Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate

Despre ce este lecția

Vectorii sunt liberi: îi putem muta oriunde în plan. Atunci ce înseamnă „unghiul dintre ei”, dacă nici măcar nu se ating? Lecția răspunde: îi aducem într-un punct comun și măsurăm acolo — apoi demonstrăm că răspunsul nu depinde de punctul ales. Abia după această verificare noțiunea de unghi are sens, iar produsul scalar din lecția următoare se poate defini.

1. Definiția unghiului

Fie $\vec{a}$ și $\vec{b}$ doi vectori nenuli. Dintr-un punct arbitrar $O$ depunem vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și considerăm semidreptele $[OA)$ și $[OB)$.

Unghiul dintre doi vectori

Unghi dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se numește unghiul dintre semidreptele $[OA)$ și $[OB)$, adică unghiul $AOB$.

Dacă semidreptele $[OA)$ și $[OB)$ coincid, atunci unghiul dintre acești vectori se consideră nul.

Unghiul dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se notează $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$.

fig. 1 (după fig. 51 din manual) — cei doi vectori depuși din același punct; unghiul dintre ei este unghiul $AOB$

Cum se citește figura — definiția unghiului

Pasul 1 — punctul comun. Ambele săgeți pleacă din același punct $O$. Acesta e singurul lucru pe care îl adăugăm față de datele problemei; $O$ este ales arbitrar.

Pasul 2 — de la vectori la semidrepte. Prelungiți mental fiecare săgeată dincolo de vârf: obțineți semidreptele $[OA)$ și $[OB)$. Unghiul se măsoară între semidrepte, nu între segmente — de aceea lungimile vectorilor nu intervin deloc.

Pasul 3 — citiți unghiul. Arcul violet dintre cele două semidrepte este $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\alpha$.

Pasul 4 — verificați cazul-limită. Dacă cele două săgeți ar fi coliniare și de același sens, semidreptele ar coincide și arcul s-ar reduce la un punct: unghiul este $0$. Dacă ar fi de sensuri opuse, semidreptele ar forma o dreaptă întreagă: unghiul este $\pi$.

Pe ce se bazează: teorema reprezentantului unic — pentru fiecare vector și fiecare punct $O$ există exact un punct $A$ cu $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, deci construcția e bine definită.

Ce să verificați singuri pe figură: scurtați una dintre săgeți la jumătate, fără să-i schimbați direcția. Unghiul rămâne același — confirmarea că unghiul depinde doar de direcții și sensuri, nu de module.

Domeniul unghiului

Din definiție, $0\le \widehat{(\vec{a},\vec{b})}\le \pi$. Unghiul dintre vectori este un unghi neorientat: nu are semn, iar $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$. Unghiul orientat, cu semn, apare abia în §14.

2. Unghiul nu depinde de punctul $O$

Deoarece două unghiuri ale căror laturi sunt respectiv paralele sunt congruente, unghiul dintre vectorii dați nu depinde de alegerea punctului $O$.

fig. 2 (după fig. 52 din manual) — aceiași doi vectori depuși din două puncte diferite; laturile sunt respectiv paralele

Cum se citește figura — independența de punctul $O$

Pasul 1 — două construcții, nu una. Stânga: vectorii depuși din $O$, cu extremitățile $A$ și $B$. Dreapta: aceiași vectori depuși din alt punct $O_1$, cu extremitățile $A_1$ și $B_1$.

Pasul 2 — de ce săgețile sunt identice. $\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O_1{A}_1}=\vec{a}$, fiindcă ambele sunt reprezentanți ai aceluiași vector. Deci segmentele orientate $\overline{OA}$ și $\overline{O_1{A}_1}$ sunt echipolente: aceeași direcție, același sens, aceeași lungime.

Pasul 3 — urmăriți liniile punctate. Ele leagă $A$ cu $A_1$ și $B$ cu $B_1$. Fiecare pereche de laturi ($OA$ cu $O_1{A}_1$, $OB$ cu $O_1{B}_1$) este formată din drepte paralele și la fel orientate — exact ipoteza teoremei despre unghiuri cu laturi respectiv paralele.

Pasul 4 — trageți concluzia. Unghiurile $AOB$ și $A_1{O}_1{B}_1$ sunt congruente. Deci $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ este același, indiferent de unde am depus vectorii.

