Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector

Despre ce este paragraful

Până acum (§10) axele puteau fi oblice, iar unitățile de pe ele — diferite. Cu un asemenea sistem se pot calcula rapoarte și coordonate, dar nu lungimi și unghiuri: nu există nicio formulă care să dea $|\vec{a}|$ din $\{x;y\}$, fiindcă răspunsul ar depinde de cât de lungi sunt ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2$ și de unghiul dintre ele.

§11 elimină exact această lipsă: se cere ca axele să fie perpendiculare, iar unitățile de pe ele să fie egale cu 1. Din acest moment coordonatele nu mai sunt doar etichete — ele măsoară.

1. Reperul și sistemul

Fixăm pe plan un reper rectangular cartezian $R=\{O,\vec{i},\vec{j}\}$, adică (vezi tipurile de repere):

$$|\vec{i}|=|\vec{j}|=1,\vec{i}\perp \vec{j}.$$

Sistemul rectangular cartezian

Sistemul de coordonate $(xOy)$ determinat de reperul $R=\{O,\vec{i},\vec{j}\}$ se numește sistem rectangular cartezian.

Ce se moștenește și ce se adaugă

Sistemul rectangular cartezian este un caz particular al sistemului afin. De aceea tot ce s-a dedus în §10 rămâne valabil fără nicio modificare: coordonatele vectorilor și ale punctelor, formula $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$, mijlocul segmentului, împărțirea în raportul dat, condiția de coliniaritate.

Ce se adaugă sunt proprietățile metrice: distanțe și mărimi unghiulare. Pentru ele avem nevoie de ipotezele noi ($\perp$ și lungime $1$).

Nu inversați implicația

„Tot ce e adevărat în afin e adevărat și în rectangular cartezian” — da. „Tot ce e adevărat în rectangular cartezian e adevărat și în afin” — nu. Formulele (10), (11), (12) din acest paragraf sunt false într-un reper oblic sau cu unități inegale.

Exemplu. Într-un reper cu ${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$, dar $|{\vec{e}}_1|=1$ și $|{\vec{e}}_2|=3$, vectorul $\vec{a}=\{1;1\}$ are modulul $\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$, nu $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$.

2. Proprietatea 1⁰ — coordonatele ca proiecții ortogonale

Fie dat vectorul $\vec{a}=\{x;y\}$, adică $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$. Îl depunem din origine: $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$. Fie $\phi$ măsura unghiului dintre $\vec{i}$ și $\vec{a}$. Atunci

$$\overrightarrow{O{A}_1}=|\overrightarrow{O{A}_1}|\cdot \vec{i}=|\overrightarrow{OA}|\cos \phi \cdot \vec{i}=|\vec{a}|\cos \phi \cdot \vec{i},\overrightarrow{O{A}_2}=|\vec{a}|\sin \phi \cdot \vec{j},$$

de unde

$$x=\frac{\overrightarrow{O{A}_1}}{\vec{i}}=|\vec{a}|\cos \phi ={\mathrm{pr}}_{(Ox)}\vec{a},y=\frac{\overrightarrow{O{A}_2}}{\vec{j}}=|\vec{a}|\sin \phi ={\mathrm{pr}}_{(Oy)}\vec{a}\text{\hspace{1em}(10)}$$

fig. 1 (după fig. 47 din manual) — vectorul $\vec{a}$ descompus pe axe perpendiculare; $\phi$ este unghiul dintre $\vec{i}$ și $\vec{a}$

Cum se citește figura — formula (10)

Pasul 1 — priviți întâi reperul. Unghiul drept marcat în $O$ spune că $\vec{i}\perp \vec{j}$; săgețile groase albastră și portocalie au ambele lungimea $1$. Fără aceste două lucruri nimic din ce urmează nu funcționează.

Pasul 2 — vectorul dat. Săgeata violet este $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$. Unghiul $\phi$ se măsoară de la $\vec{i}$ spre $\vec{a}$.

Pasul 3 — coborâți perpendicularele. Liniile punctate din $A$ sunt perpendiculare pe axe (nu doar paralele cu ele, ca în cazul afin!). Ele taie axele în $A_1$ și $A_2$.

