Vectori

1. Definiția vectorului

Fie $V$ mulțimea tuturor segmentelor orientate ale spațiului. Relația de echipolență definită pe această mulțime este o relație de echivalență. Prin urmare, în raport cu echipolența, totalitatea segmentelor orientate ale spațiului se împarte în clase de echivalență.

Definiție

Fiecare clasă de echivalență a mulțimii $V$ în raport cu relația de echipolență se numește vector.

Altfel spus: vectorul este mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente între ele.

Pas cu pas — de ce vectorul este o mulțime, nu o săgeată

Ideea pare ciudată la prima citire. Iat-o desfăcută:

Pasul 1 — pornim de la un desen. Desenați o săgeată de la $A$ la $B$. Este segmentul orientat $\overline{AB}$: un obiect concret, lipit de două puncte.

Pasul 2 — desenăm „aceeași” săgeată în altă parte. Desenați $\overline{CD}$ cu aceeași lungime, aceeași direcție și același sens. Intuitiv spunem „e același vector”, deși e alt desen. Formal: $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$.

Pasul 3 — strângem toate desenele posibile. Repetând, obținem o mulțime infinită de săgeți, toate echipolente între ele. Nicio săgeată din ea nu e mai „specială” decât alta.

Pasul 4 — botezăm mulțimea. Această mulțime este vectorul. Alegerea unei săgeți anume se numește reprezentant și e doar un mod de a arăta cu degetul spre clasă.

Pasul 5 — de ce e nevoie de atâta grijă. Pentru că vrem ca $\vec{a}=\vec{b}$ să însemne ceva precis. Dacă vectorul ar fi „o săgeată”, $\overline{AB}$ și $\overline{CD}$ ar fi obiecte diferite și n-am putea scrie egalitate. Definind vectorul ca clasă, egalitatea devine simpla identitate a două mulțimi.

Analogie. Fracția $\frac{1}{2}$ nu este scrierea „1/2”: este clasa $\{\frac{1}{2},\frac{2}{4},\frac{3}{6},\dots \}$. Scrierea aleasă e un reprezentant. Exact aceeași construcție.

Notare

Modul de notare	Exemple
literă mică latină cu săgeată deasupra	$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$
două litere mari (originea și extremitatea) cu săgeată deasupra	$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{EF}$
literă mică aldină (în tipar)	$\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c}$

Distincția $\overline{AB}$ vs. $\overrightarrow{AB}$

• $\overline{AB}$ — un segment orientat concret, legat de punctele $A$ și $B$;
• $\overrightarrow{AB}$ — vectorul (întreaga clasă) determinat de acest segment orientat.

Un vector are o infinitate de reprezentanți; segmentul orientat este unul singur.

Vectorul nul

Dacă măcar unul dintre segmentele orientate ale clasei este nul, atunci toate segmentele orientate ale acelei clase sunt nule (echipolența păstrează lungimea). În acest caz vectorul se numește vector nul și se notează $\vec{0}$.

$$|\vec{0}|=0$$

2. Reprezentantul unui vector

Fie $\vec{a}$ un vector dat, adică o clasă de echivalență în raport cu echipolența. Dacă $\overline{AB}$ este un reprezentant al acestei clase, atunci $\overline{AB}$ determină întreaga clasă, adică vectorul $\vec{a}$. În acest caz vectorul $\vec{a}$ se notează $\overrightarrow{AB}$ și se indică pe desen printr-un segment orientat $\overline{AB}$.

3. Egalitatea vectorilor

Definiție

Dacă mulțimea $\vec{a}$ coincide cu mulțimea $\vec{b}$ — adică $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt același vector, doar notat diferit — spunem că vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt egali și scriem $\vec{a}=\vec{b}$.

În particular, $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ înseamnă că $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ reprezintă unul și același vector, ceea ce este echivalent cu $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$.