Pasul 5 — de ce contează. Fără acest pas, definiția din secțiunea 1 ar fi fost defectuoasă: fiecare ar fi putut alege alt $O$ și obține alt răspuns. Aceasta este o verificare de tip „definiția este corectă”, nu un rezultat nou — dar fără ea, tot §13 ar sta în aer.

Pe ce se bazează: echipolența (ce înseamnă că $\overrightarrow{OA}$ și $\overrightarrow{O_1{A}_1}$ reprezintă același vector) și teorema din geometria elementară despre unghiuri cu laturi respectiv paralele și la fel orientate.

Ce să verificați singuri pe figură: patrulaterul $OA{A}_1{O}_1$ trebuie să fie un paralelogram ($\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O_1{A}_1}$ ⇒ $\overrightarrow{O{O}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}$). Verificați că laturile opuse sunt într-adevăr egale și paralele.

„Laturi paralele" nu e suficient — trebuie și „la fel orientate"

Două unghiuri cu laturile respectiv paralele sunt fie congruente, fie suplementare. Ele sunt congruente doar când laturile corespunzătoare sunt și la fel orientate.

Aici condiția e îndeplinită automat: reprezentanții aceluiași vector au același sens, nu doar aceeași direcție. Dacă am lucra cu drepte în loc de vectori, argumentul nu ar mai funcționa.

3. Vectori reciproc perpendiculari

Definiție

Vectorii nenuli $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se numesc reciproc perpendiculari dacă

$$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{\pi }{2},$$

și se notează $\vec{a}\perp \vec{b}$.

Convenția pentru vectorul nul

Convenim să considerăm că dacă măcar unul din vectorii $\vec{a}$ sau $\vec{b}$ este nul, atunci de asemenea $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{\pi }{2}$.

Așadar, vectorul nul este perpendicular pe orice vector.

De ce e nevoie de convenție — și ce se plătește pentru ea

Vectorul nul nu are direcție (Vectori), deci unghiul dintre $\vec{0}$ și orice vector nu se poate defini prin construcția din secțiunea 1: semidreapta $[OA)$ nu există când $A=O$.

De ce tocmai $\pi /2$? Pentru ca enunțurile să rămână simple. În lecția următoare se va arăta că $(\vec{a},\vec{b})=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$. Cum $(\vec{0},\vec{b})=0$ întotdeauna, fără convenție ar fi trebuit scris de fiecare dată „…sau unul dintre vectori este nul”. Convenția înghite acest caz.

Ce se strică. Perpendicularitatea nu mai are nicio proprietate de „tranzitivitate slabă”: $\vec{0}\perp \vec{a}$ și $\vec{0}\perp \vec{b}$ pentru orice $\vec{a},\vec{b}$, inclusiv paraleli. La fel ca la convenția $\vec{0}\uparrow \uparrow \vec{a}$ din §3, este o convenție de comoditate de scriere, nu o afirmație geometrică. Reținem: convenția servește formulele, nu intuiția.

Rezumatul lecției

Situație	$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$
$\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$ (coliniari, același sens)	$0$
$\vec{a}\perp \vec{b}$	$\pi /2$
$\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$ (coliniari, sensuri opuse)	$\pi$
unul dintre vectori este $\vec{0}$	$\pi /2$ (prin convenție)

Întrebări de control

1. De ce definiția unghiului cere verificarea din secțiunea 2? Ce s-ar întâmpla fără ea?
2. Doi vectori au unghiul $0$. Ce relație există între ei? Dar dacă unghiul este $\pi$?
3. De ce unghiul dintre vectori nu poate depăși $\pi$, deși un unghi în plan poate ajunge la $2\pi$?
4. Cât este $\widehat{(\vec{a},-\vec{a})}$? Dar $\widehat{(\vec{a},2\vec{a})}$?
5. Găsiți trei vectori $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$ cu $\vec{u}\perp \vec{v}$ și $\vec{v}\perp \vec{w}$, dar $\vec{u}$ nu e perpendicular pe $\vec{w}$. E acest lucru posibil în plan fără a folosi vectorul nul?

Legături

• Anterior: Trecerea între coordonate polare și carteziene
• Continuare: Produsul scalar — definiție și interpretare
• Se sprijină pe: Vectori, Segmente orientate. Segmente echipolente, Coliniaritatea și orientarea vectorilor
• Concepte: Unghiul dintre doi vectori, Vectori perpendiculari