Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari

Teorema 6.9

Dacă vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari, iar vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ necoliniari, atunci există în mod univoc numerele reale $\alpha$ și $\beta$, astfel încât

$$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}\text{\hspace{1em}(∗)}$$

De ce este teorema centrală a capitolului

Ea spune că doi vectori necoliniari formează o bază a planului: orice alt vector din plan se scrie prin ei, și într-un singur fel. Perechea $(\alpha ,\beta )$ devine „adresa” lui $\vec{c}$ — primul pas către coordonate.

fig. 1 — doi vectori necoliniari „pavează” planul; orice $\vec{c}$ are o singură pereche $(\alpha ,\beta )$

Demonstrația — partea I: existența

Depunem dintr-un punct $O$ vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$. Acești vectori sunt coplanari și, prin urmare, punctele $O$, $A$, $B$ și $C$ aparțin aceluiași plan, iar punctele $O$, $A$ și $B$ nu aparțin unei drepte (vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ nu-s coliniari).

Cazul 1 — $C$ aparține dreptei $(OB)$

fig. 2 (fig. 31 din curs) — cazul degenerat $C\in (OB)$

Atunci $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ sunt coliniari și, conform teoremei despre vectorii coliniari, există așa număr real $\beta$ astfel încât $\vec{c}=\beta \vec{b}$. Dar atunci

$$\vec{c}=0\cdot \vec{a}+\beta \vec{b},$$

deci în acest caz are loc egalitatea $(\ast )$, cu $\alpha =0$.

În mod analogic ne convingem că are loc egalitatea $(\ast )$ în cazul când punctul $C$ aparține dreptei $(OA)$ (atunci $\beta =0$).

Cazul 2 — cazul general

fig. 3 (fig. 32 din curs) — construcția paralelogramului de descompunere

Să cercetăm cazul când punctul $C$ nu aparține nici dreptei $(OA)$, nici dreptei $(OB)$.

Construim dreapta $(C{C}_1)$ paralelă la dreapta $(OB)$, unde $C_1$ aparține dreptei $(OA)$. După regula triunghiului:

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{C}_1}+\overrightarrow{C_{1}C}$$

Deoarece $\overrightarrow{O{C}_1}\parallel \overrightarrow{OA}$ și $\overrightarrow{C_{1}C}\parallel \overrightarrow{OB}$, există așa numere reale $\alpha$ și $\beta$, încât $\overrightarrow{O{C}_1}=\alpha \vec{a}$ și $\overrightarrow{C_{1}C}=\beta \vec{b}$. Prin urmare

$$\overrightarrow{OC}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b},$$

adică și în acest caz are loc egalitatea $(\ast )$.

Pas cu pas — construcția din cazul general

Ținta: să scriem $\vec{c}$ ca o sumă de doi vectori, unul pe direcția lui $\vec{a}$, celălalt pe direcția lui $\vec{b}$.

Pasul 1 — de ce o paralelă. Vrem să „spargem” $\overrightarrow{OC}$ în două bucăți cu direcții impuse. Regula triunghiului spune că orice punct intermediar $X$ dă $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OX}+\overrightarrow{XC}$. Trebuie deci ales $X$ exact acolo unde ambele bucăți cad pe direcțiile dorite.

Pasul 2 — găsim punctul. Ducem prin $C$ paralela la $(OB)$. Ea taie dreapta $(OA)$ într-un punct — îl numim $C_1$. (Se intersectează pentru că $(OA)$ și $(OB)$ nu-s paralele — aici se folosește ipoteza că $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt necoliniari!)

Pasul 3 — verificăm cele două bucăți.

• $\overrightarrow{O{C}_1}$ este pe dreapta $(OA)$, deci coliniar cu $\vec{a}$;
• $\overrightarrow{C_{1}C}$ este pe paralela la $(OB)$, deci coliniar cu $\vec{b}$.

Pasul 4 — trecem la coeficienți. Prin teorema 5.3, coliniaritatea înseamnă existența unor numere: $\overrightarrow{O{C}_1}=\alpha \vec{a}$ și $\overrightarrow{C_{1}C}=\beta \vec{b}$.

Pasul 5 — adunăm. $\vec{c}=\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{C}_1}+\overrightarrow{C_{1}C}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$. $■$

Unde a fost folosită fiecare ipoteză:

• coplanaritatea — ca $O$, $A$, $B$, $C$ să fie în același plan, altfel paralela dusă prin $C$ nu ar întâlni dreapta $(OA)$;
• necoliniaritatea lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$ — ca intersecția din pasul 2 să existe (și, mai târziu, pentru unicitate).