Afirmație (regula „schimbului de mijloc")

Dacă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, atunci $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Completare — justificare

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ înseamnă $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{CD}$, adică (după criteriul de echipolență) mijloacele segmentelor $[AD]$ și $[BC]$ coincid. Dar exact aceeași condiție — mijloacele lui $[AD]$ și $[CB]$ coincid — este criteriul pentru $\overline{AC}\stackrel{\omega }{=}\overline{BD}$. Deci $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Geometric: $ABDC$ este un paralelogram, iar cele două egalități citesc cele două perechi de laturi opuse ale lui: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ este o pereche, $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ este cealaltă. ($ACDB$ este același paralelogram, parcurs în sens invers — aceleași laturi, aceleași diagonale.)

fig. T1 — regula „schimbului de mijloc”: aceleași diagonale dau două egalități

Cum se citește figura — regula „schimbului de mijloc”

Pasul 1 — ipoteza (albastru). $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$: cele două săgeți albastre sunt paralele, egale și la fel orientate.

Pasul 2 — punctul-pivot (portocaliu). Diagonalele gri $[AD]$ și $[BC]$ se taie în $M$. Criteriul de echipolență traduce ipoteza în: „$M$ este mijlocul lui $[AD]$ și al lui $[BC]$”.

Pasul 3 — recitim aceleași diagonale. Pentru perechea $\overline{AC}$, $\overline{BD}$ criteriul cere mijloacele lui $[AD]$ și $[CB]$ — adică aceleași două diagonale, care au deja mijlocul comun $M$.

Pasul 4 — concluzia (violet). Deci $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$: săgețile violet sunt cealaltă pereche de laturi opuse a aceluiași paralelogram.

Pasul 5 — cazul coliniar (jos). Cu $A$, $B$, $C$, $D$ la $0$, $2$, $4$, $6$: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ (lungime $2$) și $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$ (lungime $4$); mijlocul comun $M$ este la $3$.

Pe ce se bazează: criteriul de echipolență, aplicat o dată „înainte” (pasul 2) și o dată „înapoi” (pasul 3); egalitatea vectorilor ⟺ echipolența reprezentanților.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) nu apare niciun segment nou — aceeași pereche de diagonale servește ambelor egalități; (2) urmăriți literele: în $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ literele „din mijloc” $B$ și $C$ își schimbă locul și obținem $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

4. Existența și unicitatea reprezentantului cu origine dată

Teoremă

Pentru orice vector $\vec{a}$ și orice punct $O$ din spațiu există un unic punct $M$ astfel încât $\overrightarrow{OM}=\vec{a}$.

Construcția. Fie $\vec{a}$ un vector arbitrar, iar $O$ un punct arbitrar al spațiului. Alegem un reprezentant $\overline{AB}$ al vectorului $\vec{a}$. Notăm cu $C$ mijlocul segmentului $[OB]$, iar cu $M$ — simetricul punctului $A$ în raport cu punctul $C$.

fig. 1 — construcția reprezentantului cu originea în $O$

Demonstrația. Din construcție, $C$ este mijlocul segmentului $[AM]$ (simetria față de $C$) și, în același timp, mijlocul segmentului $[OB]$. Așadar mijloacele segmentelor $[AM]$ și $[BO]$ coincid, ceea ce, conform criteriului de echipolență, înseamnă

$$\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{OM},\text{deci}\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{AB}=\vec{a}.$$

Unicitatea. Dacă ar exista două puncte $M$ și $M^{\prime }$ cu $\overrightarrow{OM}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=\vec{a}$, atunci $\overline{OM}\stackrel{\omega }{=}\overline{O{M}^{\prime }}$: cele două segmente orientate pornesc din același punct, au aceeași direcție, același sens și aceeași lungime, deci $M=M^{\prime }$. $■$

Cum se citește figura — teorema reprezentantului unic

Pasul 1 — datele. Sus, reprezentantul ales $\overline{AB}$ (albastru) al vectorului $\vec{a}$; jos-stânga, punctul dat $O$.

Pasul 2 — primul mijloc (portocaliu). Linia gri punctată $[OB]$ și mijlocul ei $C$ — singurul punct nou care se poate calcula direct din date.

Pasul 3 — simetria față de $C$. A doua linie punctată pleacă din $A$, trece prin $C$ și continuă cu aceeași lungime până în $M$. Astfel $C$ este mijloc și pentru $[AM]$.

