Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr

4. Asociativitatea față de scalari

Proprietate (relația 1)

Pentru orice vector $\vec{a}$ și orice două numere reale $\alpha$ și $\beta$ are loc egalitatea

$$\beta (\alpha \vec{a})=(\beta \alpha )\vec{a}\text{\hspace{1em}(1)}$$

Demonstrație. Afirmația este evidentă dacă $\alpha =0$, $\beta =0$ sau $\vec{a}=\vec{0}$. Rămâne să cercetăm cazul când $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$ și $\vec{a}\ne \vec{0}$.

Fie $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}=\alpha \vec{a}$, $\overrightarrow{OC}=\beta \vec{b}=\beta (\alpha \vec{a})$, iar $\overrightarrow{OD}=(\beta \alpha )\vec{a}$. Să cercetăm vectorii $\overrightarrow{OC}$ și $\overrightarrow{OD}$.

a) Modulele. Conform definiției 5.1:

$$|\overrightarrow{OC}|=|\beta |\cdot |\vec{b}|=|\beta |\cdot |\alpha |\cdot |\vec{a}|,|\overrightarrow{OD}|=|\beta \alpha |\cdot |\vec{a}|=|\alpha |\cdot |\beta |\cdot |\vec{a}|$$

Deci $|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OD}|$.

b) Direcțiile. Sunt posibile două cazuri.

1. Numerele $\alpha$ și $\beta$ au același semn, adică $\alpha \beta >0$. În acest caz $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \vec{a}$ și $\overrightarrow{OD}\uparrow \uparrow \vec{a}$. Deci $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OD}$.
2. Numerele $\alpha$ și $\beta$ au semne opuse, adică $\alpha \beta <0$. Atunci $\overrightarrow{OC}\uparrow \downarrow \vec{a}$ și $\overrightarrow{OD}\uparrow \downarrow \vec{a}$. Prin urmare și în acest caz $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OD}$.

Deoarece $|\overrightarrow{OC}|=|\overrightarrow{OD}|$ și în ambele cazuri posibile $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OD}$, rezultă că $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}$ și deci $\beta (\alpha \vec{a})=(\beta \alpha )\vec{a}$. $■$

fig. T1 — asociativitatea față de scalari: cazurile $\alpha \beta >0$ și $\alpha \beta <0$

Cum se citește figura — asociativitatea față de scalari

Pasul 1 — fiecare panou este o singură dreaptă. Linia verticală punctată marchează originea comună $O$. Toți vectorii au aceeași direcție; sunt desenați pe rânduri separate doar ca să nu se suprapună.

Pasul 2 — rândurile 1–2, datele. $\vec{a}$ (albastru) și $\vec{b}=\alpha \vec{a}$ (portocaliu). Sus $\alpha =-2$: $\vec{b}$ e de două ori mai lung și întors. Jos $\alpha =2$: de două ori mai lung, în același sens.

Pasul 3 — rândul 3, $\overrightarrow{OC}=\beta \vec{b}$. Înmulțim portocaliul cu $\beta =-1,5$: lungimea crește de $1,5$ ori și sensul se întoarce față de $\vec{b}$. Sus rezultă $3\vec{a}$, jos $-3\vec{a}$.

Pasul 4 — rândul 4, $\overrightarrow{OD}=(\beta \alpha )\vec{a}$ (punctat). Înmulțim direct albastrul cu produsul: sus $\beta \alpha =3$, jos $\beta \alpha =-3$.

Pasul 5 — comparația (violet). În fiecare panou rândurile 3 și 4 au aceeași lungime și același sens — sus ambele spre dreapta, jos ambele spre stânga. Contează doar că $\overrightarrow{OC}$ și $\overrightarrow{OD}$ sunt la fel orientați între ei.

Pe ce se bazează: definiția 5.1, la fiecare înmulțire; $|\beta \alpha |=|\beta |\cdot |\alpha |$ (modulele, punctul a); regula semnelor și tranzitivitatea coorientării — orientarea vectorilor (punctul b).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) numărați lungimile lui $\vec{a}$ pe rândurile 3 și 4: câte $3$ în ambele panouri; (2) construiți în gând panoul pentru $\alpha =-2$, $\beta =1,5$ — trebuie să iasă $\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OD}=-3\vec{a}$.

Schema demonstrației

Doi vectori sunt egali dacă au același modul și aceeași orientare. Toate demonstrațiile din acest paragraf urmează acest tipar: (a) egalitatea modulelor, prin calcul cu valori absolute; (b) egalitatea orientărilor, prin discuția semnelor.

