Unghiul orientat dintre doi vectori

Despre ce este paragraful

Unghiul din §13 este neorientat: $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$, cuprins între $0$ și $\pi$. El spune cât de departe sunt două direcții, dar nu în ce parte. Produsul scalar îl vede doar prin $\cos$, iar cosinusul nu distinge $+30°$ de $-30°$.

§14 adaugă semnul: unghiul devine pozitiv dacă $\vec{b}$ se obține din $\vec{a}$ printr-o rotație contrar acelor de ceasornic și negativ dacă se obține printr-o rotație în sensul acelor. Cu el se obțin două lucruri pe care §13 nu le putea da: coordonatele unui vector direct din unghi și aria triunghiului cu semn.

1. Definiția

Fie $\vec{a}$ și $\vec{b}$ vectori nenuli dați într-o ordine anumită: $\vec{a}$ — primul vector, $\vec{b}$ — al doilea vector.

Unghiul orientat

Dacă vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ nu-s coliniari, atunci unghi orientat dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ se numește mărimea $\phi$ a unghiului dintre ei (din §13), dacă baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$ este dreaptă, și mărimea $-\phi$, dacă baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$ este stângă.

Dacă vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coorientați, unghiul dintre ei se consideră nul, iar dacă au direcții opuse — egal cu $\pi$.

De aici înainte, în §14 și §15, $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ desemnează unghiul orientat. Pentru orice vectori nenuli $\vec{a}$ și $\vec{b}$:

$$-\pi <\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\le \pi .$$

Manualul folosește „dreaptă" și „stângă" invers decât în §10

În §10 (p. 44), manualul numește stângă orientarea în care $(Ox)$ se rotește spre $(Oy)$ contrar acelor de ceasornic și o declară pozitivă (vezi orientarea sistemului).

În §14 (p. 60–61) și §15 (p. 67), aceeași situație — $\vec{b}$ obținut din $\vec{a}$ printr-o rotație contrar acelor — este numită dreaptă. Figura 53 o arată fără echivoc: baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$ cu $\vec{b}$ la $45°$ contrar acelor de $\vec{a}$ e numită „dreaptă” și primește $+45°$.

Matematica nu se contrazice — în ambele paragrafe, sensul pozitiv este cel contrar acelor (sensul trigonometric). Se contrazic doar numele. Ca la §10: rețineți sensul rotației, nu cuvântul.

	§10 (p. 44)	§14–§15 (p. 60–67)
rotație contrar acelor	„stângă”, pozitivă	„dreaptă”, unghi pozitiv
rotație în sensul acelor	„dreaptă”, negativă	„stângă”, unghi negativ

În notele de mai jos se spune, ca în manual, „bază dreaptă”, dar se precizează de fiecare dată sensul: contrar acelor.

Al doilea unghi orientat al manualului

Tot în §10 (p. 45), manualul definise deja un „unghi dintre doi vectori” cu sens: unghiul cu care se rotește $\vec{a}$ contrar acelor până la direcția lui $\vec{b}$, cu valori în $[0;2\pi )$ (vezi §10, secțiunea 4).

Unghiul din §14 ia valori în $(-\pi ;\pi ]$. Cele două diferă cu un multiplu de $2\pi$: unghiul de $-90°$ din §14 este unghiul de $270°$ din §10. Sinusul și cosinusul lor coincid, deci toate formulele din §14 rămân adevărate cu oricare dintre convenții. Diferă doar numărul scris.

fig. 1 (după fig. 53 din manual) — stânga: baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$, rotația contrar acelor, unghi $+45°$; dreapta: baza $\{\vec{c},\vec{d}\}$, rotația în sensul acelor, unghi $-90°$

Cum se citește figura — semnul unghiului orientat

Pasul 1 — identificați primul vector. În fiecare panou, primul vector al bazei este cel orizontal, albastru ($\vec{a}$, respectiv $\vec{c}$). De la el se pornește întotdeauna.

Pasul 2 — căutați drumul cel mai scurt spre al doilea vector. Din $\vec{a}$ spre $\vec{b}$ (stânga), drumul scurt e în sus, adică contrar acelor (arcul verde). Din $\vec{c}$ spre $\vec{d}$ (dreapta), drumul scurt e în jos, adică în sensul acelor (arcul roșu).

Pasul 3 — măsurați arcul. Stânga: $45°$. Dreapta: $90°$ (unghiul drept marcat în $O$).

