right)$	matricea unitate $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$; cea tipărită e singulară
p. 67	titlul „B. Rotația axelor” pentru formulele (7) din cazul afin	(7) e o schimbare de bază oarecare; rotație e doar cazul rectangular cu aceeași orientare

Vezi și tabelul complet din Surse originale.

Legături

• Lecțiile: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector · Distanța dintre două puncte · Reperul polar. Coordonate polare · Trecerea între coordonate polare și carteziene · Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate · Produsul scalar — definiție și interpretare · Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate · Ce nu se transferă de la numere. Aplicații · Unghiul orientat dintre doi vectori · Coordonatele vectorului prin unghiul orientat · Aria triunghiului în coordonate · Transformarea sistemului afin de coordonate · Rotația sistemului rectangular cartezian
• Anterior: Recapitulare — baze și coordonate
• Continuare: Recapitulare — dreapta în plan
• Notații și simboluri · Geometrie analitică în plan