Pas cu pas — de ce ambele cazuri de la b) duc la aceeași concluzie

Punctul b) pare că se repetă inutil. Iată ce se întâmplă de fapt:

Pasul 1 — ce trebuie arătat. Că $\overrightarrow{OC}$ și $\overrightarrow{OD}$ au aceeași orientare între ele. Nu ne interesează cum sunt orientate față de $\vec{a}$ — acela e doar mijlocul de comparație.

Pasul 2 — cazul $\alpha \beta >0$. $\overrightarrow{OC}=\beta (\alpha \vec{a})$: înmulțim de două ori, cu numere de același semn, deci sensul se păstrează sau se inversează de două ori ⇒ revine la cel inițial. Deci $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \vec{a}$. Analog $\overrightarrow{OD}=(\beta \alpha )\vec{a}$ cu $\beta \alpha >0$ ⇒ $\overrightarrow{OD}\uparrow \uparrow \vec{a}$.

Pasul 3 — tranzitivitate. Ambii sunt la fel orientați cu $\vec{a}$ ⇒ sunt la fel orientați între ei.

Pasul 4 — cazul $\alpha \beta <0$. Acum amândoi sunt opus orientați față de $\vec{a}$. Dar „opus față de același lucru” înseamnă „la fel între ei” — ca două numere negative care au același semn.

Pasul 5 — de aceea concluzia e comună. În ambele cazuri $\overrightarrow{OC}\uparrow \uparrow \overrightarrow{OD}$; ce diferă e doar poziția lor comună față de $\vec{a}$, care nu apare în concluzie.

5. Distributivitatea față de scalari

Proprietate (relația 2)

Pentru orice vector $\vec{a}$ și orice numere reale $\alpha$ și $\beta$ are loc relația

$$(\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}\text{\hspace{1em}(2)}$$

fig. 1 — cazul $\alpha$, $\beta$ de același semn: lungimile se adună pe aceeași dreaptă

Demonstrație. Afirmația este evidentă dacă $\alpha =0$, $\beta =0$, $\vec{a}=\vec{0}$ sau $\alpha =-\beta$.

a) Fie $\alpha$ și $\beta$ au același semn. Atunci toți vectorii sunt la fel orientați:

$$\alpha \vec{a}\uparrow \uparrow \beta \vec{a}\uparrow \uparrow (\alpha \vec{a}+\beta \vec{a})\uparrow \uparrow (\alpha +\beta )\vec{a}\text{\hspace{1em}(3)}$$

Pe baza faptului că pentru orice două numere reale $\alpha$ și $\beta$ care au același semn $|\alpha +\beta |=|\alpha |+|\beta |$, obținem:

$$|(\alpha +\beta )\vec{a}|=|\alpha +\beta |\cdot |\vec{a}|=(|\alpha |+|\beta |)\cdot |\vec{a}|=|\alpha |\cdot |\vec{a}|+|\beta |\cdot |\vec{a}|\text{\hspace{1em}(4)}$$

Pentru vectorii $\alpha \vec{a}\uparrow \uparrow \beta \vec{a}$ avem:

$$|\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}|=|\alpha \vec{a}|+|\beta \vec{a}|=|\alpha |\cdot |\vec{a}|+|\beta |\cdot |\vec{a}|\text{\hspace{1em}(5)}$$

Din (3), (4) și (5) obținem (2).

b) Fie $\alpha$ și $\beta$ au semne opuse. Presupunem că $|\alpha |>|\beta |$. Atunci $(\alpha +\beta )$ și $-\beta$ au același semn și, pentru aceste numere, conform cazului precedent:

$$((\alpha +\beta )+(-\beta ))\vec{a}=(\alpha +\beta )\vec{a}+(-\beta )\vec{a}$$ $$\Rightarrow \alpha \vec{a}=(\alpha +\beta )\vec{a}-\beta \vec{a}\Rightarrow (\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}$$

Analogic se demonstrează (2) dacă $|\beta |>|\alpha |$. $■$

fig. T2 — cazul b), semne opuse: reducerea la cazul a) pentru $\alpha =7$, $\beta =-3$

Cum se citește figura — distributivitatea față de scalari (fig. 1 și fig. T2)

Pasul 1 — fig. 1, cazul a). $\alpha \vec{a}$ (albastru) și $\beta \vec{a}$ (portocaliu) sunt la fel orientați și așezați cap la cap pe aceeași dreaptă; săgeata violet $(\alpha +\beta )\vec{a}$ are lungimea egală cu suma lungimilor — relațiile (4) și (5).

Pasul 2 — fig. T2, liniile verticale. Marchează pozițiile $0$, $4$ și $7$, măsurate în lungimi de $\vec{a}$; sunt aceleași în ambele rânduri.