Pasul 4 — puneți semnul. Contrar acelor ⇒ $+$; în sensul acelor ⇒ $-$. Deci $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=+45°$ și $\widehat{(\vec{c},\vec{d})}=-90°$.

Pasul 5 — comparați cu §13. Unghiul neorientat ar fi fost $45°$ și $90°$ — fără semn. Unghiul orientat păstrează mărimea și adaugă sensul.

Pe ce se bazează: definiția de mai sus și convenția că sensul pozitiv este cel contrar acelor de ceasornic (planul orientat).

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați ordinea în panoul drept — $\widehat{(\vec{d},\vec{c})}$. Din $\vec{d}$ (în jos) spre $\vec{c}$ (orizontal) drumul scurt e contrar acelor ⇒ $+90°$.

De ce intervalul e $(-\pi ;\pi ]$ și nu $[-\pi ;\pi ]$

Pentru vectori opuși, ambele drumuri — contrar acelor și în sensul acelor — au exact $\pi$. Trebuie ales unul, altfel unghiul n-ar fi bine definit. Manualul alege $+\pi$; de aceea $-\pi$ este exclus.

2. Ordinea contează: antisimetria

Deoarece $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$, pentru vectori necoliniari au loc:

$$\sin \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\sin \widehat{(\vec{b},\vec{a})}\text{și}\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\cos \widehat{(\vec{b},\vec{a})}\text{\hspace{1em}(1)}$$

fig. 2 — aceeași pereche de vectori; arcul verde merge de la $\vec{a}$ la $\vec{b}$, arcul roșu — de la $\vec{b}$ la $\vec{a}$

Cum se citește figura — formula (1)

Pasul 1 — o singură pereche de vectori. Ambele arce leagă aceiași doi vectori, $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Mărimea unghiului geometric dintre ei e aceeași: $\phi$.

Pasul 2 — arcul verde pornește de la $\vec{a}$ și merge spre $\vec{b}$ contrar acelor ⇒ $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=+\phi$.

Pasul 3 — arcul roșu pornește de la $\vec{b}$ și merge spre $\vec{a}$ — același drum, în sens invers, deci în sensul acelor ⇒ $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}=-\phi$.

Pasul 4 — aplicați funcțiile trigonometrice. Sinusul este impar ($\sin (-\phi )=-\sin \phi$), cosinusul este par ($\cos (-\phi )=\cos \phi$). De aici exact formula (1).

Pe ce se bazează: definiția unghiului orientat și paritatea funcțiilor $\sin$ și $\cos$.

Ce să verificați singuri pe figură: de ce produsul scalar $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$ din §13 nu „vede” ordinea vectorilor? Pentru că depinde doar de $\cos$, care e par.

Precizare: când nu are loc $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$

Egalitatea unghiurilor e falsă într-un singur caz: vectori opuși. Atunci $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\widehat{(\vec{b},\vec{a})}=\pi$, fiindcă $-\pi$ nu e în interval. Formulele (1) rămân totuși adevărate și aici: $\sin \pi =0=-\sin \pi$. De aceea manualul pune condiția „necoliniari” — ea e necesară pentru egalitatea unghiurilor, dar nu și pentru (1).

3. Unghiurile se adună — „modulo $2\pi$”

Se poate demonstra că pentru orice vectori nenuli $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ au loc egalitățile:

$$\sin (\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})})=\sin \widehat{(\vec{a},\vec{c})},\cos (\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})})=\cos \widehat{(\vec{a},\vec{c})}\text{\hspace{1em}(2)}$$

fig. 3 — stânga: suma rămâne în $(-\pi ;\pi ]$ și coincide cu $\widehat{(\vec{a},\vec{c})}$; dreapta: suma depășește $\pi$ și diferă de $\widehat{(\vec{a},\vec{c})}$ cu $2\pi$

Cum se citește figura — formula (2)

Pasul 1 — panoul stâng, rotație în doi pași. Rotiți $\vec{a}$ până la $\vec{b}$ ($50°$, primul arc violet), apoi $\vec{b}$ până la $\vec{c}$ ($60°$, al doilea arc violet). Ați ajuns din $\vec{a}$ în $\vec{c}$ cu $110°$.