Greșeală de tipar în PDF-ul cursului

În text apare scris „După regula triunghiului $\overrightarrow{O{C}_1}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{C{C}_1}$”. Corect este

$$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{O{C}_1}+\overrightarrow{C_{1}C},$$

așa cum se și folosește două rânduri mai jos, când se scrie $\overrightarrow{OC}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$.

Cum se citește figura — teorema 6.9, existența (fig. 2 și fig. 3)

Pasul 1 — datele comune. $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ (albastru) și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ (portocaliu) din $O$, necoliniari; $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ (violet) în același plan.

Pasul 2 — fig. 2, cazul particular. $C$ cade pe dreapta punctată $(OB)$: violetul are direcția portocaliului, deci $\vec{c}=\beta \vec{b}$ și nu e nevoie de nicio construcție ($\alpha =0$).

Pasul 3 — fig. 3, construcția. Din $C$ coborâți pe linia portocalie punctată, paralelă cu $(OB)$, până întâlniți dreapta lui $\vec{a}$ în $C_1$.

Pasul 4 — fig. 3, cele două bucăți. Albastrul punctat $\overrightarrow{O{C}_1}$ stă pe dreapta lui $\vec{a}$, deci $\overrightarrow{O{C}_1}=\alpha \vec{a}$; portocaliul punctat $\overrightarrow{C_{1}C}$ este paralel cu $\vec{b}$, deci $\overrightarrow{C_{1}C}=\beta \vec{b}$.

Pasul 5 — concluzia. Drumul punctat $O\to C_1\to C$ și violetul $O\to C$ au aceleași capete: $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$.

Pe ce se bazează: teorema 5.3 (pașii 2 și 4); unicitatea paralelei și necoliniaritatea lui $\vec{a}$, $\vec{b}$ — existența lui $C_1$ (Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor, pasul 3); relația lui Chasles (pasul 5).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) în fig. 3 măsurați $O{C}_1/OA$ — acesta este $\alpha$ — și $C_{1}C/OB$ — acesta este $\beta$; (2) linia punctată $C_{1}C$ nu trece prin $B$: ea trebuie doar să fie paralelă cu $(OB)$.

Demonstrația — partea II: unicitatea

Să demonstrăm acum că numerele $\alpha$ și $\beta$ ce satisfac egalității $(\ast )$ se determină în mod unic.

Să presupunem că prin altă metodă determinăm astfel de numere reale ${\alpha }_1$ și ${\beta }_1$ încât $\vec{c}={\alpha }_1\vec{a}+{\beta }_1\vec{b}$. Din ultima egalitate și din egalitatea $(\ast )$ rezultă:

$$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}={\alpha }_1\vec{a}+{\beta }_1\vec{b}⟺(\alpha -{\alpha }_1)\vec{a}+(\beta -{\beta }_1)\vec{b}=\vec{0}$$

Dacă presupunem că $\alpha \ne {\alpha }_1$, atunci obținem

$$\vec{a}=-\frac{\beta -{\beta }_1}{\alpha -{\alpha }_1}\vec{b}$$

și deci vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari. Analogic, dacă $\beta \ne {\beta }_1$, obținem

$$\vec{b}=-\frac{\alpha -{\alpha }_1}{\beta -{\beta }_1}\vec{a}$$

și iarăși vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari. În ambele cazuri am obținut contrazicere cu faptul că vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ nu-s coliniari. Prin urmare, $\alpha ={\alpha }_1$ și $\beta ={\beta }_1$. $■$

fig. T1 — unicitatea descompunerii: geometric (sus) și algebric (jos)

Cum se citește figura — teorema 6.9, unicitatea

Pasul 1 — sus, descompunerea găsită. Violetul $\overrightarrow{OC}$ se descompune prin $C_1$: albastru punctat $2\vec{a}$, apoi portocaliu punctat $1,5\vec{b}$, pe paralela gri la $\vec{b}$ dusă prin $C$.

Pasul 2 — sus, o a doua descompunere (roșu). Altă pereche $({\alpha }_1,{\beta }_1)$ ar însemna alt punct $C_1^{\prime }$ pe dreapta lui $\vec{a}$ cu $\overrightarrow{C_1^{\prime }C}\parallel \vec{b}$. Linia roșie punctată arată că $C_1^{\prime }C$ nu e paralelă cu $\vec{b}$: prin $C$ trece o singură paralelă la $\vec{b}$, iar ea taie dreapta lui $\vec{a}$ într-un singur punct.

