Operații cu vectori în coordonate

Fie $\vec{a}=\{x_1;y_1\}$ și $\vec{b}=\{x_2;y_2\}$ doi vectori dați în raport cu sistemul afin de coordonate $(xOy)$, adică

$$\vec{a}=x_1{\vec{e}}_1+y_1{\vec{e}}_2,\vec{b}=x_2{\vec{e}}_1+y_2{\vec{e}}_2.$$

Ideea întregii lecții

Odată fixat reperul, fiecare operație geometrică cu vectori devine o operație cu numere, coordonată cu coordonată. De aici încolo nu mai e nevoie de desene pentru a aduna vectori sau a verifica coliniaritatea — se calculează.

1⁰. Egalitatea vectorilor

Proprietatea 1⁰

$$\vec{a}=\vec{b}⟺x_1=x_2\text{și}{y}_1=y_2$$

Demonstrație. Dacă $\vec{a}=\vec{b}$, atunci $x_1{\vec{e}}_1+y_1{\vec{e}}_2=x_2{\vec{e}}_1+y_2{\vec{e}}_2$, adică

$$(x_1-x_2){\vec{e}}_1+(y_1-y_2){\vec{e}}_2=\vec{0}.$$

Deoarece ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ sunt necoliniari și deci liniar independenți, rezultă că

$$\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2=0\\ y_1-y_2=0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ y_1=y_2\end{array}■$$

Pas cu pas — unde se folosește independența bazei

Pasul 1 — traducem egalitatea vectorilor în egalitatea descompunerilor lor după bază.

Pasul 2 — mutăm totul într-o parte. Obținem o combinație liniară a lui ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ egală cu $\vec{0}$, cu coeficienții $(x_1-x_2)$ și $(y_1-y_2)$.

Pasul 3 — aplicăm definiția independenței. $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ e liniar independent: singura combinație care dă $\vec{0}$ este cea cu toți coeficienții nuli. Deci ambii coeficienți sunt $0$.

Pasul 4 — reciproca e imediată: coordonate egale ⇒ aceeași combinație ⇒ același vector.

De ce contează. Proprietatea 1⁰ este, de fapt, unicitatea coordonatelor din §9 scrisă altfel. Fără ea, n-am putea „compara coordonatele” ca să decidem dacă doi vectori sunt egali.

2⁰. Suma și diferența

Proprietatea 2⁰

$$\vec{a}\pm \vec{b}=\{x_1\pm x_2;y_1\pm y_2\}$$

fig. 1 — pe o rețea oblică: $\{1;2\}+\{3;1\}=\{4;3\}$

Cum se citește figura — suma în coordonate

Pasul 1 — rețeaua. Liniile punctate sunt paralele cu axele, la distanța de câte un ${\vec{e}}_1$ (pe orizontală) și câte un ${\vec{e}}_2$ (pe oblică). Numerele $1\dots 5$ și $1\dots 3$ marchează pașii.

Pasul 2 — vectorul $\vec{a}$ (albastru). Pornește din $O$ și ajunge la nodul aflat la 1 pas pe direcția $x$ și 2 pași pe direcția $y$: $\vec{a}=\{1;2\}$.

Pasul 3 — vectorul $\vec{b}$ (portocaliu), cap la cap. Pornește din vârful lui $\vec{a}$ și face încă 3 pași pe $x$ și 1 pas pe $y$: $\vec{b}=\{3;1\}$.

Pasul 4 — suma (violet). Din $O$ până la vârful lui $\vec{b}$: în total $1+3=4$ pași pe $x$ și $2+1=3$ pași pe $y$. Deci $\vec{a}+\vec{b}=\{4;3\}$.

Pe ce se bazează: regula triunghiului (pașii 3–4) și comutativitatea și asociativitatea adunării (permit regruparea $x$-urilor cu $x$-urile și a $y$-urilor cu $y$-urile).

Ce să verificați singuri pe figură: desenați întâi $\vec{b}$ din $O$, apoi $\vec{a}$ din vârful lui $\vec{b}$. Ajungeți în același nod $(4;3)$ — comutativitatea, văzută pe rețea.

