Segmente orientate. Segmente echipolente

1. Segmentul orientat

Definiție

Un segment se numește orientat dacă se ia în considerare ordinea scrierii extremităților lui.

Fie un segment cu extremitățile în punctele $A$ și $B$. Dacă $A$ este prima extremitate, iar $B$ — a doua, atunci:

• $A$ se numește originea segmentului orientat;
• $B$ se numește extremitatea segmentului orientat.

Segmentul orientat $[AB]$ se notează $\overline{AB}$, iar pe desen se reprezintă printr-o săgeată îndreptată spre extremitate.

fig. 1 — segmentul orientat $\overline{AB}$ și opusul său $\overline{BA}$

Segmentul orientat nul

Fiecare punct poate fi considerat un caz particular de segment orientat, la care originea coincide cu extremitatea. Un astfel de segment se numește segment orientat nul și se notează $\overline{AA}$.

Lungimea

Prin lungimea segmentului orientat $\overline{AB}$ înțelegem lungimea segmentului obișnuit $[AB]$; se notează $|\overline{AB}|$ sau $AB$.

$$|\overline{AA}|=0$$

Segmente orientate opuse

Ca mulțimi de puncte, $[AB]$ și $[BA]$ reprezintă unul și același segment. Ca segmente orientate, însă, $\overline{AB}$ și $\overline{BA}$ sunt două segmente diferite: fiecare se numește opusul celuilalt. Segmentul orientat nul se consideră opus lui însuși.

2. Orientarea segmentelor orientate

Definiție

Segmentele orientate nenule $\overline{AB}$ și $\overline{CD}$ se numesc la fel orientate (respectiv opus orientate) dacă semidreptele $[AB)$ și $[CD)$ sunt la fel orientate (respectiv opus orientate). Se notează $\overline{AB}\uparrow \uparrow \overline{CD}$, respectiv $\overline{AB}\uparrow \downarrow \overline{CD}$.

Un segment orientat nenul $\overline{AB}$ determină o direcție — și anume direcția căreia îi aparține semidreapta $[AB)$. Segmentul orientat nul nu determină nicio direcție.

Lacună rezolvată (confirmată în notițele §3)

Propoziția neterminată „Vom considera … .” din notițe fixa o convenție. Ea a fost confirmată în notițele §3, unde se scrie explicit

$$\vec{0}\uparrow \uparrow \vec{a}\text{pentru orice vector }\vec{a}$$

Așadar: elementul nul se consideră la fel orientat cu orice element. Este o convenție de comoditate: permite enunțuri fără excepții, de exemplu definiția 5.1 ($\alpha \vec{a}\uparrow \uparrow \vec{a}⟺\alpha \ge 0$, inclusiv pentru $\alpha =0$).

Atenție: convenția nu face coorientarea tranzitivă — dimpotrivă, prin elementul nul tranzitivitatea se pierde: $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{0}$ și $\vec{0}\uparrow \uparrow -\vec{a}$, dar $\vec{a}\uparrow \downarrow -\vec{a}$. Tranzitivitatea coorientării se folosește numai pentru elemente nenule. Echipolența rămâne o relație de echivalență: un segment nul este echipolent doar cu segmente nule (lungimea $0$), deci nu „leagă” niciodată segmente nenule între ele. Vezi orientarea vectorilor.

3. Echipolența

Definiția 1

Segmentele orientate $\overline{AB}$ și $\overline{CD}$ se numesc echipolente dacă sunt la fel orientate și au lungimi egale. Se notează $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$.

Prin urmare, echipolența cere două condiții simultan:

$$\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}⟺\{\begin{array}{llc}\overline{AB}\uparrow \uparrow \overline{CD}& \text{(aceeași direcție și sens)}|\overline{AB}|=|\overline{CD}|& \text{(aceeași lungime)}\end{array}$$

Orice două segmente orientate nule se consideră echipolente între ele.

Exemplu

În figura de mai jos este reprezentat pătratul $ABCD$, unde punctul $E$ este mijlocul laturii $AD$.

fig. 2 — pătratul $ABCD$ cu $E$ mijlocul laturii $[AD]$

Perechea	Lungime	Direcție și sens	Echipolente?
$\overline{AB}$ și $\overline{DC}$	egale	la fel orientate	da
$\overline{AB}$ și $\overline{CD}$	egale	opus orientate	nu
$\overline{BC}$ și $\overline{AE}$	diferite	la fel orientate	nu

Exemplul arată că fiecare dintre cele două condiții din definiție este necesară, dar niciuna singură nu este suficientă.

Criteriul de echipolență

Criteriu

Segmentele orientate $\overline{AB}$ și $\overline{CD}$ sunt echipolente dacă și numai dacă mijloacele segmentelor $[AD]$ și $[BC]$ coincid.

Completare — de ce funcționează criteriul

Dacă $A$, $B$, $C$, $D$ nu sunt coliniare, $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$ înseamnă că $[AB]$ și $[CD]$ sunt paralele, egale și la fel orientate, adică patrulaterul $ABDC$ (vârfurile luate în această ordine) este un paralelogram. Diagonalele lui sunt tocmai $[AD]$ și $[BC]$, iar diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc reciproc — deci au același mijloc. Reciproc, dacă $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc, $ABDC$ este paralelogram, deci $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$.

Atenție la ordinea literelor: se compară mijloacele „încrucișat” — origine cu extremitate: $[AD]$ și $[BC]$.

