Proprietățile adunării vectorilor

Adunarea vectorilor posedă următoarele proprietăți.

1. Comutativitatea

Proprietate

Pentru orice doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ are loc egalitatea

$$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\text{\hspace{1em}(6)}$$

fig. 1 — ambele drumuri $O\to C$ dau același vector

De ce — citirea figurii

În paralelogramul $OACB$ există două drumuri de la $O$ la $C$:

• $O\to A\to C$: parcurgem întâi $\vec{a}$, apoi $\vec{b}$ — deci $\vec{a}+\vec{b}$;
• $O\to B\to C$: parcurgem întâi $\vec{b}$, apoi $\vec{a}$ — deci $\vec{b}+\vec{a}$.

Ambele se termină în același punct $C$, deci ambele sume sunt $\overrightarrow{OC}$.

Cum se citește figura — comutativitatea

Pasul 1 — cei doi vectori din $O$. $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ (albastru, spre stânga-sus) și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ (portocaliu, pe orizontală).

Pasul 2 — laturile opuse. Latura de sus $A\to C$ este tot portocalie — o copie a lui $\vec{b}$; latura din dreapta $B\to C$ este tot albastră — o copie a lui $\vec{a}$. Culoarea arată echipolența laturilor opuse.

Pasul 3 — cele două drumuri. Pe sus, $O\to A\to C$: albastru apoi portocaliu, adică $\vec{a}+\vec{b}$. Pe jos, $O\to B\to C$: portocaliu apoi albastru, adică $\vec{b}+\vec{a}$.

Pasul 4 — concluzia (violet). Ambele drumuri se opresc în $C$, deci ambele sume sunt diagonala $\overrightarrow{OC}$.

Pe ce se bazează: Regula paralelogramului (existența lui $C$ și echipolența laturilor opuse); regula triunghiului, aplicată de două ori.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cele două laturi portocalii sunt paralele și egale, la fel cele albastre; (2) pentru $\vec{a}\parallel \vec{b}$ paralelogramul dispare — comutativitatea se verifică atunci direct pe o dreaptă (întrebarea 1).

2. Asociativitatea

Proprietate

Pentru orice trei vectori $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ are loc egalitatea

$$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\text{\hspace{1em}(7)}$$

fig. 2 — aceeași linie frântă, două moduri de a o grupa

De ce — citirea figurii

Construim linia frântă $A\to B\to C\to D$ cu $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{b}$, $\overrightarrow{CD}=\vec{c}$.

• $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$;
• $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$.

Gruparea schimbă doar ordinea calculelor, nu și punctul final $D$.

Cum se citește figura — asociativitatea

Pasul 1 — linia frântă. $A\to B\to C\to D$: albastru $\vec{a}$, portocaliu $\vec{b}$, verde $\vec{c}$, cap la cap.

Pasul 2 — gruparea $(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$. Linia gri punctată $A\to C$ (eticheta $a+b$) înlocuiește primele două săgeți; din $C$ continuăm cu verdele până în $D$.

Pasul 3 — gruparea $\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$. Linia gri punctată $B\to D$ (eticheta $b+c$) înlocuiește ultimele două săgeți; o adăugăm după albastrul $\overrightarrow{AB}$ și ajungem tot în $D$.

Pasul 4 — concluzia (violet). Ambele grupări duc de la $A$ la $D$, deci ambele dau săgeata violet $\overrightarrow{AD}$.

Pe ce se bazează: relația lui Chasles în triunghiurile $ABC$, $ACD$ (prima grupare) și $BCD$, $ABD$ (a doua).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cele două linii gri se intersectează, dar fiecare aparține unei singure grupări; (2) pentru patru vectori ar apărea un al cincilea punct $E$ și cinci grupări posibile, toate cu aceeași săgeată finală $\overrightarrow{AE}$.

Consecință practică

Datorită proprietăților (6) și (7), într-o sumă de vectori parantezele și ordinea termenilor nu contează — exact ca la adunarea numerelor. De aceea scriem simplu ${\vec{a}}_1+{\vec{a}}_2+\cdots +{\vec{a}}_n$ fără paranteze.

3. Elementul neutru și elementul opus

Din relația (3) și relația (4):

$$\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}\text{\hspace{1em}(3)}$$ $$\vec{a}+(-\vec{a})=-\vec{a}+\vec{a}=\vec{0}\text{\hspace{1em}(4)}$$

Bilanț: ce structură am obținut

#	Proprietate	Formulare
1	comutativitate	$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$
2	asociativitate	$(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})$
3	element neutru	$\exists \vec{0}:\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}$
4	element opus	$\forall \vec{a}\exists (-\vec{a}):\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$

Anticipare

Aceste patru proprietăți spun că mulțimea vectorilor formează un grup abelian față de adunare. Împreună cu proprietățile înmulțirii cu un număr, ele vor da structura de spațiu vectorial.

Întrebări de control

1. Demonstrați (6) folosind regula paralelogramului. De ce demonstrația trebuie completată separat pentru vectori coliniari?
2. Câte moduri de a pune paranteze există la suma $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}+\vec{d}$? De ce toate dau același rezultat?
3. Există un vector $\vec{x}$ cu $\vec{a}+\vec{x}=\vec{a}$ pentru un singur $\vec{a}$, dar nu pentru toți?
4. Arătați că elementul opus este unic.

Legături

• Anterior: Regula paralelogramului
• Continuare: Scăderea vectorilor