Poziția dreptei față de axe

Despre ce este lecția

Dintr-o ecuație generală $Ax+By+C=0$ se poate citi, fără niciun calcul, cum stă dreapta față de axe: e suficient să vedem care coeficienți sunt zero. Lecția face inventarul complet al cazurilor.

Fie într-un sistem afin de coordonate este dată dreapta $d$ prin ecuația generală (1). Să cercetăm particularitățile poziției dreptei $d$ în raport cu axele de coordonate, dacă unele din numerele $A$, $B$, $C$ sunt egale cu zero.

I. $C=0$ — dreapta trece prin origine

Dacă $C=0$, atunci ecuației (1) satisfac coordonatele punctului $O(0;0)$ și prin urmare, dreapta $d$ trece prin originea de coordonate.

Invers, dacă dreapta $d$ trece prin originea de coordonate, atunci $C=0$. Așadar dreapta $d$ trece prin originea de coordonate atunci și numai atunci, când $C=0$. În acest caz ecuația dreptei are forma: $Ax+By=0$.

Pas cu pas — de ce și invers

„⇒”. Dacă $C=0$: $A\cdot 0+B\cdot 0+0=0$ ✓, deci $O\in d$.

„⇐”. Dacă $O\in d$, coordonatele lui $O$ satisfac ecuația: $A\cdot 0+B\cdot 0+C=0$, deci $C=0$.

Ambele sensuri sunt o simplă înlocuire a lui $(0;0)$ în ecuație.

II. $A=0$ — dreapta e paralelă cu axa $(Ox)$

Dacă $A=0$, atunci vectorul director al dreptei $\vec{a}\{-B;0\}$ este coliniar cu vectorul ${\vec{e}}_1$, adică vectorul ${\vec{e}}_1$ este paralel la dreapta $d$.

Invers, dacă $\vec{a}\parallel {\vec{e}}_1$, atunci

$$\left|\begin{array}{cc}-B& A\\ 1& 0\end{array}\right|=0\text{sau}A=0.$$

În acest caz ecuația dreptei are forma: $By+C=0$.

Dacă $A=0$, $C\ne 0$, atunci dreapta (1) nu trece prin originea de coordonate și este paralelă la axa $(Ox)$. Dacă $A=C=0$, atunci dreapta (1) are ecuația $y=0$ și coincide cu axa $(Ox)$.

III. $B=0$ — dreapta e paralelă cu axa $(Oy)$

Analogic, vectorul ${\vec{e}}_2$ este paralel la dreapta (1) atunci și numai atunci, când $B=0$. În acest caz ecuația dreptei are forma: $Ax+C=0$. Dacă $B=0$, $C\ne 0$, atunci dreapta (1) este paralelă la axa $(Oy)$, dacă însă $B=C=0$, atunci dreapta (1) coincide cu axa $(Oy)$ și are ecuația $x=0$.

fig. 1 — inventarul cazurilor: fiecare coeficient nul „fixează” ceva în poziția dreptei

Cum se citește figura — cazurile particulare

Rândul de sus — $C=0$ sau $A=0$.

• $C=0$ (violet): dreapta trece prin $O$, în rest oarecare.
• $A=0$, $C\ne 0$ (albastru): orizontală, deasupra sau dedesubtul axei.
• $A=C=0$ (albastru): chiar axa $(Ox)$.

Rândul de jos — cazul general sau $B=0$.

• general (gri): niciun coeficient nul — taie ambele axe, nu trece prin $O$.
• $B=0$, $C\ne 0$ (portocaliu): verticală.
• $B=C=0$ (portocaliu): chiar axa $(Oy)$.

Regula de memorat. Coeficientul care lipsește arată ce variabilă nu contează. $A=0$ ⇒ $x$ lipsește din ecuație ⇒ $x$ poate fi orice ⇒ dreapta e „lungă” în direcția lui $x$ ⇒ paralelă cu $(Ox)$.

Pe ce se bazează: teorema 21.3 (cu ${\vec{e}}_1=\{1;0\}$ și ${\vec{e}}_2=\{0;1\}$) și înlocuirea lui $O(0;0)$ în ecuație.

Ce să verificați singuri pe figură: pot fi nuli simultan $A$ și $B$? (Răspuns: nu — atunci ecuația n-ar mai fi de gradul întâi și n-ar descrie o dreaptă; vezi teorema 21.2.)

Pas cu pas — cazul II prin teorema 21.3

Manualul folosește un determinant; teorema 21.3 dă același rezultat mai direct.

Pasul 1. „Dreapta e paralelă cu $(Ox)$” înseamnă „${\vec{e}}_1=\{1;0\}$ e paralel cu $d$”.

Pasul 2. Aplicăm condiția (4): $A\cdot 1+B\cdot 0=0$, adică $A=0$.

Pasul 3. Analog pentru ${\vec{e}}_2=\{0;1\}$: $A\cdot 0+B\cdot 1=0$, adică $B=0$.

Un singur rând de calcul pentru fiecare caz.

Tabelul cazurilor

Coeficienți	Ecuația	Poziția dreptei
$A,B,C\ne 0$	$Ax+By+C=0$	taie ambele axe, nu trece prin $O$
$C=0$	$Ax+By=0$	trece prin origine
$A=0$, $C\ne 0$	$By+C=0$	paralelă cu $(Ox)$
$A=C=0$	$y=0$	axa $(Ox)$
$B=0$, $C\ne 0$	$Ax+C=0$	paralelă cu $(Oy)$
$B=C=0$	$x=0$	axa $(Oy)$

Legătura cu ecuația în segmente

Ecuația în segmente $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$ există exact pentru dreptele din primul rând al tabelului (toți coeficienții nenuli). Atunci $a=-\frac{C}{A}$ și $b=-\frac{C}{B}$. Vezi §20, ecuația (3).

Întrebări de control

1. Cum stă față de axe dreapta $3y-7=0$? Dar $2x+5y=0$?
2. Scrieți ecuația dreptei paralele cu $(Oy)$ care trece prin $(-2;5)$.
3. De ce o dreaptă nu poate avea simultan $A=0$ și $B=0$?
4. O dreaptă trece prin origine și e paralelă cu $(Ox)$. Care e ecuația ei?
5. Arătați că pentru $A,B,C$ nenuli, segmentele tăiate pe axe sunt $-C/A$ și $-C/B$.

Legături

• Anterior: Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3
• Se sprijină pe: Ecuația generală. Teoremele 21.1–21.3, Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane
• Concepte: Ecuațiile dreptei, Vector director