Pasul 4 — concluzia (albastru, jos). Cele două linii punctate sunt diagonalele patrulaterului $ABMO$ și au mijlocul comun $C$. Criteriul de echipolență dă $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{OM}$: săgeata de jos este „copia” celei de sus, cu originea în $O$.

Pasul 5 — unicitatea. Orice alt punct $M^{\prime }$ cu $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=\vec{a}$ ar fi pe aceeași semidreaptă din $O$ și la aceeași distanță de $O$ — deci chiar $M$.

Pe ce se bazează: criteriul de echipolență, cu mijloacele luate „încrucișat”: $[AM]$ și $[BO]$ (pașii 2–4); definiția echipolenței — aceeași direcție, același sens, aceeași lungime (pasul 5).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) măsurați $AC$ și $CM$, apoi $OC$ și $CB$: perechile sunt egale; (2) mutați în gând punctul $O$: $C$ și $M$ se mută odată cu el, dar săgeata $\overline{OM}$ rămâne paralelă și egală cu $\overline{AB}$.

Pas cu pas — cum s-a găsit construcția

Construcția pare scoasă din pălărie. De fapt este citită invers din criteriul de echipolență.

Pasul 1 — ce vrem. Vrem un punct $M$ cu $\overline{OM}\stackrel{\omega }{=}\overline{AB}$.

Pasul 2 — traducem cu criteriul. Criteriul spune: $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{OM}$ $⟺$ mijloacele lui $[AM]$ și $[BO]$ coincid. (Atenție la încrucișare: origine cu extremitate.)

Pasul 3 — ce știm deja. Punctele $A$, $B$, $O$ sunt date. Deci mijlocul lui $[BO]$ îl putem calcula — îl notăm $C$.

Pasul 4 — impunem condiția. Condiția devine: „$C$ să fie și mijlocul lui $[AM]$”. Dar $A$ e cunoscut și $C$ e cunoscut — deci $M$ este simetricul lui $A$ față de $C$. Așa apare construcția din enunț.

Pasul 5 — verificăm. Prin construcție $C$ e mijloc și pentru $[AM]$, și pentru $[BO]$ ⇒ criteriul e satisfăcut ⇒ $\overrightarrow{OM}=\vec{a}$.

Morală. Când o construcție pare arbitrară, întrebați-vă ce condiție trebuie satisfăcută și rezolvați-o ca pe o ecuație. Construcția e soluția.

Consecință

Vectorul poate fi „aplicat” în orice punct al spațiului: de aceea vectorii studiați aici se numesc vectori liberi. Această teoremă este ceea ce face posibile, mai departe, regula triunghiului și regula paralelogramului pentru adunarea vectorilor.

5. Mărimi asociate unui vector

• Lungimea (modulul) vectorului $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$ este lungimea oricărui reprezentant al său: $|\vec{a}|=|\overline{AB}|=AB$. Definiția este corectă, pentru că toți reprezentanții au aceeași lungime.
• Direcția vectorului nenul este direcția comună a reprezentanților săi. Vectorul nul nu are direcție.

Noțiunile care decurg imediat

Fiecare are acum lecția ei, în acest paragraf sau în cele următoare:

• vectori coliniari și orientarea lor → Coliniaritatea și orientarea vectorilor
• vectorul opus și modulul → Modulul vectorului. Vectorul opus
• vectori coplanari → Vectori coplanari (§6)
• versor (vector unitar) — vector de lungime $1$; nu apare încă în notițele de curs.

Întrebări de control

1. Care este diferența dintre un segment orientat și un vector?
2. Câți reprezentanți are un vector? Câți dintre ei au originea într-un punct fixat $O$?
3. De ce vectorul nul nu determină o direcție?
4. Demonstrați afirmația: dacă $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$, atunci $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}$.

Legături

• Anterior: Segmente orientate. Segmente echipolente
• Continuare: Coliniaritatea și orientarea vectorilor
• Concepte: Vector, Echipolență, Direcție, Vector liber