Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor

1. Paralelismul a două drepte

Definiție

Două drepte $a$ și $b$ se numesc paralele dacă sunt situate în unul și același plan și nu au puncte comune. Se notează $a\parallel b$.

Ambele condiții sunt esențiale: coplanaritatea și lipsa punctelor comune.

Completare — pozițiile relative a două drepte în spațiu

Două drepte distincte din spațiu se pot afla în exact una dintre situațiile:

1. concurente — coplanare, cu un singur punct comun;
2. paralele — coplanare, fără puncte comune;
3. necoplanare (strâmbe) — nu există niciun plan care să le conțină pe amândouă; nu au puncte comune, dar nu sunt paralele.

Cazul (3) arată de ce în definiție nu e suficient „nu au puncte comune”.

2. Paralelismul semidreptelor și al segmentelor

Definiție

Semidreptele $[AB)$ și $[CD)$ (respectiv segmentele $[AB]$ și $[CD]$) se numesc paralele dacă dreptele $(AB)$ și $(CD)$ sunt paralele.

Paralelismul se transferă, așadar, de la dreapta-suport la orice porțiune a ei.

3. Paralelismul dreptei cu planul

Definiție

Dreapta $(AB)$ și planul $\sigma$ se numesc paralele dacă nu au niciun punct comun. Se notează $(AB)\parallel \sigma$.

Criteriu de paralelism dreaptă–plan

Dacă dreapta $(AB)$ nu este conținută în planul $\sigma$ și este paralelă cu o dreaptă situată în planul $\sigma$, atunci $(AB)\parallel \sigma$.

fig. T1 — criteriul dreaptă–plan: planul auxiliar $\tau$ și punctul imposibil $X$

Cum se citește figura — criteriul de paralelism dreaptă–plan

Pasul 1 — ipotezele. Planul gri $\sigma$ (jos) conține dreapta portocalie $d$. Dreapta albastră $(AB)$ este deasupra lui, paralelă cu $d$, și nu este conținută în $\sigma$.

Pasul 2 — construcția auxiliară. Două drepte paralele sunt, prin definiție, coplanare: conturul gri punctat este planul $\tau$ care le conține pe $(AB)$ și pe $d$. Planele $\tau$ și $\sigma$ sunt distincte și au în comun exact dreapta $d$.

Pasul 3 — presupunerea absurdă (roșu). Dacă $(AB)$ ar întâlni planul $\sigma$ într-un punct $X$, acesta ar fi în $\tau$ (fiind pe $(AB)$) și în $\sigma$ — deci pe $d$. Cercul roșu „$X$ ?” arată unde ar trebui să se afle.

Pasul 4 — contradicția și concluzia (violet). Dar $(AB)\parallel d$ înseamnă că $(AB)$ și $d$ nu au puncte comune, deci un astfel de $X$ nu există: $(AB)\cap \sigma =\varnothing$, adică $(AB)\parallel \sigma$.

Pe ce se bazează: definiția dreptelor paralele (pasul 2: coplanare și fără puncte comune); definiția paralelismului dreaptă–plan (pasul 4); planul — două plane distincte cu un punct comun se taie după o dreaptă (pasul 2).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cercul roșu stă chiar pe $d$ — orice punct comun lui $\tau$ și $\sigma$ trebuie să fie acolo; (2) coborâți în gând linia albastră până în $\sigma$: atunci $\tau$ ar coincide cu $\sigma$, pasul 2 nu mai funcționează — de aceea criteriul cere $(AB)\not\subset \sigma$ (avertismentul de mai jos).

Atenție

Condiția $(AB)\not\subset \sigma$ este obligatorie: o dreaptă conținută în plan este paralelă cu multe drepte din acel plan, dar nu este paralelă cu planul (are cu el o infinitate de puncte comune).

Definiție

Semidreapta $[AB)$ (respectiv segmentul $[AB]$) și planul $\sigma$ se numesc paralele dacă dreapta $(AB)$ și planul $\sigma$ sunt paralele.

