Reperul polar. Coordonate polare

Despre ce este paragraful

Până acum un punct era localizat prin două deplasări („mergi $x$ la dreapta, apoi $y$ în sus”). Sistemul polar îl localizează prin o distanță și o direcție („mergi $r$ unități în direcția care face unghiul $\phi$ cu axa”). Este exact modul în care se orientează un radar, un marinar sau un observator de pe un turn.

Nimic nou din punct de vedere logic: planul rămâne același, punctele rămân aceleași. Se schimbă doar eticheta pe care o punem pe fiecare punct.

1. Reperul polar

Să fixăm pe planul orientat un punct $O$ și vectorul unitar $\vec{i}=\overrightarrow{OE}$.

Reperul polar

Perechea $R=\{O,\vec{i}\}$ se numește reper polar și determină pe plan așa-numitul sistem polar de coordonate, ce constă din:

• punctul $O$, numit pol;
• semidreapta $[OE)$, pe care direcția pozitivă se determină de vectorul $\vec{i}$, numită axă polară.

Un singur vector, nu doi

Reperul afin are nevoie de doi vectori de bază; reperul polar are nevoie de unul singur. Diferența nu e magie: ceea ce înlocuiește al doilea vector este orientarea planului — faptul că știm în ce sens se măsoară unghiurile (vezi Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor). Fără orientare nu am ști dacă $\phi$ se ia în sens trigonometric sau invers.

2. Coordonatele polare ale unui punct

Fie $M$ un punct arbitrar din plan, $\rho (O,M)=OM=r$, iar măsura unghiului dintre $\vec{i}$ și $\overrightarrow{OM}$ este $\phi$.

Definiție

Numărul $r$ se numește rază polară a punctului $M$, iar $\phi$ — unghi polar al acestui punct. Aceste numere se numesc coordonate polare ale punctului $M$ și se notează $M(r;\phi )$ sau $M(\phi ;r)$.

fig. 1 (după fig. 49 din manual) — polul $O$, axa polară $[OE)$ și coordonatele polare ale punctului $M$

Cum se citește figura — coordonatele polare

Pasul 1 — găsiți polul. Punctul $O$ din stânga jos: originea tuturor măsurătorilor. Spre deosebire de reperul afin, din el pleacă o singură săgeată de bază.

Pasul 2 — găsiți axa polară. Semidreapta orizontală care pleacă din $O$ prin $E$. Vectorul $\vec{i}=\overrightarrow{OE}$ are lungimea $1$ și fixează atât direcția, cât și sensul pozitiv al axei.

Pasul 3 — citiți raza polară. Segmentul $OM$ (violet). Lungimea lui este $r$ — un număr nenegativ, niciodată cu semn.

Pasul 4 — citiți unghiul polar. Arcul dintre axa polară și $OM$, măsurat de la $\vec{i}$ spre $\overrightarrow{OM}$, în sensul pozitiv al planului orientat. Acesta este $\phi$.

Pasul 5 — puneți-le împreună. Perechea $(r;\phi )$ localizează complet punctul: $\phi$ spune pe ce rază să mergeți, $r$ spune cât de departe pe ea.

Pe ce se bazează: definiția de mai sus, orientarea planului (pentru sensul lui $\phi$) și distanța $\rho (O,M)$.

Ce să verificați singuri pe figură: acoperiți cu degetul raza polară și încercați să localizați $M$ știind doar $\phi$ — veți găsi toată semidreapta, nu punctul. Apoi acoperiți unghiul și păstrați $r$ — veți găsi tot cercul de rază $r$. Punctul apare doar la intersecția lor.

3. Domeniul coordonatelor

Observăm că

$$0\le r<\infty ,0\le \phi <2\pi .$$

Deseori, pentru comoditate, se folosesc unghiurile negative. De exemplu $M\left(3;-\frac{\pi }{2}\right)$ în loc de $M\left(3;\frac{3\pi }{2}\right)$.

fig. 2 — stânga: același punct descris prin două unghiuri diferite; dreapta: polul, unde unghiul nu este definit

Cum se citește figura — unicitatea coordonatelor polare

Pasul 1 — panoul din stânga, unghiul pozitiv. Arcul albastru pornește de la axa polară și parcurge $3\pi /2$ (trei sferturi de tur) în sens pozitiv. Ajunge pe verticala de jos.

Pasul 2 — același panou, unghiul negativ. Arcul portocaliu pornește din același loc, dar merge invers, doar un sfert de tur: $-\pi /2$. Ajunge în același loc.