Pasul 4 — recunoașteți triunghiul dreptunghic $O{A}_{1}A$. Ipotenuza este $OA=|\vec{a}|$, cateta alăturată unghiului $\phi$ este $O{A}_1$, cateta opusă este $A_{1}A=O{A}_2$. Deci $O{A}_1=|\vec{a}|\cos \phi$ și $O{A}_2=|\vec{a}|\sin \phi$ — pur și simplu definițiile sinusului și cosinusului.

Pasul 5 — treceți de la lungimi la coordonate. Coordonatele $x$ și $y$ sunt proiecțiile algebrice, adică raportul $\overrightarrow{O{A}_1}/\vec{i}$ — un număr cu semn. În figură $A_1$ e de partea lui $\vec{i}$, deci $x>0$; dacă $\phi$ ar depăși $90°$, $\cos \phi$ ar deveni negativ și odată cu el și $x$. Semnul se ocupă singur de sine.

Pe ce se bazează: proiecțiile algebrice din §10 și definițiile trigonometrice în triunghiul dreptunghic.

Ce să verificați singuri pe figură: măsurați $O{A}_1$ și $OA$; raportul lor trebuie să fie $\cos \phi$. Apoi verificați că $O{A}_2=A_{1}A$ — dreptunghiul $O{A}_{1}A{A}_2$ garantează egalitatea.

Aici se vede diferența față de sistemul afin

În sistemul afin, coordonatele erau proiecții paralele cu cealaltă axă. Fiind axele perpendiculare, „paralel cu cealaltă axă” devine automat „perpendicular pe axa proprie”: proiecțiile devin ortogonale. Abia proiecția ortogonală se poate exprima prin $\cos \phi$; cea oblică, nu.

Forma trigonometrică a vectorului

Din (10), pentru vectorul $\vec{a}$ dat putem scrie

$$\vec{a}=\{|\vec{a}|\cos \phi ;|\vec{a}|\sin \phi \}.$$

Cazul vectorului unitar

Dacă $|\vec{a}|=1$, atunci $\vec{a}=\{\cos \phi ;\sin \phi \}$.

Așadar: coordonatele unui vector unitar sunt chiar cosinusul și sinusul unghiului pe care îl face cu axa $(Ox)$. De aici și identitatea ${\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi =1$ — nu e decât formula (11) de mai jos, aplicată unui vector de lungime $1$.

Tangenta unghiului

Din (10), împărțind a doua relație la prima (pentru $x\ne 0$):

$$\mathrm{tg}\phi =\frac{y}{x}.$$

Deci raportul ordonatei la abscisă este egal cu tangenta unghiului dintre axa $(Ox)$ și vectorul dat.

$\mathrm{tg}\phi =y/x$ nu determină singur unghiul

Tangenta are perioada $\pi$, nu $2\pi$. Vectorii $\{1;1\}$ și $\{-1;-1\}$ au același raport $y/x=1$, dar unghiuri diferite: $45°$ și $225°$. Ca să aflați $\phi$ aveți nevoie și de semnele lui $x$ și $y$ (adică de cadran), nu doar de raportul lor. Perechea sigură este $\cos \phi =x/|\vec{a}|$, $\sin \phi =y/|\vec{a}|$.

Pentru $x=0$ tangenta nici nu există: $\phi =90°$ sau $\phi =270°$.

3. Proprietatea 2⁰ — modulul vectorului

Din (10) obținem de asemenea $x^2+y^2=|\vec{a}{|}^2$. Prin urmare

$$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\text{\hspace{1em}(11)}$$

Așa se calculează modulul vectorului dat în sistemul rectangular cartezian $(xOy)$ după coordonatele lui.

fig. 2 — modulul ca ipotenuză: catetele sunt exact coordonatele

Pas cu pas — de unde vine formula (11)

Pasul 1 — plecați de la (10). $x=|\vec{a}|\cos \phi$ și $y=|\vec{a}|\sin \phi$.

