Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor

1. Orientarea sistemului de coordonate

Pentru a descrie cadranul I, axa $(Ox)$ se rotește spre $(Oy)$ în jurul punctului $O$. Sensul acestei rotații dă orientarea sistemului.

Definiție

• Dacă, pentru a descrie cadranul I, axa $(Ox)$ se rotește spre $(Oy)$ în jurul lui $O$ în direcția opusă mișcării acelor de ceasornic, sistemul $(xOy)$, cât și reperul corespunzător $R$, sunt de orientare stângă (fig. 40 din manual).
• Dacă rotația se efectuează în direcția mișcării acelor de ceasornic, sistemul se numește de orientare dreaptă (fig. 41 din manual).

După orientarea sistemului se face și numerotarea cadranelor II, III și IV.

fig. 1 — stânga: $Ox\to Oy$ contrar acelor (orientare stângă); dreapta: $Ox\to Oy$ în sensul acelor (orientare dreaptă)

Cum se citește figura — orientarea unui sistem

Pasul 1 — găsiți axa $Ox$ (săgeata albastră) și axa $Oy$ (săgeata portocalie) în fiecare panou. Nu vă uitați la poziția lor pe hârtie — în panoul din dreapta $Ox$ e înclinată în sus, iar $Oy$ e orizontală.

Pasul 2 — găsiți cadranul I: regiunea dintre cele două săgeți.

Pasul 3 — urmăriți arcul colorat. El pornește de la $Ox$ și ajunge la $Oy$ trecând prin cadranul I (pe drumul cel scurt).

Pasul 4 — stabiliți sensul arcului. Verde, contrar acelor ⇒ stângă. Roșu, în sensul acelor ⇒ dreaptă.

Pe ce se bazează: doar pe definiția de mai sus; orientarea nu depinde de unghiul dintre axe, nici de lungimile lui ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ci numai de ordinea în care sunt date cele două axe.

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați între ele etichetele $x$ și $y$ dintr-un panou — orientarea se inversează. Deci $\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ și $\{O,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_1\}$ au orientări opuse.

Convenția cursului

N-are importanță care este orientarea sistemului de coordonate fixat; însă, pentru determinare, ne vom folosi de sistemul stâng, care se va considera orientat pozitiv.

Terminologia diferă între manuale

În acest curs, contrar acelor de ceasornic = orientare stângă = pozitivă. În multe alte cărți același sistem se numește drept („regula mâinii drepte”). Conceptul e același — sensul pozitiv este cel trigonometric (contrar acelor); diferă doar numele. Rețineți sensul rotației, nu cuvântul.

2. Planul orientat

Definiție

Planul în care s-a fixat un sistem stâng de coordonate se va considera orientat pozitiv. În el:

• orice rotație contrară mișcării acelor de ceasornic se consideră pozitivă;
• rotația în sensul acelor de ceasornic — negativă.

3. Poligoane orientate

Definiție

În planul orientat, toate poligoanele sunt orientate după direcția în care se enumeră vârfurile lor. Orientarea este pozitivă dacă această enumerare se face în direcția opusă mișcării acelor de ceasornic.

Triunghiul $ABC$ este orientat pozitiv, iar triunghiul $MNP$ — negativ.

fig. 2 (după fig. 42–43 din manual) — aceeași figură geometrică poate avea orientări diferite, în funcție de ordinea literelor

Cum se citește figura — orientarea unui poligon

Pasul 1 — citiți numele poligonului, literă cu literă: $A$, apoi $B$, apoi $C$.

Pasul 2 — urmăriți săgețile de pe laturi în ordinea literelor: $A\to B\to C\to A$. Ele formează un circuit închis.

Pasul 3 — comparați circuitul cu arcul din interior. La $ABC$, circuitul merge contrar acelor (arc verde) ⇒ pozitiv. La $MNP$, circuitul $M\to N\to P\to M$ merge în sensul acelor (arc roșu) ⇒ negativ.