Pasul 3 — jos, versiunea algebrică. Scăzând cele două descompuneri: $(\alpha -{\alpha }_1)\vec{a}=({\beta }_1-\beta )\vec{b}$. Albastrul stă pe dreapta lui $\vec{a}$, portocaliul pe dreapta lui $\vec{b}$; linia roșie „$=?$” întreabă dacă pot fi egali.

Pasul 4 — concluzia. Două săgeți din $O$ pe drepte diferite coincid doar dacă ambele se reduc la punctul $O$: $\alpha -{\alpha }_1=0$ și ${\beta }_1-\beta =0$. Altfel, împărțind la un coeficient nenul, am obține $\vec{a}\parallel \vec{b}$ — contradicție.

Pe ce se bazează: teorema 5.3 ($\vec{a}=\lambda \vec{b}$ înseamnă coliniaritate); teorema 6.5 (izolarea unui vector); unicitatea paralelei printr-un punct (Paralelismul dreptelor, semidreptelor și planelor).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) sus, numărați: $O{C}_1$ are $2$ lungimi de $\vec{a}$, iar $C_{1}C$ are $1,5$ lungimi de $\vec{b}$; (2) mutați în gând $C_1^{\prime }$ pe dreapta lui $\vec{a}$ până când linia roșie devine paralelă cu $\vec{b}$ — se oprește exact în $C_1$.

Structura demonstrației de unicitate

Este o demonstrație prin reducere la absurd, cu tiparul standard:

1. presupunem două descompuneri diferite;
2. le scădem — obținem o combinație liniară nulă cu coeficienți nu toți nuli;
3. de aici izolăm un vector prin celălalt ⇒ ar fi coliniari;
4. contrazice ipoteza.

Pasul 2–3 este exact teorema 6.5 aplicată la doi vectori. Cu alte cuvinte: unicitatea descompunerii ⟺ independența liniară a lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$.

Pas cu pas — unicitatea, cu numere

Presupunem, prin absurd, că același vector $\vec{c}$ are două descompuneri:

$$\vec{c}=2\vec{a}+5\vec{b}\text{și}\vec{c}=7\vec{a}+1\vec{b}$$

Pasul 1 — egalăm. Fiind același $\vec{c}$: $2\vec{a}+5\vec{b}=7\vec{a}+\vec{b}$.

Pasul 2 — trecem totul într-o parte. $(2-7)\vec{a}+(5-1)\vec{b}=\vec{0}$, adică $-5\vec{a}+4\vec{b}=\vec{0}$.

Pasul 3 — izolăm. Coeficientul lui $\vec{a}$ este $-5\ne 0$, deci putem împărți:

$$\vec{a}=\frac{4}{5}\vec{b}$$

Pasul 4 — contradicția. Această egalitate spune (prin teorema 5.3) că $\vec{a}\parallel \vec{b}$ — dar ipoteza era că sunt necoliniari. Contradicție.

Pasul 5 — concluzia. Presupunerea „două descompuneri diferite” e falsă. Deci coeficienții coincid: $\alpha ={\alpha }_1$ și $\beta ={\beta }_1$.

Unde s-a folosit ipoteza. Exact la pasul 3–4: împărțirea cere ca diferența coeficienților să fie nenulă, iar concluzia „ar fi coliniari” e cea care se ciocnește de ipoteză. Dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ ar fi coliniari, pasul 4 n-ar fi o contradicție — și, într-adevăr, atunci unicitatea nu mai are loc.

Ce se întâmplă dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari

Ipoteza „necoliniari” nu poate fi eliminată:

• dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, toate combinațiile $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ rămân pe o singură dreaptă — deci majoritatea vectorilor din plan nu se pot scrie așa (existența cade);
• iar cei care se pot scrie, se scriu în infinit de multe feluri (unicitatea cade).

Întrebări de control

1. De ce cazul $C\in (OB)$ trebuie tratat separat?
2. În fig. 3, ce reprezintă geometric numerele $\alpha$ și $\beta$?
3. Descompuneți diagonala $\overrightarrow{AC}$ a paralelogramului $ABCD$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$. Dar diagonala $\overrightarrow{BD}$?
4. Fie $M$ mijlocul laturii $[BC]$ a triunghiului $ABC$. Descompuneți $\overrightarrow{AM}$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.
5. De ce unicitatea descompunerii ar cădea dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ ar fi coliniari?

Legături

• Anterior: Vectori coplanari
• Continuare: Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară
• Se sprijină pe: Raportul a doi vectori coliniari