Pasul 3 — fig. T2, sus. Pentru $\alpha =7$, $\beta =-3$ cazul a) nu se aplică direct. Luăm perechea $(\alpha +\beta ,-\beta )=(4,3)$, de același semn: $4\vec{a}$ și $3\vec{a}$ cap la cap dau $7\vec{a}$.

Pasul 4 — fig. T2, jos. Aceeași egalitate, după ce adunăm $-3\vec{a}$: pornim cu $7\vec{a}=\alpha \vec{a}$ (albastru), ne întoarcem cu $-3\vec{a}=\beta \vec{a}$ (portocaliu) și ne oprim la $4\vec{a}=(\alpha +\beta )\vec{a}$ (violet).

Pe ce se bazează: definiția 5.1; $|\alpha +\beta |=|\alpha |+|\beta |$ pentru numere de același semn (cazul a); adunarea vectorilor coliniari, cap la cap; adunarea aceluiași vector în ambele părți — Proprietățile adunării vectorilor (cazul b).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) în rândul de jos al fig. T2, vârful violet cade exact pe linia punctată din mijloc; (2) pentru $\alpha =3$, $\beta =-5$ (întrebarea 3) perechea de același semn este $(\alpha +\beta ,-\alpha )=(-2,-3)$ — desenați-o după același model.

Trucul din cazul b)

Cazul semnelor opuse nu se demonstrează din nou, ci se reduce la cazul deja demonstrat, adăugând un termen convenabil. Este o tehnică standard: alegi o rescriere în care toți coeficienții au același semn.

Pas cu pas — reducerea din cazul b), cu numere concrete

Luăm $\alpha =7$, $\beta =-3$ (semne opuse, $|\alpha |>|\beta |$). Vrem $(7-3)\vec{a}=7\vec{a}+(-3)\vec{a}$, adică $4\vec{a}=7\vec{a}-3\vec{a}$.

Pasul 1 — nu putem aplica direct cazul a). $7$ și $-3$ au semne diferite, iar cazul a) cere același semn.

Pasul 2 — găsim două numere de același semn. $\alpha +\beta =4$ și $-\beta =3$. Amândouă pozitive ⇒ la ele putem aplica cazul a).

Pasul 3 — aplicăm cazul a) pentru perechea $(4,3)$:

$$(4+3)\vec{a}=4\vec{a}+3\vec{a}\text{adica˘}7\vec{a}=(7-3)\vec{a}+3\vec{a}$$

Pasul 4 — mutăm termenul. Adunăm $-3\vec{a}$ în ambele părți:

$$7\vec{a}-3\vec{a}=(7-3)\vec{a}\text{adica˘}7\vec{a}+(-3)\vec{a}=4\vec{a}$$

ceea ce trebuia demonstrat.

În general: se pleacă de la $((\alpha +\beta )+(-\beta ))\vec{a}$, unde $(\alpha +\beta )$ și $-\beta$ au același semn exact pentru că $|\alpha |>|\beta |$.

De ce merge. Nu inventăm nimic: folosim un caz deja demonstrat, aplicat unei perechi de numere alese anume ca să-i respecte ipoteza. Așa se sparg cazurile grele în matematică.

6. Distributivitatea față de suma de vectori

Proprietate (relația 6)

Pentru orice număr real $\alpha$ și orice doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ are loc egalitatea

$$\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}\text{\hspace{1em}(6)}$$

fig. 2 (fig. 28 din curs) — omotetia de centru $O$ și coeficient $\alpha$ duce triunghiul $ABC$ în $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$

Demonstrație. Afirmația este evidentă dacă $\alpha =0$. Fie $\alpha \ne 0$.

Dintr-un punct arbitrar $A$ construim $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$. Atunci $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$.

Alegem un punct $O$ ce nu aparține dreptelor $(AB)$, $(AC)$, $(BC)$ și o omotetie cu centrul $O$ și coeficientul $\alpha$. Vom obține corespunzător vectorii $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$.

Conform proprietății 3 avem:

$$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{AB}=\alpha \vec{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{BC}=\alpha \vec{b},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{AC}=\alpha (\vec{a}+\vec{b})$$

Pe de altă parte, după regula triunghiului: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$.

Așadar $\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$. $■$

Cum se citește figura — distributivitatea față de suma de vectori (fig. 2)

Pasul 1 — triunghiul mic. $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ (albastru), $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$ (portocaliu) cap la cap și latura de închidere $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$ (violet).

