Coordonatele punctului. Raza vectoare

Fie acum $M\in P$ un punct arbitrar din planul de coordonate. Se mai spune că $M$ este dat în raport cu $R$, sau în raport cu sistemul afin de coordonate $(xOy)$.

1. Raza vectoare

Definiția 10.6

Vectorul $\overrightarrow{OM}$ se numește rază vectoare a punctului $M$.

Fie $\overrightarrow{OM}=\{x;y\}$, adică $\overrightarrow{OM}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2$.

2. Coordonatele punctului

Definiția 10.7

Coordonatele razei vectoare $\overrightarrow{OM}$ se numesc coordonate ale punctului $M$ în raport cu sistemul dat de coordonate. Se notează $M(x;y)$, unde $x$ este abscisa punctului $M$, iar $y$ este ordonata punctului $M$.

Ideea-cheie

Coordonatele unui punct sunt, prin definiție, coordonatele unui vector — cel care pleacă din origine și ajunge în punct. Toată teoria vectorilor din §3–§9 devine astfel aplicabilă punctelor.

fig. 1 — patru puncte, câte unul în fiecare cadran, cu razele lor vectoare; pentru $M$ sunt trasate și paralelele la axe

Cum se citește figura — coordonatele unui punct

Pasul 1 — alegeți un punct, de exemplu $M$, și urmăriți săgeata care vine spre el din origine: aceasta este raza vectoare $\overrightarrow{OM}$.

Pasul 2 — duceți paralele la axe. Liniile punctate din $M$ sunt paralele cu $(Oy)$ (coboară spre $Ox$) și cu $(Ox)$ (merg spre $Oy$).

Pasul 3 — citiți abscisa acolo unde paralela la $(Oy)$ întâlnește $(Ox)$: la 2 unități ${\vec{e}}_1$ în sensul pozitiv ⇒ $x=2$.

Pasul 4 — citiți ordonata acolo unde paralela la $(Ox)$ întâlnește $(Oy)$: la 2 unități ${\vec{e}}_2$ în sensul pozitiv ⇒ $y=2$. Deci $M(2;2)$.

Pasul 5 — comparați cu celelalte puncte. $N$ e la stânga lui $Oy$ ⇒ $x<0$; $P$ e și la stânga, și sub $Ox$ ⇒ ambele negative; $Q$ e la dreapta, dar sub $Ox$ ⇒ $y<0$. Semnele se potrivesc cu cadranele.

Pe ce se bazează: definiția 10.7 (coordonatele punctului = coordonatele razei vectoare) și descompunerea după axe.

Ce să verificați singuri pe figură: duceți paralelele la axe din $P$ — ar trebui să cadă la $-1$ pe $Ox$ și la $-2$ pe $Oy$.

3. Semnele coordonatelor în cadrane

În dependență de cadranul în care se află punctul $M$, coordonatele lui au anumite semne:

cadran	I	II	III	IV
$x$	$+$	$-$	$-$	$+$
$y$	$+$	$+$	$-$	$-$

(vezi și fig. 1 din lecția despre cadrane)

4. Corespondența biunivocă puncte ↔ perechi de numere

Invers, dacă se dă o pereche de numere reale $(x;y)$, atunci ele ne determină, în raport cu sistemul de coordonate dat, un punct unic $M$, astfel încât $x$ este abscisa lui, iar $y$ — ordonata.

Concluzie

Între mulțimea perechilor ordonate $(x;y)$ de numere reale și mulțimea punctelor din plan (planul de coordonate) se stabilește o corespondență biunivocă.

Pas cu pas — de ce corespondența e biunivocă

Trebuie arătate două lucruri: fiecare punct are o singură pereche și fiecare pereche are un singur punct.

Pasul 1 — punct → pereche. Unui punct $M$ îi corespunde un singur vector $\overrightarrow{OM}$ (segmentul orientat $\overline{OM}$ e fixat). Vectorul are coordonate unice în baza $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ (teorema 6.9). Deci $M$ are o singură pereche $(x;y)$.

Pasul 2 — pereche → vector. Perechii $(x;y)$ îi corespunde un singur vector $\vec{v}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2$ (operațiile au rezultat unic).