Pasul 2 — comparați cu drumul direct. Arcul roșu merge direct din $\vec{a}$ în $\vec{c}$: tot $110°$. Aici egalitatea are loc între unghiuri, nu doar între sinusuri și cosinusuri.

Pasul 3 — panoul drept, suma „sare” peste $\pi$. Acum $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=120°$ și $\widehat{(\vec{b},\vec{c})}=120°$; suma este $240°$. Dar drumul direct de la $\vec{a}$ la $\vec{c}$ (arcul roșu) e în sensul acelor, de $120°$: $\widehat{(\vec{a},\vec{c})}=-120°$.

Pasul 4 — de ce nu e o contradicție. $240°$ și $-120°$ diferă cu $360°$ — un tur complet. Ajung în aceeași direcție, deci au același sinus și același cosinus. Unghiul orientat trebuie readus în $(-\pi ;\pi ]$, iar suma nu respectă automat această limită.

Pasul 5 — concluzia. Formula (2) spune exact atât cât e adevărat mereu: funcțiile trigonometrice coincid. Unghiurile coincid doar când suma rămâne în interval.

Pe ce se bazează: faptul că o rotație cu $\theta$ urmată de o rotație cu ${\theta }^{\prime }$ este rotația cu $\theta +{\theta }^{\prime }$, și periodicitatea de $2\pi$ a funcțiilor $\sin$ și $\cos$.

Ce să verificați singuri pe figură: în panoul drept, calculați $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})}+\widehat{(\vec{c},\vec{a})}$. Răspuns: $120°+120°+120°=360°$ — un tur complet, deci sin = 0 și cos = 1, la fel ca pentru $\widehat{(\vec{a},\vec{a})}=0$.

Completare — de ce are loc relația (2)

Manualul o enunță fără demonstrație („se poate demonstra”). Ideea e simplă.

Pasul 1. Unghiul orientat $\widehat{(\vec{u},\vec{v})}$ este unghiul rotației care aduce direcția lui $\vec{u}$ peste direcția lui $\vec{v}$, ales în $(-\pi ;\pi ]$. Orice altă rotație care face același lucru diferă de ea cu un multiplu de $2\pi$.

Pasul 2. Rotația cu $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ duce direcția lui $\vec{a}$ în direcția lui $\vec{b}$. Rotația cu $\widehat{(\vec{b},\vec{c})}$ duce mai departe direcția lui $\vec{b}$ în direcția lui $\vec{c}$. Compuse, ele duc direcția lui $\vec{a}$ în direcția lui $\vec{c}$, iar două rotații în jurul aceluiași punct se compun adunând unghiurile.

Pasul 3. Așadar suma $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})}$ este un unghi de rotație care duce $\vec{a}$ în $\vec{c}$. Diferă de $\widehat{(\vec{a},\vec{c})}$ cu un multiplu de $2\pi$, deci are aceleași sin și cos.

Rezumat

Proprietate	Formula
domeniul	$-\pi <\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\le \pi$
semnul	$+$ dacă rotația $\vec{a}\to \vec{b}$ e contrar acelor, $-$ dacă e în sensul acelor
schimbarea ordinii	$\sin \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-\sin \widehat{(\vec{b},\vec{a})}$, $\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\cos \widehat{(\vec{b},\vec{a})}$
compunerea	$\widehat{(\vec{a},\vec{b})}+\widehat{(\vec{b},\vec{c})}\equiv \widehat{(\vec{a},\vec{c})}(\mathrm{mod}2\pi )$

Întrebări de control

1. Ce unghi orientat au doi vectori perpendiculari? Pot exista două răspunsuri diferite?
2. De ce intervalul de valori este $(-\pi ;\pi ]$ și nu $[-\pi ;\pi ]$?
3. Calculați $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$ dacă $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=-150°$.
4. Dacă $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=100°$ și $\widehat{(\vec{b},\vec{c})}=100°$, cât este $\widehat{(\vec{a},\vec{c})}$?
5. Cum numește manualul în §10, respectiv în §14, sistemul în care $(Ox)$ se rotește spre $(Oy)$ contrar acelor? Ce rămâne neschimbat între cele două paragrafe?

Legături

• Anterior: Ce nu se transferă de la numere. Aplicații
• Continuare: Coordonatele vectorului prin unghiul orientat
• Se sprijină pe: Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor, Unghiul dintre doi vectori. Perpendicularitate
• Concepte: Unghi orientat, Orientarea planului, Unghiul dintre doi vectori