Vectori coplanari

1. Vector paralel cu un plan

Definiție

Vom spune că vectorul $\vec{a}$ este paralel la planul $\alpha$, dacă vectorul $\vec{a}$ este paralel la o dreaptă situată în planul $\alpha$.

Consecință

Dacă vectorul $\vec{a}$ este paralel la planul $\alpha$, atunci el este paralel la orice plan paralel cu planul $\alpha$.

2. Definiția coplanarității

Definiție

Vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ se numesc coplanari, dacă există un plan $\alpha$ astfel încât acești vectori să fie paraleli la planul $\alpha$.

Nu „în același plan", ci „paraleli cu același plan"

Vectorii fiind liberi, nu au o poziție fixă în spațiu. Definiția cere doar existența unei direcții de plan comune. Abia după ce îi depunem din același punct, ei ajung efectiv într-un plan (vezi §4 mai jos).

3. Cazul degenerat: vectorul nul

Observație

Dacă măcar unul din vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ sau $\vec{c}$ este vector nul, atunci acești trei vectori sunt coplanari.

Justificare. Într-adevăr, fie de exemplu $\vec{c}$ un vector nul. Dintr-un punct oarecare $O$ al spațiului depunem vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și $\overrightarrow{OO}=\vec{c}$. Prin punctele $O$, $A$ și $B$ trece un plan la care vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt paraleli și, prin urmare, vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari. $■$

Unde se ascunde subtilitatea

Dacă $O$, $A$, $B$ sunt coliniare, „un plan prin $O$, $A$, $B$” nu e unic — dar există, și asta ajunge. Definiția cere doar existența unui plan.

fig. T1 — trei vectori dintre care unul nul: $O$, $A$, $B$ necoliniare (stânga) și coliniare (dreapta)

Cum se citește figura — observația despre vectorul nul

Pasul 1 — stânga, datele. $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ (albastru) și $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ (portocaliu) din $O$; al treilea vector, $\vec{c}=\overrightarrow{OO}$, este cercul violet gol din $O$.

Pasul 2 — stânga, planul. $O$, $A$, $B$ necoliniare determină un singur plan (gri). $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt în el; $\vec{0}$ nu are direcție, deci e paralel cu orice plan, inclusiv cu acesta.

Pasul 3 — dreapta, cazul subtil. Dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, punctele $O$, $A$, $B$ sunt pe o dreaptă. Prin ea trec o infinitate de plane; figura arată două, ${\pi }_1$ (plin) și ${\pi }_2$ (punctat).

Pasul 4 — concluzia. Definiția coplanarității cere doar un plan paralel cu toți trei — oricare dintre ${\pi }_1$, ${\pi }_2$ convine. În ambele panouri $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{0}$ sunt coplanari.

Pe ce se bazează: definiția coplanarității; convenția că vectorul nul e paralel cu orice dreaptă (vectori coliniari); depunerea din același punct.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) cercul gol nu are săgeată, deci nu poate „ieși” din niciun plan; (2) în dreapta, rotiți în gând un plan în jurul dreptei punctate: $\vec{a}$ și $\vec{b}$ rămân în el la orice unghi.

4. Exemplu: paralelipipedul

fig. 1 (fig. 29 din curs) — paralelipipedul $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$

În figura 29 este reprezentat un paralelipiped:

• vectorii $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$ și $\overrightarrow{D_1{C}_1}$ sunt coplanari — toți trei sunt paraleli cu planul bazei $(ABC)$;
• vectorii $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{A{A}_1}$ și $\overrightarrow{D_1{C}_1}$ nu-s coplanari — $\overrightarrow{A{A}_1}$ „iese” din planul celorlalți doi.

Cum se verifică rapid

Căutați un plan cu care toți trei să fie paraleli. Dacă doi dintre ei determină un plan (fiind necoliniari), verificați dacă al treilea este paralel cu acel plan.

5. De ce se numesc „coplanari”

Fie $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ trei vectori coplanari. Dintr-un punct oarecare $O$ al spațiului depunem vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ și $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$. Deoarece vectorii sunt coplanari, punctele $O$, $A$, $B$ și $C$ aparțin aceluiași plan.

fig. 2 (fig. 30 din curs) — trei vectori coplanari, depuși din același punct

Această proprietate lămurește noțiunea «vectori coplanari».

fig. 3 — trei vectori necoplanari: $\vec{c}$ nu este paralel cu planul lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$

Paralela cu coliniaritatea

Mecanismul e identic cu cel de la vectorii coliniari:

• coliniari — aduși la origine comună, aparțin aceleiași drepte;
• coplanari — aduși la origine comună, aparțin aceluiași plan.

Întrebări de control

1. Doi vectori sunt întotdeauna coplanari? Justificați.
2. Dacă $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari, sunt $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ coplanari pentru orice $\vec{c}$?
3. În paralelipipedul din fig. 1, găsiți încă un triplet coplanar și încă unul necoplanar.
4. De ce trei vectori dintre care unul este $\vec{0}$ sunt întotdeauna coplanari?
5. Pot patru vectori nenuli, doi câte doi necoliniari, să fie coplanari?

Legături

• Anterior: Teoremele fundamentale ale dependenței liniare
• Continuare: Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari
• Concepte: Coplanaritate