Pasul 3 — trageți concluzia. $M(3;3\pi /2)$ și $M(3;-\pi /2)$ sunt același punct. Restricția $0\le \phi <2\pi$ există tocmai ca să elimine această ambiguitate — dar în practică se renunță la ea când e mai comod.

Pasul 4 — panoul din dreapta, cazul polului. Punctul desenat este polul $O$. Prin el trec toate semidreptele punctate: oricare dintre ele poate fi considerată „direcția” în care se află.

Pasul 5 — de ce polul e excepția. Pentru $M=O$ avem $r=0$, iar vectorul $\overrightarrow{OM}=\vec{0}$ nu are direcție. Deci unghiul dintre $\vec{i}$ și $\overrightarrow{OM}$ nu se poate defini: $\phi$ rămâne nedeterminat.

Pe ce se bazează: faptul că unghiurile se măsoară modulo $2\pi$, și faptul că vectorul nul nu are direcție (Vectori).

Ce să verificați singuri pe figură: găsiți un al treilea unghi care descrie același punct din panoul stâng (răspuns: $3\pi /2+2\pi =7\pi /2$, și orice $3\pi /2+2k\pi$).

Univocitatea

Pentru orice punct $M$ diferit de $O$, coordonatele polare $(r;\phi )$ se determină univoc și invers. Pentru polul $O$ avem $r=0$, iar $\phi$ este nedeterminat.

Diferența majoră față de sistemul cartezian

În sistemul afin sau rectangular cartezian corespondența punct ↔ pereche de numere este biunivocă fără excepții (§10). Originea are coordonatele $(0;0)$ și nu e cu nimic specială.

În sistemul polar, corespondența este biunivocă numai pe $P\setminus \{O\}$. Polul e un punct „defect”: îi lipsește unghiul. Acesta este prețul plătit pentru comoditatea descrierii radiale — și motivul pentru care, în analiză, trecerea la coordonate polare cere de obicei tratarea separată a originii.

Inconsecvență de notare în manual

Pe aceeași pagină manualul scrie atât $0\le r<\infty$ (deci $r=0$ este admis, pentru pol), cât și, la punctul a) de la p. 54, $r=|\overrightarrow{OM}|>0$. A doua scriere este corectă doar pentru $M\ne O$. Reținem: $r\ge 0$ în general, $r>0$ pentru orice punct diferit de pol.

4. Sistemul cartezian asociat

Pentru fiecare sistem polar de coordonate se poate introduce un sistem rectangular cartezian determinat de reperul pozitiv $R=\{O,\vec{i},\vec{j}\}$, cu:

• originea în polul $O$;
• axa $(Ox)$ pe dreapta $(OE)$, cu vectorul unitar de pe ea chiar $\vec{i}$;
• vectorul $\vec{j}$ de pe axa $(Oy)$ ales astfel încât $\vec{i}\perp \vec{j}$ și $|\vec{i}|=|\vec{j}|=1$.

De ce se face asta

Pentru ca cele două descrieri să poată fi comparate. Odată reperele „lipite” unul de altul (același $O$, aceeași direcție inițială), un punct capătă simultan o pereche $(r;\phi )$ și o pereche $(x;y)$ — iar formulele de trecere dintre ele sunt obiectul lecției următoare.

Cuvântul pozitiv din „reper pozitiv” nu e decorativ: el cere ca perechea $\{\vec{i},\vec{j}\}$ să fie o bază dreaptă, adică $\vec{j}$ să fie la $+90°$ față de $\vec{i}$, nu la $-90°$. Altfel unghiul $\phi$ măsurat în sistemul polar și cel citit în sistemul cartezian ar avea semne opuse.

Întrebări de control

1. De ce reperul polar are nevoie de un singur vector, iar cel afin de doi? Ce compensează diferența?
2. Scrieți trei perechi diferite de coordonate polare care descriu același punct.
3. Ce mulțime de puncte descrie condiția $r=3$? Dar condiția $\phi =\pi /4$?
4. De ce unghiul polar al polului nu poate fi definit? Ce ar strica alegerea arbitrară $\phi =0$?
5. Dacă s-ar alege $\vec{j}$ la $-90°$ față de $\vec{i}$, ce s-ar schimba la unghiul polar al unui punct dat?

Legături

• Anterior: Distanța dintre două puncte
• Continuare: Trecerea între coordonate polare și carteziene
• Se sprijină pe: Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor, Reperul afin în plan. Tipuri de repere
• Concepte: Coordonate polare, Sistem rectangular cartezian