Pasul 3 — vector → punct. După teorema reprezentantului unic, există un singur punct $M$ cu $\overrightarrow{OM}=\vec{v}$.

Pasul 4 — concluzia. Drumurile punct → pereche și pereche → punct sunt inverse unul altuia. Aceasta este exact o corespondență biunivocă.

Ce rol are originea. Pasul 3 este locul unde intervine punctul $O$ al reperului. Fără origine, o pereche de numere ar determina un vector (liber), dar nu un punct.

5. Coordonatele vectorului determinat de două puncte

Fie $M_1(x_1;y_1)$ și $M_2(x_2;y_2)$ două puncte din plan. Deoarece

$$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\overrightarrow{O{M}_2}-\overrightarrow{O{M}_1},$$

după proprietatea 2⁰ avem:

$$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}\text{\hspace{1em}(5)}$$

În acest fel se determină coordonatele vectorului după coordonatele originii și extremității lui.

fig. 2 — $\overrightarrow{M_1{M}_2}$ închide triunghiul format de cele două raze vectoare

Cum se citește figura — formula (5)

Pasul 1 — cele două raze vectoare. Albastru: $\overrightarrow{O{M}_1}$; portocaliu: $\overrightarrow{O{M}_2}$. Ambele pleacă din origine.

Pasul 2 — vectorul căutat. Violet: $\overrightarrow{M_1{M}_2}$, de la vârful albastru la vârful portocaliu.

Pasul 3 — recunoașteți construcția diferenței. Doi vectori din origine comună, iar săgeata care unește vârfurile, mergând spre descăzut: aceasta e exact construcția diferenței, deci $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\overrightarrow{O{M}_2}-\overrightarrow{O{M}_1}$.

Pasul 4 — treceți la coordonate. Diferența vectorilor se face coordonată cu coordonată: $\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$.

Pe ce se bazează: relația lui Chasles $\overrightarrow{O{M}_1}+\overrightarrow{M_1{M}_2}=\overrightarrow{O{M}_2}$ și proprietatea 2⁰.

Ce să verificați singuri pe figură: parcurgeți drumul $O\to M_1\to M_2$ (albastru, apoi violet). Ajungeți în același loc ca pe drumul direct $O\to M_2$ (portocaliu).

Ordinea în formula (5): „extremitate minus origine"

$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$ — din coordonatele punctului de sosire se scad cele ale punctului de plecare. Scăderea inversă dă vectorul opus $\overrightarrow{M_2{M}_1}$.

Exemplu. $M_1(4;-1)$, $M_2(1;3)$: $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{1-4;3-(-1)\}=\{-3;4\}$, iar $\overrightarrow{M_2{M}_1}=\{3;-4\}$.

Precizare față de manual

Manualul scrie „după (2) avem”. Formula (2) a paragrafului este cea a proiecțiilor algebrice; trimiterea corectă este la proprietatea 2⁰ (diferența vectorilor în coordonate).

Punct vs. vector — notația

Obiect	Notare	Exemplu
punct	paranteze rotunde	$M(2;3)$
vector	acolade	$\vec{a}=\{2;3\}$

Punctul $M(2;3)$ și vectorul $\{2;3\}$ au aceleași numere, dar sunt obiecte diferite: vectorul $\{2;3\}$ poate fi desenat oriunde, punctul $M$ — doar într-un singur loc. Ele coincid numai prin intermediul razei vectoare: $\overrightarrow{OM}=\{2;3\}$.

Întrebări de control

1. Ce coordonate are originea $O$? Ce rază vectoare are?
2. Punctul $M(x;y)$ se află pe axa $(Oy)$. Ce puteți spune despre $x$?
3. Calculați $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BA}$ pentru $A(-2;5)$, $B(3;-1)$.
4. Arătați că $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$ dacă și numai dacă $x_B-x_A=x_D-x_C$ și $y_B-y_A=y_D-y_C$.
5. De ce, fără originea $O$, o pereche de numere nu determină un punct?

Legături

• Anterior: Operații cu vectori în coordonate
• Continuare: Împărțirea segmentului în raportul dat
• Concepte: Rază vectoare, Sistem afin de coordonate