Pasul 2 — centrul și razele. $O$ este în afara dreptelor laturilor; liniile gri punctate duc fiecare vârf pe raza lui: $A\to A^{\prime }$, $B\to B^{\prime }$, $C\to C^{\prime }$, cu același coeficient $\alpha$ (în figură $\alpha =2$).

Pasul 3 — triunghiul mare, latură cu latură. Proprietatea 3 se aplică fiecărei laturi separat: albastrul mare este $\alpha \vec{a}$, portocaliul mare $\alpha \vec{b}$, violetul mare $\alpha (\vec{a}+\vec{b})$.

Pasul 4 — regula triunghiului în triunghiul mare. Albastrul mare și portocaliul mare sunt cap la cap, deci violetul mare este și $\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$. Comparând cu pasul 3: $\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$.

Pe ce se bazează: proprietatea 3 (pasul 3); regula triunghiului (pașii 1 și 4).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) fiecare latură mare este paralelă cu latura mică de aceeași culoare și de două ori mai lungă; (2) rapoartele $O{A}^{\prime }/OA$, $O{B}^{\prime }/OB$, $O{C}^{\prime }/OC$ sunt egale — acesta este $\alpha$.

Ideea centrală

Omotetia transformă triunghiul $ABC$ într-un triunghi asemenea $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Latura de închidere a triunghiului mic devine latura de închidere a celui mare — iar latura de închidere este exact suma vectorială. Distributivitatea este, geometric, asemănarea triunghiurilor.

Pas cu pas — demonstrația prin omotetie, desfășurată

Pasul 1 — construim un triunghi din cei doi vectori. Alegem $A$ oarecare, punem $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$ și, din $B$, $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$. Prin regula triunghiului, latura care închide traseul este $\overrightarrow{AC}=\vec{a}+\vec{b}$. Avem deci un triunghi ale cărui laturi sunt cei trei vectori care ne interesează.

Pasul 2 — alegem un centru de omotetie. Un punct $O$ în afara dreptelor $(AB)$, $(AC)$, $(BC)$, ca imaginea să fie tot un triunghi (nedegenerat).

Pasul 3 — aplicăm omotetia $H_O^{\alpha }$. Fiecare vârf pleacă pe raza lui: $A\to A^{\prime }$, $B\to B^{\prime }$, $C\to C^{\prime }$, cu $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=\alpha \overrightarrow{OA}$ etc.

Pasul 4 — citim laturile noului triunghi. Proprietatea 3 a omotetiei spune că fiecare latură se înmulțește cu $\alpha$:

$$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\alpha \vec{a},\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha \vec{b},\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha (\vec{a}+\vec{b})$$

Ultima este cheia: latura de închidere se transformă în latura de închidere.

Pasul 5 — aplicăm regula triunghiului în triunghiul mare. $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$.

Pasul 6 — comparăm pașii 4 și 5. Același vector $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$, scris în două feluri:

$$\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$$

De ce e nevoie de omotetie? Pentru că ea este singurul instrument care garantează, dintr-o singură lovitură, că toate cele trei laturi se înmulțesc cu același $\alpha$. Fără ea ar trebui demonstrat separat pentru fiecare latură — și tocmai asta voiam să evităm.

Rezumat

#	Proprietate	Relația
4	asociativitate față de scalari	$\beta (\alpha \vec{a})=(\beta \alpha )\vec{a}$
5	distributivitate față de scalari	$(\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}$
6	distributivitate față de vectori	$\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$

Observație asupra sursei

În textul PDF al cursului, în demonstrația proprietății 4, apare tipărit $\overrightarrow{OC}=\beta b\beta (\alpha \vec{a})$. Este o greșeală de tipar; corect este $\overrightarrow{OC}=\beta \vec{b}=\beta (\alpha \vec{a})$, așa cum se folosește imediat mai jos.

Întrebări de control

1. De ce demonstrația proprietății 4 tratează separat cazurile $\alpha \beta >0$ și $\alpha \beta <0$, deși concluzia e aceeași?
2. În demonstrația (5) s-a folosit $|\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}|=|\alpha \vec{a}|+|\beta \vec{a}|$. De ce este adevărat aici, dar fals în general?
3. Verificați relația (2) pentru $\alpha =3$, $\beta =-5$ și un $\vec{a}$ desenat de voi.
4. De ce în demonstrația proprietății 6 se cere ca $O$ să nu aparțină dreptelor $(AB)$, $(AC)$, $(BC)$?
5. Ce se întâmplă cu demonstrația 6 dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari?

Legături

• Anterior: Produsul vectorului la un număr
• Continuare: Raportul a doi vectori coliniari
• Vezi și: Spațiul vectorial al vectorilor liberi