Modulul vectorului. Vectorul opus

1. Vectorul opus

Fie $\vec{a}$ un vector arbitrar. Dintr-un punct oarecare $A$ depunem vectorul $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$.

Definiție

Vectorul $\overrightarrow{BA}$ se numește vectorul opus vectorului $\vec{a}$ și se notează $-\vec{a}$.

fig. 1 — paralelogramul $ABCD$: $\overrightarrow{CD}$ este opusul lui $\overrightarrow{AB}$, deoarece $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}$

Proprietăți

1. $-(-\vec{a})=\vec{a}$ — vectorul opus vectorului $\overrightarrow{BA}$ este chiar $\overrightarrow{AB}$.
2. $-\vec{0}=\vec{0}$ — vectorul opus vectorului nul este vectorul nul.
3. $\vec{a}\uparrow \downarrow (-\vec{a})$ și $|-\vec{a}|=|\vec{a}|$ — același modul, aceeași direcție, sens opus.

Definiția nu depinde de punctul $A$

Dacă am depune $\vec{a}$ din alt punct $A^{\prime }$, obținând $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=\vec{a}$, atunci $\overline{AB}\stackrel{\omega }{=}\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ și, prin urmare, $\overline{BA}\stackrel{\omega }{=}\overline{B^{\prime }{A}^{\prime }}$ — deci $\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{B^{\prime }{A}^{\prime }}$. Vectorul opus este bine definit.

2. Modulul vectorului

Definiție

Se numește lungime a vectorului (sau modulul vectorului) lungimea oricărui reprezentant al vectorului. Modulele vectorilor $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\overrightarrow{CD}$ se notează $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $|\overrightarrow{CD}|$.

$$|\vec{0}|=0$$

De ce definiția este corectă

Toți reprezentanții unui vector sunt echipolenți, iar echipolența cere lungimi egale. Deci lungimea nu depinde de reprezentantul ales.

Proprietăți de bază

Proprietate	Formulare
Nenegativitate	$|\vec{a}|\ge 0$
Anulare	$|\vec{a}|=0⟺\vec{a}=\vec{0}$
Simetrie	$|-\vec{a}|=|\vec{a}|$

Completare — inegalitatea triunghiului

$$||\vec{a}|-|\vec{b}||\le |\vec{a}+\vec{b}|\le |\vec{a}|+|\vec{b}|$$

Egalitatea în dreapta are loc exact când $\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$. Rezultă direct din regula triunghiului: o latură a triunghiului nu depășește suma celorlalte două. Nu figurează încă în notițele de curs.

3. Vectorul liber — bilanț

Am menționat deja că din orice punct al spațiului poate fi depus un vector egal cu vectorul dat. Acest fapt ne permite, după necesitate:

• să aducem doi sau mai mulți vectori la origine comună;
• să efectuăm alte construcții cu vectori (adunare cap-la-cap, paralelogram etc.).

În sensul arătat, vectorul se consideră liber. Anume astfel de vectori se studiază în matematică; la ei se referă definițiile date și proprietățile stabilite mai sus, cât și operațiile ce urmează.

Întrebări de control

1. De ce modulul unui vector este bine definit, deși vectorul are o infinitate de reprezentanți?
2. Arătați că $\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}$ în paralelogramul $ABCD$.
3. Poate un vector nenul să fie egal cu opusul său?
4. Ce înseamnă, exact, că vectorul este „liber”?

Legături

• Anterior: Coliniaritatea și orientarea vectorilor
• Continuare: Vectori aplicați, alunecători și liberi
• Concepte: Modulul vectorului, Vector opus, Vector liber