Raportul a doi vectori coliniari

Pentru doi vectori coliniari, și numai pentru astfel de vectori, se dă următoarea definiție.

1. Definiția raportului

Definiția 5.2

Se numește raport a doi vectori coliniari $\vec{a}$ și $\vec{b}\ne \vec{0}$ numărul $\lambda =\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$, astfel încât:

a) $|\lambda |=\frac{|\vec{a}|}{|\vec{b}|}$;

b) $\lambda >0$ dacă $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$ și $\lambda <0$ dacă $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$.

fig. 1 — modulul lui $\lambda$ dă raportul lungimilor, semnul dă orientarea relativă

Nu este o împărțire de vectori

Notația $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ nu definește o operație de împărțire între vectori oarecare. Ea are sens numai pentru vectori coliniari, cu $\vec{b}\ne \vec{0}$, iar rezultatul este un număr, nu un vector.

Evident, că din $\lambda =\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ rezultă $\vec{a}=\lambda \vec{b}$.

2. Reguli de calcul

Pentru orice număr real $\alpha \ne 0$:

$$\frac{\alpha \vec{a}}{\alpha \vec{b}}=\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$$

Iar pentru $\vec{a}\parallel \vec{b}\parallel \vec{c}\ne \vec{0}$:

$$\frac{\vec{a}\pm \vec{b}}{\vec{c}}=\frac{\vec{a}}{\vec{c}}\pm \frac{\vec{b}}{\vec{c}}$$

De ce funcționează

Ambele reguli se verifică imediat scriind $\vec{a}={\lambda }_1\vec{c}$, $\vec{b}={\lambda }_2\vec{c}$ și folosind distributivitatea (2): $\vec{a}\pm \vec{b}=({\lambda }_1\pm {\lambda }_2)\vec{c}$.

3. Teorema 5.3 — criteriul de coliniaritate

Teorema 5.3

Doi vectori nenuli $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari atunci și numai atunci, când există așa un număr $\lambda$ încât

$$\vec{a}=\lambda \vec{b}.$$

Demonstrație.

Suficiența. Fie că există așa un număr $\lambda$ încât $\vec{a}=\lambda \vec{b}$. Conform definiției 5.1, vectorul $\lambda \vec{b}$ are aceeași direcție ca $\vec{b}$, deci $\vec{a}\parallel \vec{b}$.

Necesitatea. Fie $\vec{a}\parallel \vec{b}$. Atunci putem determina, după definiția 5.2, numărul $\lambda =\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$, pentru care $\vec{a}=\lambda \vec{b}$. $■$

fig. T1 — teorema 5.3: cele două implicații și rolul ipotezei „nenuli”

Cum se citește figura — teorema 5.3

Pasul 1 — panoul de sus (suficiența). Pornim de la $\vec{b}$ (portocaliu) și un număr $\lambda$. Săgețile albastre $2\vec{b}$ și $-1,5\vec{b}$ stau pe o dreaptă punctată paralelă cu cea a lui $\vec{b}$: oricare ar fi $\lambda$, direcția nu se schimbă.

Pasul 2 — panoul din mijloc (necesitatea). Acum știm doar că $\vec{a}\parallel \vec{b}$. Grila gri servește de riglă: $|\vec{b}|=2$ diviziuni, $|\vec{a}|=5$ diviziuni, deci $|\lambda |=5/2$.

Pasul 3 — semnul. Săgețile au sensuri opuse ($\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$), deci $\lambda =-2,5$. Numărul a fost „citit” de pe figură — exact cum cere definiția 5.2.

Pasul 4 — panoul de jos (de ce „nenuli”). Dacă $\vec{b}=\vec{0}$ (cercul gol), orice $\lambda \vec{b}$ rămâne cercul gol și nu poate deveni săgeata albastră $\vec{a}\ne \vec{0}$.

Pe ce se bazează: definiția 5.1 (pasul 1); definiția 5.2 (pașii 2–3); convenția că vectorul nul este coliniar cu orice vector (pasul 4).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) verificați $\vec{a}=\lambda \vec{b}$ în panoul din mijloc: $-2,5\cdot 2=-5$, adică $5$ diviziuni spre stânga; (2) citiți de pe aceeași figură raportul invers: $\vec{b}/\vec{a}=-2/5=-0,4$.

De ce este teorema importantă

Ea traduce o proprietate geometrică (coliniaritatea) într-o relație algebrică ($\vec{a}=\lambda \vec{b}$). Acesta este mecanismul central al geometriei analitice: figurile devin ecuații.

Teorema va fi folosită direct la:

• teorema 6.10 — doi vectori sunt liniar dependenți ⟺ sunt coliniari;
• teorema 6.9 — descompunerea unui vector după o bază a planului.

Ipoteza „nenuli"

Teorema cere $\vec{a},\vec{b}\ne \vec{0}$. Dacă $\vec{b}=\vec{0}$ și $\vec{a}\ne \vec{0}$, cei doi sunt coliniari (prin convenție), dar nu există niciun $\lambda$ cu $\vec{a}=\lambda \vec{0}=\vec{0}$. Acesta e motivul pentru care în definiția 5.2 se cere $\vec{b}\ne \vec{0}$.

Întrebări de control

1. De ce raportul se definește doar pentru vectori coliniari?
2. Calculați $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ dacă $|\vec{a}|=6$, $|\vec{b}|=4$ și $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$.
3. Ce relație există între $\frac{\vec{a}}{\vec{b}}$ și $\frac{\vec{b}}{\vec{a}}$?
4. Dacă $\vec{a}=\lambda \vec{b}$ cu $\lambda =1$, ce putem spune despre $\vec{a}$ și $\vec{b}$?
5. Arătați, folosind teorema 5.3, că trei puncte $A$, $B$, $C$ sunt coliniare dacă și numai dacă există $\lambda$ cu $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$.

Legături

• Anterior: Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr
• Continuare: Combinație liniară. Dependență și independență liniară
• Concepte: Vectori coliniari