Pe ce se bazează: exclusiv pe ordinea enumerării; forma și mărimea triunghiului nu contează.

Ce să verificați singuri pe figură: citiți același triunghi ca $ACB$. Săgețile se inversează ⇒ $ACB$ e orientat negativ, deși e același triunghi ca $ABC$.

Completare — ce schimbă și ce nu schimbă orientarea

• Permutare circulară (mutarea primei litere la final): $ABC$, $BCA$, $CAB$ au aceeași orientare — circuitul e același, doar pornește din alt vârf.
• Schimbarea a două litere între ele: $ABC\to ACB$ inversează orientarea.

Rezultatul nu figurează explicit în manual; decurge direct din definiție.

4. Unghiul orientat dintre doi vectori

Manualul revine asupra acestor noțiuni în §14 — cu alte nume

În §14–§15 manualul numește dreaptă orientarea pe care aici o numește stângă (rotația contrar acelor), iar unghiul orientat primește valori în $(-\pi ;\pi ]$ în loc de $[0;2\pi )$. Sensul pozitiv rămâne același. Detalii în Unghiul orientat dintre doi vectori.

Pe planul orientat devin orientate și unghiurile.

Definiție

Prin unghiul dintre doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ — notat $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ — cu originea comună $O$, vom înțelege unghiul după care trebuie rotit $\vec{a}$ în jurul punctului $O$ contrar acelor de ceasornic, pentru ca direcția lui să coincidă cu direcția vectorului $\vec{b}$.

fig. 3 — ordinea vectorilor contează: $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\phi$, dar $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}=2\pi -\phi$

Cum se citește figura — unghiul orientat

Pasul 1 — aduceți vectorii la origine comună. În ambele panouri, $\vec{a}$ și $\vec{b}$ pornesc din $O$. (Vectorii fiind liberi, putem face oricând acest lucru.)

Pasul 2 — identificați vectorul de pornire. În $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ se pornește de la primul vector scris — $\vec{a}$ (panoul stâng). În $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$ — de la $\vec{b}$ (panoul drept).

Pasul 3 — rotiți numai contrar acelor. Urmăriți arcul violet: pleacă de la vectorul de pornire și se oprește când atinge direcția celui de-al doilea vector.

Pasul 4 — comparați arcele. În stânga arcul e scurt ($\phi$); în dreapta, fiind obligat tot contrar acelor, arcul face „ocolul lung” — $2\pi -\phi$. Împreună, cele două arce fac un tur complet.

Pe ce se bazează: pe definiția unghiului orientat și pe convenția că sensul pozitiv este contrar acelor (§2).

Ce să verificați singuri pe figură: $\phi +(2\pi -\phi )=2\pi$ — dacă puneți cap la cap cele două arce, obțineți un cerc întreg.

Completare — valori particulare

Din definiție decurg imediat (nu sunt scrise explicit în manual):

• $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\in [0,2\pi )$;
• $\widehat{(\vec{a},\vec{a})}=0$; dacă $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$, unghiul este $0$;
• dacă $\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$, unghiul este $\pi$ (în ambele ordini);
• pentru vectori necoliniari: $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}=2\pi -\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$.

Întrebări de control

1. Ce orientare are sistemul $(yOx)$, dacă $(xOy)$ are orientare stângă?
2. Triunghiul $ABC$ e orientat pozitiv. Ce orientare au $BAC$, $CAB$ și $CBA$?
3. Dacă $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{\pi }{3}$, cât este $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$? Dar $\widehat{(\vec{a},-\vec{b})}$?
4. De ce unghiul orientat se definește doar pentru vectori aduși la origine comună?
5. Ce se schimbă în definiția unghiului orientat dacă am considera pozitivă orientarea dreaptă?

Legături

• Anterior: Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane
• Continuare: Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice
• Concepte: Orientarea planului