4. Paralelismul a două plane

Definiție

Două plane se numesc paralele dacă nu au niciun punct comun. Se notează ${\sigma }_1\parallel {\sigma }_2$.

Criteriu de paralelism a două plane

Dacă două drepte concurente $a_1$ și $b_1$ din planul ${\sigma }_1$ sunt paralele respectiv cu două drepte concurente $a_2$ și $b_2$ din planul ${\sigma }_2$, atunci ${\sigma }_1\parallel {\sigma }_2$.

fig. T2 — criteriul a două plane: dacă s-ar tăia, $a_2$ și $b_2$ ar deveni paralele

Cum se citește figura — criteriul de paralelism a două plane

Pasul 1 — ipotezele (stânga). În planul de jos ${\sigma }_1$ se taie $a_1$ (albastru) și $b_1$ (portocaliu) în $O_1$; în planul de sus ${\sigma }_2$ se taie $a_2\parallel a_1$ și $b_2\parallel b_1$ în $O_2$. Aceeași culoare înseamnă drepte paralele.

Pasul 2 — fiecare dreaptă de sus e paralelă cu planul de jos. $a_2$ nu stă în ${\sigma }_1$ și e paralelă cu $a_1\subset {\sigma }_1$, deci, după criteriul dreaptă–plan (fig. T1), $a_2\parallel {\sigma }_1$. La fel $b_2\parallel {\sigma }_1$.

Pasul 3 — presupunerea absurdă (dreapta). Dacă planele s-ar tăia după o dreaptă $c$ (roșu punctat), atunci $a_2$ și $c$ ar fi ambele în ${\sigma }_2$, iar $a_2$ nu atinge ${\sigma }_1\supset c$ — deci $a_2\parallel c$. La fel $b_2\parallel c$. Cele trei linii orizontale din dreapta arată această situație.

Pasul 4 — contradicția. Din tranzitivitate, $a_2\parallel b_2$ — dar în stânga se vede că $a_2$ și $b_2$ se taie în $O_2$. Deci $c$ nu există și ${\sigma }_1\parallel {\sigma }_2$ (violet).

Pe ce se bazează: criteriul de paralelism dreaptă–plan (pasul 2); definiția dreptelor paralele (pasul 3); tranzitivitatea paralelismului din completarea de la §4 (pasul 4); definiția planelor paralele.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) fiecare dreaptă de sus are „perechea” ei de aceeași culoare jos; (2) desenați în gând $b_1$ și $b_2$ paralele cu $a_1$, $a_2$ (nu concurente): în pasul 4 nu mai apare nicio contradicție — de aceea criteriul cere drepte concurente.

Atenție

Concurența dreptelor este esențială. Dacă $a_1\parallel b_1$, condiția e satisfăcută și de plane care se intersectează — de aceea criteriul cere ca $a_1$ și $b_1$ să se intersecteze (deci să determine „două direcții” distincte în plan).

Completare — proprietăți folosite curent

1. Unicitatea paralelei (axioma paralelelor): printr-un punct exterior unei drepte trece o singură dreaptă paralelă cu ea, în planul determinat de punct și dreaptă.
2. Tranzitivitatea: dacă $a\parallel b$ și $b\parallel c$, atunci $a\parallel c$ (pentru drepte distincte). Analog pentru plane.
3. Dacă două plane paralele sunt intersectate de un al treilea plan, dreptele de intersecție sunt paralele.
4. Prin orice punct exterior unui plan trece un singur plan paralel cu acesta.

Tranzitivitatea este cea care face ca relația de coorientare — și, mai departe, echipolența — să fie o relație de echivalență.

Întrebări de control

1. De ce „două drepte fără puncte comune” nu este o definiție corectă a paralelismului în spațiu?
2. Care este diferența dintre definiția și criteriul de paralelism dreaptă–plan?
3. De ce în criteriul de paralelism a două plane dreptele trebuie să fie concurente?

Legături

• Anterior: Figuri geometrice simple. Definiții și notare
• Continuare: Orientarea semidreptelor. Direcție