Completare — demonstrația lui 2⁰ (manualul spune „în mod analogic")

$$\vec{a}\pm \vec{b}=(x_1{\vec{e}}_1+y_1{\vec{e}}_2)\pm (x_2{\vec{e}}_1+y_2{\vec{e}}_2)=(x_1\pm x_2){\vec{e}}_1+(y_1\pm y_2){\vec{e}}_2$$

Regruparea folosește comutativitatea și asociativitatea adunării (Proprietățile adunării vectorilor) și distributivitatea față de scalari $(\alpha \pm \beta )\vec{e}=\alpha \vec{e}\pm \beta \vec{e}$ (proprietatea 5).

3⁰. Înmulțirea cu un număr

Proprietatea 3⁰

$$\alpha \vec{a}=\{\alpha x_1;\alpha y_1\}$$

Completare — demonstrația lui 3⁰

$$\alpha \vec{a}=\alpha (x_1{\vec{e}}_1+y_1{\vec{e}}_2)=(\alpha x_1){\vec{e}}_1+(\alpha y_1){\vec{e}}_2$$

folosind distributivitatea față de vectori și asociativitatea față de scalari.

4⁰. Consecință

Proprietatea 4⁰

Dacă $\vec{b}=\alpha \vec{a}$, atunci $x_2=\alpha x_1$ și $y_2=\alpha y_1$.

Este 3⁰ combinată cu 1⁰: $\vec{b}$ și $\alpha \vec{a}$ sunt egali, deci au coordonate egale.

5⁰. Condiția de coliniaritate

Proprietatea 5⁰

$$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\left|\begin{array}{cc}{x}_1& y_1\\ x_2& y_2\end{array}\right|=0⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$$

Pentru $x_2\ne 0$ și $y_2\ne 0$ această condiție poate fi scrisă sub forma

$$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2},$$

cu alte cuvinte, doi vectori sunt coliniari dacă și numai dacă coordonatele lor sunt proporționale.

fig. 2 — „treptele” lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt triunghiuri asemenea: $\vec{b}$ face de 2 ori mai mulți pași în fiecare direcție

Cum se citește figura — coliniaritatea prin coordonate

Pasul 1 — descompuneți fiecare vector în „trepte”. Liniile punctate de sub fiecare săgeată arată câți pași face vectorul pe orizontală și pe verticală: $\vec{a}$ — $2$ și $1$; $\vec{b}$ — $4$ și $2$.

Pasul 2 — comparați raportul pașilor. Pentru $\vec{a}$: $\frac{1}{2}$ pas vertical per pas orizontal. Pentru $\vec{b}$: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$. Aceeași „pantă” ⇒ aceeași direcție.

Pasul 3 — observați triunghiurile. Treapta lui $\vec{b}$ e treapta lui $\vec{a}$ mărită de 2 ori — triunghiuri asemenea. Ipotenuzele lor ($\vec{a}$ și $\vec{b}$) sunt deci paralele.

Pasul 4 — traduceți în formulă. „Aceeași pantă” înseamnă $\frac{y_1}{x_1}=\frac{y_2}{x_2}$, adică, după înmulțirea în cruce, $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$: $2\cdot 2-4\cdot 1=0$. ✔

Pe ce se bazează: teorema 5.3 ($\vec{a}\parallel \vec{b}⟺\vec{b}=\alpha \vec{a}$) și proprietatea 4⁰ (coordonatele se înmulțesc cu același $\alpha$).

Ce să verificați singuri pe figură: desenați $\vec{c}=\{4;3\}$ din același punct ca $\vec{b}$. Treapta lui are alt raport ($\frac{3}{4}\ne \frac{1}{2}$), iar $4\cdot 1-2\cdot 3\ne 0$ — nu e coliniar cu $\vec{a}$.

Completare — demonstrația lui 5⁰ (nu figurează în manual)

Cazul $\vec{a}=\vec{0}$. Atunci $x_1=y_1=0$, deci $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$; iar $\vec{0}$ e coliniar cu orice vector. Echivalența e adevărată.

Cazul $\vec{a}\ne \vec{0}$.