Valoarea criteriului este că înlocuiește o verificare geometrică (direcție + sens + lungime) cu una calculabilă: în coordonate, condiția devine $\frac{A+D}{2}=\frac{B+C}{2}$, adică $D-C=B-A$.

fig. T1 — criteriul de echipolență: diagonalele $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc $M$

Cum se citește figura — criteriul de echipolență

Pasul 1 — datele. Sus, $\overline{AB}$ (albastru) și $\overline{CD}$ (portocaliu) sunt echipolente: paralele, de aceeași lungime, cu săgețile în același sens.

Pasul 2 — completăm patrulaterul. Liniile gri punctate $[AC]$ și $[BD]$ închid patrulaterul $ABDC$ — citit în această ordine, nu $ABCD$. Laturile lui opuse $[AB]$ și $[CD]$ sunt paralele și egale, deci $ABDC$ e paralelogram.

Pasul 3 — diagonalele (violet punctat). Diagonalele lui $ABDC$ sunt $[AD]$ și $[BC]$ — fiecare unește originea unui segment cu extremitatea celuilalt. Liniuța simplă arată $AM=MD$, cea dublă $BM=MC$: $M$ este mijlocul ambelor.

Pasul 4 — cazul coliniar (jos). Când cele patru puncte sunt pe o dreaptă nu există paralelogram, dar regula rămâne: parantezele violet $[AD]$ și $[BC]$ au același mijloc $M$ (linia verticală punctată).

Pasul 5 — reciproca. Citiți figura de sus invers: dacă știți doar că $[AD]$ și $[BC]$ se înjumătățesc în $M$, patrulaterul $ABDC$ e paralelogram, deci $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$.

Pe ce se bazează: definiția echipolenței (pasul 1); o pereche de laturi opuse paralele și egale ⇒ paralelogram (pasul 2); diagonalele unui paralelogram se înjumătățesc, și reciproc (pașii 3 și 5); coorientarea — de ce contează sensul săgeților.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) pe dreapta de jos, cu $A=0$, $B=3$, $C=5$, $D=8$: mijlocul lui $[AD]$ este $4$, mijlocul lui $[BC]$ este tot $4$; (2) întoarceți în gând săgeata portocalie ($\overline{DC}$ în loc de $\overline{CD}$): criteriul ar cere atunci mijloacele lui $[AC]$ și $[BD]$, care în figură sunt laturi opuse și nu au același mijloc.

4. Echipolența este o relație de echivalență

Relația de echipolență satisface următoarele condiții:

1. Reflexivitate: $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{AB}$, pentru orice segment orientat $\overline{AB}$;
2. Simetrie: dacă $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$, atunci $\overline{CD}\stackrel{\omega }{=}\overline{AB}$;
3. Tranzitivitate: dacă $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$ și $\overline{CD}\stackrel{\omega }{=}\overline{EF}$, atunci $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{EF}$.

Concluzie

Relația de echipolență este o relație de echivalență pe mulțimea tuturor segmentelor orientate ale planului (respectiv ale spațiului).

fig. T2 — tranzitivitatea echipolenței, prin două paralelograme

Cum se citește figura — tranzitivitatea echipolenței

Pasul 1 — ipoteza 1. $\overline{AB}$ (albastru) și $\overline{CD}$ (portocaliu) sunt echipolente; liniile gri $[AC]$ și $[BD]$ închid paralelogramul $ABDC$.

Pasul 2 — ipoteza 2. $\overline{CD}$ și $\overline{EF}$ (violet) sunt echipolente; liniile gri $[CE]$ și $[DF]$ închid paralelogramul $CDFE$. Segmentul $\overline{CD}$ este „puntea” comună.

Pasul 3 — ce se transmite. Orientarea: $\overline{AB}\uparrow \uparrow \overline{CD}$ și $\overline{CD}\uparrow \uparrow \overline{EF}$, iar coorientarea e tranzitivă, deci $\overline{AB}\uparrow \uparrow \overline{EF}$. Lungimea: $|\overline{AB}|=|\overline{CD}|=|\overline{EF}|$.

Pasul 4 — concluzia (violet punctat). $[AE]$ și $[BF]$ închid un al treilea paralelogram, $ABFE$: $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{EF}$, deși cele două segmente nu au fost comparate direct.

Pe ce se bazează: definiția echipolenței; tranzitivitatea coorientării (Orientarea semidreptelor. Direcție și completarea „proprietăți folosite curent” de la paralelism); tranzitivitatea egalității numerelor, pentru lungimi.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cu o riglă: cele trei săgeți sunt paralele și au aceeași lungime; (2) reflexivitatea și simetria nu cer desen nou — paralelogramul $ABDC$ citit din $C$ este $CDBA$, adică $\overline{CD}\stackrel{\omega }{=}\overline{AB}$.

Această concluzie este pasul-cheie: ea permite împărțirea mulțimii segmentelor orientate în clase de echivalență, iar fiecare clasă va fi numită vector.

Întrebări de control

1. Prin ce diferă $\overline{AB}$ de $[AB]$?
2. De ce segmentul orientat nul nu determină nicio direcție?
3. Verificați cu ajutorul criteriului că $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{DC}$ în pătratul din fig. 2 (mijloacele căror segmente trebuie comparate?).
4. Ce s-ar strica dacă echipolența nu ar fi tranzitivă?

Legături

• Anterior: Orientarea semidreptelor. Direcție
• Continuare: Vectori
• Concepte: Segment orientat, Echipolență