Pasul 2 — ridicați la pătrat și adunați.

$$x^2+y^2=|\vec{a}{|}^2{\cos }^2\phi +|\vec{a}{|}^2{\sin }^2\phi =|\vec{a}{|}^2({\cos }^2\phi +{\sin }^2\phi )=|\vec{a}{|}^2.$$

Pasul 3 — extrageți radicalul. Cum $|\vec{a}|\ge 0$, se ia radicalul aritmetic: $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$.

Unde s-a folosit ipoteza. Identitatea ${\cos }^2+{\sin }^2=1$ este teorema lui Pitagora deghizată, iar Pitagora cere unghi drept. Aici intervine $\vec{i}\perp \vec{j}$. Lungimea $1$ a vectorilor de bază intervine mai devreme, în (10): fără ea, $|\overrightarrow{O{A}_1}|$ nu ar fi $|x|$, ci $|x|\cdot |\vec{i}|$.

Exemplu numeric. $\vec{a}=\{3;-4\}$ ⇒ $|\vec{a}|=\sqrt{9+16}=5$. Verificare prin (10): $\cos \phi =3/5$, $\sin \phi =-4/5$, iar $(3/5{)}^2+(-4/5{)}^2=1$. ✓

Cum se citește figura — formula (11)

Pasul 1 — cele trei săgeți. Albastru: componenta orizontală, de lungime $|x|$. Portocaliu: componenta verticală, de lungime $|y|$, depusă din vârful celei albastre. Violet: vectorul $\vec{a}$ însuși.

Pasul 2 — observați că e regula triunghiului. Albastru + portocaliu = violet, adică $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$. Figura nu conține nimic nou față de §10 — doar că acum cele două componente sunt perpendiculare.

Pasul 3 — unghiul drept din $A_1$ este semnul că se poate aplica Pitagora în triunghiul $O{A}_{1}A$.

Pasul 4 — citiți concluzia. Ipotenuza $OA$ este $|\vec{a}|$; catetele sunt $|x|$ și $|y|$. Pitagora dă direct (11). Pătratele fac ca semnele coordonatelor să nu conteze — și e firesc, modulul nu depinde de cadran.

Pe ce se bazează: definiția modulului, descompunerea $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$ și teorema lui Pitagora.

Ce să verificați singuri pe figură: luați $\vec{a}=\{4;3\}$ și numărați pe desen — ipotenuza trebuie să iasă exact $5$ unități, nu $7$ (adică nu suma catetelor).

De reținut din §11, partea 1

Mărime	Formulă	Cere reper rectangular cartezian?
coordonatele lui $\vec{a}$	$\{x;y\}$ cu $\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$	nu
proiecții ortogonale	$x=|\vec{a}|\cos \phi$, $y=|\vec{a}|\sin \phi$	da
modulul	$|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$	da
direcția	$\mathrm{tg}\phi =y/x$ (+ cadranul)	da

Greșeală de tipar în manual

La p. 50–51 sintagma apare de mai multe ori ca „sistemul rectangular cartezian cartezian” — cuvântul „cartezian” este repetat. Formularea corectă este „sistemul rectangular cartezian”.

Întrebări de control

1. De ce formula $|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}$ nu este valabilă într-un reper afin oarecare? Dați un contraexemplu numeric.
2. Vectorii $\vec{u}=\{2;2\}$ și $\vec{v}=\{-2;-2\}$ au același raport $y/x$. Cum îi deosebiți prin unghiul $\phi$?
3. Ce coordonate are un vector unitar care face $150°$ cu axa $(Ox)$?
4. Arătați că $|\lambda \vec{a}|=|\lambda |\cdot |\vec{a}|$ folosind numai formula (11).
5. În ce moment al deducerii formulei (10) se folosește faptul că $|\vec{i}|=1$? Dar faptul că $\vec{i}\perp \vec{j}$?

Legături

• Anterior: Împărțirea segmentului în raportul dat
• Continuare: Distanța dintre două puncte
• Se sprijină pe: Reperul afin în plan. Tipuri de repere, Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice, Modulul vectorului. Vectorul opus
• Concepte: Sistem rectangular cartezian, Modulul vectorului, Proiecția unui vector