(⇒) Dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, prin teorema 5.3 (sau banal, dacă $\vec{b}=\vec{0}$) există $\alpha$ cu $\vec{b}=\alpha \vec{a}$. După 4⁰: $x_2=\alpha x_1$, $y_2=\alpha y_1$. Atunci

$$x_1{y}_2-x_2{y}_1=x_1(\alpha y_1)-(\alpha x_1)y_1=0.$$

(⇐) Fie $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$. Cum $\vec{a}\ne \vec{0}$, măcar o coordonată e nenulă; fie $x_1\ne 0$. Punem $\alpha =\frac{x_2}{x_1}$. Atunci $x_2=\alpha x_1$, iar din ipoteză $y_2=\frac{x_2{y}_1}{x_1}=\alpha y_1$. Deci $\vec{b}=\{\alpha x_1;\alpha y_1\}=\alpha \vec{a}$ ⇒ $\vec{b}\parallel \vec{a}$. (Cazul $y_1\ne 0$ e analog.) $■$

Când forma cu proporții nu se poate folosi

Forma $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ cere $x_2\ne 0$ și $y_2\ne 0$. Exemplu: $\vec{a}=\{3;0\}$ și $\vec{b}=\{5;0\}$ sunt coliniari (ambii pe $Ox$), dar $\frac{0}{0}$ nu are sens. Forma cu determinant $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$ funcționează întotdeauna: $3\cdot 0-5\cdot 0=0$. ✔ Folosiți-o pe aceasta când aveți coordonate nule.

Concluzia 10.5

Concluzia 10.5

Din 1⁰–4⁰ rezultă că, dacă un vector este o combinație liniară a câtorva vectori, atunci coordonatele lui sunt combinații liniare ale coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori, cu aceiași coeficienți.

$$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}⟹\vec{c}=\{\alpha x_1+\beta x_2;\alpha y_1+\beta y_2\}$$

Pas cu pas — de ce Concluzia 10.5 rezultă din 2⁰ și 3⁰

Pasul 1. După 3⁰: $\alpha \vec{a}=\{\alpha x_1;\alpha y_1\}$ și $\beta \vec{b}=\{\beta x_2;\beta y_2\}$.

Pasul 2. După 2⁰, adunăm coordonată cu coordonată: $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=\{\alpha x_1+\beta x_2;\alpha y_1+\beta y_2\}$.

Pasul 3. Pentru mai mulți vectori se repetă pasul 2 (asociativitatea adunării).

Exemplu numeric. $\vec{a}=\{2;-1\}$, $\vec{b}=\{0;3\}$: $3\vec{a}-2\vec{b}=\{3\cdot 2-2\cdot 0;3\cdot (-1)-2\cdot 3\}=\{6;-9\}$.

Rezumat

Operație geometrică	În coordonate
$\vec{a}=\vec{b}$	$x_1=x_2$, $y_1=y_2$
$\vec{a}\pm \vec{b}$	$\{x_1\pm x_2;y_1\pm y_2\}$
$\alpha \vec{a}$	$\{\alpha x_1;\alpha y_1\}$
$\vec{a}\parallel \vec{b}$	$x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$
$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$	$\{\alpha x_1+\beta x_2;\alpha y_1+\beta y_2\}$

Nicio formulă de aici nu depinde de tipul reperului

Toate relațiile de mai sus sunt valabile în orice reper afin — axe oblice, unități diferite. Nu apar nici lungimi, nici unghiuri.

Întrebări de control

1. De ce demonstrația lui 1⁰ are nevoie ca ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ să fie necoliniari?
2. Calculați $2\vec{a}-3\vec{b}$ pentru $\vec{a}=\{1;4\}$, $\vec{b}=\{-2;1\}$.
3. Sunt coliniari $\vec{a}=\{6;-4\}$ și $\vec{b}=\{-9;6\}$? Dar $\vec{a}=\{0;5\}$ și $\vec{b}=\{0;-2\}$? Folosiți forma potrivită.
4. Pentru ce valoare a lui $m$ sunt coliniari $\{m;2\}$ și $\{8;m\}$?
5. De ce Concluzia 10.5 nu ar fi adevărată dacă coordonatele n-ar fi unice?

Legături

• Anterior: Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice
• Continuare: Coordonatele punctului. Raza vectoare
• Se sprijină pe: Raportul a doi vectori coliniari, Proprietățile adunării vectorilor, Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr