Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate

Despre ce este lecția

Definiția (1) este geometrică: ca să calculezi $(\vec{a},\vec{b})$ trebuie să cunoști două lungimi și un unghi — adică să măsori pe desen. Lecția aceasta o înlocuiește cu o formulă aritmetică, $(\vec{a},\vec{b})=a_1{b}_1+a_2{b}_2$, care cere doar cele patru coordonate.

Este trecerea decisivă a întregului capitol: din acest moment unghiurile și perpendicularitățile se verifică prin calcul, nu prin desen.

1. Teorema 13.3 — proprietățile de bază

Teorema 13.3

Pentru orice vectori $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ și orice număr real $\alpha$ sunt juste următoarele egalități:

1⁰. $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{b},\vec{a})$ (comutativitate / simetrie)

2⁰. $(\alpha \vec{a},\vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b})$ și $(\vec{a},\alpha \vec{b})=\alpha (\vec{a},\vec{b})$ (omogenitate)

3⁰. $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c})$ (distributivitate față de adunare)

Demonstrație. Fie într-o bază ortonormată sunt dați vectorii $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$, $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$ și $\vec{c}=\{c_1;c_2\}$.

Vom demonstra doar una din aceste egalități, de exemplu 3⁰, celelalte se demonstrează în mod analogic.

Deoarece $\vec{a}+\vec{b}=\{a_1+b_1;a_2+b_2\}$, atunci

$$(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2=(a_1{c}_1+a_2{c}_2)+(b_1{c}_1+b_2{c}_2)=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{b},\vec{c}).$$

Teorema 13.3 este demonstrată. $■$

O referință înainte — dar nu un cerc vicios

Demonstrația de mai sus folosește formula $(\vec{u},\vec{v})=u_1{v}_1+u_2{v}_2$, care este teorema 13.5, enunțată abia în secțiunea 3 a acestei lecții. O demonstrație care se sprijină pe un rezultat ulterior pare suspectă.

Nu este un cerc vicios, și iată de ce: demonstrația teoremei 13.5 folosește doar

• definiția 13.1 (formula (1)),
• teorema cosinusului din geometria elementară,
• formula modulului (11) din §11,
• teorema despre vectori coliniari din §5.

Niciunul dintre aceste rezultate nu depinde de teorema 13.3. Lanțul logic real este deci: 13.5 → 13.3, chiar dacă ordinea de prezentare din manual este inversă.

Cum ar trebui citit paragraful: dacă vreți ordinea logică, citiți întâi secțiunea 3 (teorema 13.5), apoi reveniți la secțiunea 1.

Pas cu pas — demonstrația proprietății 3⁰, desfăcută

Pasul 1 — scrieți coordonatele sumei. După regula de adunare în coordonate, $\vec{a}+\vec{b}=\{a_1+b_1;a_2+b_2\}$. Adunarea vectorilor se face coordonată cu coordonată.

Pasul 2 — aplicați formula (3). Produsul scalar dintre $\vec{a}+\vec{b}$ și $\vec{c}$ este suma produselor coordonatelor corespunzătoare:

$$(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=(a_1+b_1)c_1+(a_2+b_2)c_2.$$

Pasul 3 — desfaceți parantezele. $=a_1{c}_1+b_1{c}_1+a_2{c}_2+b_2{c}_2$.

Pasul 4 — regrupați. Puneți laolaltă termenii cu $a$ și, separat, cei cu $b$:

$$=(a_1{c}_1+a_2{c}_2)+(b_1{c}_1+b_2{c}_2).$$

Pasul 5 — recunoașteți. Prima paranteză este $(\vec{a},\vec{c})$, a doua este $(\vec{b},\vec{c})$. Gata.

Ce s-a folosit de fapt. Doar distributivitatea înmulțirii numerelor reale față de adunare. Proprietatea 3⁰ a vectorilor nu e decât distributivitatea numerelor, transportată prin formula (3).

Exemplu numeric. $\vec{a}=\{1;2\}$, $\vec{b}=\{3;-1\}$, $\vec{c}=\{2;4\}$. Stânga: $\vec{a}+\vec{b}=\{4;1\}$, deci $(\vec{a}+\vec{b},\vec{c})=4\cdot 2+1\cdot 4=12$. Dreapta: $(\vec{a},\vec{c})=1\cdot 2+2\cdot 4=10$; $(\vec{b},\vec{c})=3\cdot 2+(-1)\cdot 4=2$; suma $=12$. ✓

Ce nu spune teorema 13.3

Lipsesc din listă două proprietăți la care v-ați putea aștepta prin analogie cu numerele:

• asociativitatea $((\vec{a},\vec{b}),\vec{c})=(\vec{a},(\vec{b},\vec{c}))$ — falsă, și nici măcar bine formulată;
• simplificarea $(\vec{a},\vec{b})=0,\vec{a}\ne \vec{0}\Rightarrow \vec{b}=\vec{0}$ — falsă.

Ambele sunt tratate în detaliu în Ce nu se transferă de la numere. Aplicații.

Consecința 13.4

Pentru orice vectori $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ și $\vec{d}$ are loc egalitatea:

$$(\vec{a}+\vec{b},\vec{c}+\vec{d})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{a},\vec{d})+(\vec{b},\vec{c})+(\vec{b},\vec{d}).$$

Pas cu pas — deducerea consecinței 13.4

Pasul 1 — aplicați 3⁰ pe primul argument, tratând $\vec{c}+\vec{d}$ ca un singur vector:

$$(\vec{a}+\vec{b},\vec{c}+\vec{d})=(\vec{a},\vec{c}+\vec{d})+(\vec{b},\vec{c}+\vec{d}).$$

Pasul 2 — pentru a desface al doilea argument, folosiți 1⁰. Proprietatea 3⁰ e enunțată doar pentru primul argument; simetria permite mutarea:

$$(\vec{a},\vec{c}+\vec{d})=(\vec{c}+\vec{d},\vec{a})=(\vec{c},\vec{a})+(\vec{d},\vec{a})=(\vec{a},\vec{c})+(\vec{a},\vec{d}).$$

Pasul 3 — la fel pentru al doilea termen și adunați. Rezultă cele patru produse.

Recunoașteți tiparul. Este exact regula „fiecare cu fiecare” de la desfacerea parantezelor $(x+y)(z+t)$ din algebră. Produsul scalar se comportă, față de adunare, ca înmulțirea obișnuită.

Caz particular util. Luând $\vec{c}=\vec{a}$ și $\vec{d}=\vec{b}$:

$$|\vec{a}+\vec{b}{|}^2=(\vec{a}+\vec{b}{)}^2={\vec{a}}^2+2(\vec{a},\vec{b})+{\vec{b}}^2=|\vec{a}{|}^2+2(\vec{a},\vec{b})+|\vec{b}{|}^2.$$

Aceasta este teorema cosinusului scrisă vectorial — și, pentru $\vec{a}\perp \vec{b}$, chiar teorema lui Pitagora.

2. Teorema 13.5 — produsul scalar în coordonate

Teorema 13.5

Fie într-o bază ortonormată sunt dați vectorii $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$ și $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$. Atunci

$$(\vec{a},\vec{b})=a_1{b}_1+a_2{b}_2\text{\hspace{1em}(3)}$$

Ipoteza „bază ortonormată" nu poate fi eliminată

Ortonormat = vectorii bazei sunt perpendiculari și de lungime $1$ ($\vec{i}\perp \vec{j}$, $|\vec{i}|=|\vec{j}|=1$).

Într-o bază oarecare formula (3) este falsă. Exemplu: dacă $\widehat{({\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)}=60°$ și ambii sunt unitari, atunci pentru $\vec{a}={\vec{e}}_1=\{1;0\}$ și $\vec{b}={\vec{e}}_2=\{0;1\}$ formula (3) ar da $0$, deci $\vec{a}\perp \vec{b}$ — fals, unghiul lor este $60°$. Valoarea corectă este $({\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2)=1\cdot 1\cdot \cos 60°=\frac{1}{2}$.

Demonstrație. Dacă măcar unul din vectorii $\vec{a}$ sau $\vec{b}$ este nul, atunci justețea afirmației (3) este evidentă (ambele părți sunt $0$), și e suficient de cercetat doar cazul când $\vec{a}\ne \vec{0}$ și $\vec{b}\ne \vec{0}$. Considerăm două cazuri.

fig. 1 — cele două cazuri ale demonstrației: vectori necoliniari (triunghiul $OAB$) și vectori coliniari

Cazul 1 — vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ nu-s coliniari

Dintr-un punct arbitrar $O$ depunem vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și cercetăm triunghiul $OAB$. Din teorema cosinusului obținem

$${\overrightarrow{AB}}^2={\overrightarrow{OA}}^2+{\overrightarrow{OB}}^2-2|\overrightarrow{OA}|\cdot |\overrightarrow{OB}|\cos \alpha ,$$

unde $\alpha$ este măsura unghiului dintre vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Deoarece $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}$, atunci avem $|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-2(\vec{a},\vec{b})$, sau

$$(\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}-\vec{a}{|}^2\right)\text{\hspace{1em}(4)}$$

Deoarece $\vec{b}-\vec{a}=\{b_1-a_1;b_2-a_2\}$, atunci

$$|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=(b_1-a_1{)}^2+(b_2-a_2{)}^2,{\vec{a}}^2=a_1^2+a_2^2,{\vec{b}}^2=b_1^2+b_2^2.$$

Înlocuim ultimele egalități în (4) și obținem:

$$(\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}\left(a_1^2+a_2^2+b_1^2+b_2^2-b_1^2+2a_1{b}_1-a_1^2-b_2^2+2a_2{b}_2-a_2^2\right)=a_1{b}_1+a_2{b}_2.$$

Cazul 2 — vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari

În baza teoremei despre vectori coliniari, există așa un număr $\lambda$ încât $\vec{a}=\lambda \vec{b}$. Prin urmare,

$$a_1=\lambda b_1\text{și}{a}_2=\lambda b_2\text{\hspace{1em}(5)}$$

Conform definiției produsului scalar,

$$(\vec{a},\vec{b})=(\lambda \vec{b},\vec{b})=|\lambda \vec{b}|\cdot |\vec{b}|\cdot \cos \widehat{(\lambda \vec{b},\vec{b})},$$

adică pentru orice $\lambda$ avem: $(\vec{a},\vec{b})=\lambda |\vec{b}{|}^2$. Deoarece are loc (5) și ${\vec{b}}^2=b_1^2+b_2^2$, obținem

$$(\vec{a},\vec{b})=\lambda (b_1^2+b_2^2)=\lambda b_1\cdot b_1+\lambda b_2\cdot b_2=a_1{b}_1+a_2{b}_2.$$

Teorema 13.5 este demonstrată. $■$

Cum se citește figura — demonstrația teoremei 13.5

Pasul 1 — priviți întâi panoul din stânga (cazul necoliniar). Vectorii $\vec{a}$ (albastru) și $\vec{b}$ (portocaliu) sunt depuși din $O$; unghiul dintre ei este $\alpha$. Cele două săgeți, împreună cu a treia, închid triunghiul $OAB$.

Pasul 2 — identificați a treia latură. Săgeata violet de la $A$ la $B$ este $\vec{b}-\vec{a}$ — construcția diferenței: doi vectori din origine comună, iar segmentul care unește vârfurile, orientat spre descăzut.

Pasul 3 — de ce triunghiul e legitim. Aici se folosește ipoteza „necoliniari”: dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ ar fi coliniari, punctele $O$, $A$, $B$ ar fi pe o dreaptă și nu ar exista niciun triunghi. De aceea cazul 2 trebuie tratat separat.

Pasul 4 — aplicați teorema cosinusului. Laturile $OA=|\vec{a}|$, $OB=|\vec{b}|$, $AB=|\vec{b}-\vec{a}|$, cu unghiul $\alpha$ între primele două. Rezultă relația scrisă sub figură — și, izolând $\cos \alpha$, formula (4).

Pasul 5 — treceți la coordonate. Toate cele trei module se calculează prin (11) din §11. Substituind și simplificând (pătratele lui $a_1,a_2,b_1,b_2$ se reduc două câte două), rămâne exact $a_1{b}_1+a_2{b}_2$.

Pasul 6 — panoul din dreapta (cazul coliniar). Vectorii sunt pe aceeași dreaptă (linia punctată), deci $\vec{a}=\lambda \vec{b}$. Nu mai e nevoie de triunghi: produsul scalar se calculează direct din definiție, iar coordonatele lui $\vec{a}$ se obțin înmulțind cu $\lambda$ pe cele ale lui $\vec{b}$.

Pe ce se bazează: teorema cosinusului din geometria elementară, formula (11), și criteriul de coliniaritate.

Ce să verificați singuri pe figură: în panoul stâng, verificați că săgețile portocalie și violet, puse cap la cap, dau săgeata albastră citită invers — adică $\vec{a}+(\vec{b}-\vec{a})=\vec{b}$.

Formula (4) merită reținută separat

$$(\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}\left(|\vec{a}{|}^2+|\vec{b}{|}^2-|\vec{b}-\vec{a}{|}^2\right)$$

Ea exprimă produsul scalar numai prin lungimi — niciun unghi, nicio coordonată. Spune un lucru remarcabil: dacă știi să măsori distanțe, produsul scalar este deja determinat. Unghiurile nu sunt o informație independentă de distanțe.

Exemplu de verificare. $\vec{a}=\{3;0\}$, $\vec{b}=\{0;4\}$: $|\vec{a}{|}^2=9$, $|\vec{b}{|}^2=16$, $\vec{b}-\vec{a}=\{-3;4\}$ deci $|\vec{b}-\vec{a}{|}^2=25$. Atunci $(\vec{a},\vec{b})=\frac{1}{2}(9+16-25)=0$ ✓ — și într-adevăr vectorii sunt perpendiculari.

3. Consecințele

Consecința 13.6 — perpendicularitatea în coordonate

Într-o bază ortonormată vectorii $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$ și $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$ sunt reciproc perpendiculari atunci și numai atunci, când

$$a_1{b}_1+a_2{b}_2=0\text{\hspace{1em}(6)}$$

fig. 2 — $\vec{a}=\{4;2\}$ și $\vec{b}=\{-2;4\}$: suma produselor coordonatelor este $0$, iar unghiul chiar este drept

Cum se citește figura — criteriul (6)

Pasul 1 — citiți coordonatele de pe rețea. $\vec{a}$ merge $4$ la dreapta și $2$ în sus: $\{4;2\}$. $\vec{b}$ merge $2$ la stânga și $4$ în sus: $\{-2;4\}$.

Pasul 2 — faceți calculul. $a_1{b}_1+a_2{b}_2=4\cdot (-2)+2\cdot 4=-8+8=0$.

Pasul 3 — verificați pe desen. Unghiul drept marcat în $O$ confirmă concluzia. Calculul aritmetic și desenul spun același lucru.

Pasul 4 — observați tiparul. Din $\{4;2\}$ se obține un vector perpendicular schimbând coordonatele între ele și schimbând semnul uneia: $\{-2;4\}$. Regula generală: $\{x;y\}\perp \{-y;x\}$, oricare ar fi $x,y$. Verificare: $x(-y)+yx=0$ ✓

Pasul 5 — trageți concluzia practică. Ca să verificați perpendicularitatea nu mai aveți nevoie nici de raportor, nici de cosinus: patru înmulțiri și o adunare.

Pe ce se bazează: teorema 13.5 (formula 3) combinată cu criteriul $(\vec{a},\vec{b})=0⟺\vec{a}\perp \vec{b}$ din lecția precedentă.

Ce să verificați singuri pe figură: desenați $\vec{c}=\{-4;-2\}$ (opusul lui $\vec{a}$). Calculați $(\vec{c},\vec{b})$ — tot $0$. Perpendicularitatea nu se strică la schimbarea sensului.

Consecința 13.7 — cosinusul unghiului în coordonate

Cosinusul unghiului dintre doi vectori nenuli $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$ și $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$ într-o bază ortonormată se calculează după formula

$$\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{\sqrt{a_1^2+a_2^2}\cdot \sqrt{b_1^2+b_2^2}}\text{\hspace{1em}(7)}$$

Demonstrație. Din formula (1) avem $\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{(\vec{a},\vec{b})}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$. Introducem în formula dată valorile lui $(\vec{a},\vec{b})$, $|\vec{a}|$ și $|\vec{b}|$ — date de (3) și respectiv (11). Vom obține formula (7). $■$

Bilanțul paragrafului

Întrebare geometrică	Răspuns prin coordonate
Cât de lung este $\vec{a}$?	$|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$
Cât de departe sunt $A$ și $B$?	$\rho (A,B)=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$
Sunt $\vec{a}$ și $\vec{b}$ perpendiculari?	$a_1{b}_1+a_2{b}_2=0$?
Ce unghi formează $\vec{a}$ și $\vec{b}$?	formula (7)
Sunt $\vec{a}$ și $\vec{b}$ coliniari?	$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$? (din §10)

Toată geometria metrică a planului, în cinci rânduri de aritmetică.

Formula (7) cere vectori nenuli

Dacă $\vec{a}=\vec{0}$, numitorul se anulează. Firesc: unghiul dintre $\vec{0}$ și $\vec{b}$ a fost convenit egal cu $\pi /2$, nu calculat — deci nu se poate obține dintr-o formulă.

Întrebări de control

1. De ce demonstrația teoremei 13.5 tratează separat cazul vectorilor coliniari? Ce anume cade în cazul 1?
2. Verificați formula (4) pentru $\vec{a}=\{1;2\}$ și $\vec{b}=\{3;1\}$, calculând ambii membri.
3. Găsiți toți vectorii perpendiculari pe $\vec{a}=\{3;-5\}$. Câți sunt?
4. Arătați, pornind de la (7), că $|(\vec{a},\vec{b})|\le |\vec{a}|\cdot |\vec{b}|$ pentru orice vectori. Când are loc egalitatea?
5. De ce ipoteza „bază ortonormată” apare în enunțul teoremei 13.5, dar nu apare în teorema 13.3?

Legături

• Anterior: Produsul scalar — definiție și interpretare
• Continuare: Ce nu se transferă de la numere. Aplicații
• Se sprijină pe: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector, Raportul a doi vectori coliniari, Operații cu vectori în coordonate
• Concepte: Produs scalar, Bază ortonormată, Vectori perpendiculari