Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară

Cele două teoreme de mai jos sunt inima capitolului: ele traduc complet noțiunile geometrice (coliniar, coplanar) în noțiunea algebrică de dependență liniară.

Teorema 6.10 — doi vectori

Teorema 6.10

Sistemul format din doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este liniar dependent atunci și numai atunci, când acești vectori sunt coliniari.

fig. 1 — $\vec{b}=2\vec{a}$ dă combinația netrivială $2\vec{a}+(-1)\vec{b}=\vec{0}$

Demonstrație.

(⇒) Să presupunem că sistemul format din vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este liniar dependent. Atunci, conform teoremei 6.5, măcar unul din vectorii $\vec{a}$ sau $\vec{b}$ se exprimă liniar prin celălalt. Fie, de exemplu, $\vec{b}=\alpha \vec{a}$. Prin urmare, vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari.

(⇐) Invers, fie că vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari.

• Dacă $\vec{a}=\vec{0}$, atunci conform teoremei 6.6 sistemul format din $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este liniar dependent.
• Dacă însă $\vec{a}\ne \vec{0}$, atunci în baza teoremei despre vectori coliniari avem $\vec{b}=\alpha \vec{a}$. Prin urmare $\alpha \vec{a}+(-1)\vec{b}=\vec{0}$, ceea ce înseamnă că sistemul format din $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este liniar dependent (coeficientul lui $\vec{b}$ este $-1\ne 0$). $■$

fig. T1 — teorema 6.10: implicația directă și cele două cazuri ale reciprocei

Cum se citește figura — teorema 6.10

Pasul 1 — panoul de sus (⇒). Dependența dă, prin teorema 6.5, $\vec{b}=\alpha \vec{a}$; portocaliul $\vec{b}=2\vec{a}$ se așază pe aceeași dreaptă punctată cu albastrul $\vec{a}$ — deci sunt coliniari.

Pasul 2 — panoul din mijloc (⇐, $\vec{a}=\vec{0}$). Cercul albastru gol este $\vec{a}=\vec{0}$; $\vec{b}$ poate fi oricum. Combinația $1\cdot \vec{a}+0\cdot \vec{b}$ este un punct, cu coeficientul $1\ne 0$.

Pasul 3 — panoul de jos (⇐, $\vec{a}\ne \vec{0}$). Teorema 5.3 dă $\vec{b}=\alpha \vec{a}$, aici cu $\alpha =2$. Mergem $2\vec{a}$ (albastru) și ne întoarcem cu $(-1)\vec{b}$ (portocaliu): traseul revine în cercul violet, deci suma este $\vec{0}$.

Pasul 4 — de ce două cazuri la (⇐). Teorema 5.3 cere vectori nenuli; pentru $\vec{a}=\vec{0}$ nu putem scrie $\vec{b}$ ca multiplu al lui $\vec{a}$, de aceea panoul din mijloc folosește teorema 6.6.

Pe ce se bazează: teorema 6.5 (pasul 1); teorema 6.6 (pasul 2); teorema 5.3 (pasul 3); definiția 6.2.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) în panoul de jos cele două săgeți au aceeași lungime și sensuri opuse; (2) înlocuiți în gând portocaliul cu o săgeată oblică: traseul nu se mai poate închide decât cu toți coeficienții nuli — vectorii necoliniari sunt independenți.

De ce se tratează separat cazul $\vec{a}=\vec{0}$

Teorema 5.3 cere vectori nenuli. Dacă $\vec{a}=\vec{0}$, nu putem scrie $\vec{b}=\alpha \vec{a}$ pentru $\vec{b}\ne \vec{0}$ — dar dependența rezultă gratuit din teorema 6.6.

Teorema 6.11 — trei vectori

Teorema 6.11

Sistemul format din trei vectori $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ este liniar dependent atunci și numai atunci, când acești vectori sunt coplanari.

Demonstrație.

(⇒) Fie că sistemul format din vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ este liniar dependent, adică

$$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0},\text{unde }{\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2>0.$$

Să demonstrăm că vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari.

Cazul degenerat. Observăm că dacă măcar unul din numerele $\alpha$, $\beta$ sau $\gamma$ este egal cu zero, atunci afirmația este evidentă. Într-adevăr, fie de exemplu $\gamma =0$; atunci $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=\vec{0}$ și, conform teoremei 6.10, vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari — prin urmare vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari.

Cazul general. Să cercetăm cazul când $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$ și $\gamma \ne 0$. Depunem dintr-un punct oarecare $O$ vectorul $\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}$, iar din punctul $A$ depunem vectorul $\overrightarrow{AB}=\beta \vec{b}$. Deoarece $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}$, obținem

$$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=\overrightarrow{OB}.$$

Însă $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=-\gamma \vec{c}$ și, prin urmare, $\overrightarrow{OB}=-\gamma \vec{c}$.

Prin punctele $O$, $A$ și $B$ trece un plan $\pi$. Deoarece $\alpha \ne 0$, $\beta \ne 0$ și $\gamma \ne 0$, din egalitățile $\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}$, $\overrightarrow{AB}=\beta \vec{b}$ și $\overrightarrow{OB}=-\gamma \vec{c}$ urmează că vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt paraleli planului $\pi$ și, prin urmare, acești vectori sunt coplanari.

(⇐) Invers, fie că vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari.

• Dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, atunci conform teoremei 6.10 vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt liniar dependenți și, în baza teoremei 6.7, sistemul format din $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ este liniar dependent.
• Dacă însă vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ nu-s coliniari, atunci în baza teoremei despre vectorii coplanari (6.9) avem $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ și, conform teoremei 6.5, sistemul este liniar dependent. $■$

fig. T2 — teorema 6.11: cazul general al implicației directe și cele două cazuri ale reciprocei

Cum se citește figura — teorema 6.11

Pasul 1 — sus, traseul. Din $O$: $\alpha \vec{a}$ (albastru) până în $A$, apoi $\beta \vec{b}$ (portocaliu) până în $B$. Verdele $\overrightarrow{OB}$ închide triunghiul; din ipoteză el este $-\gamma \vec{c}$.

Pasul 2 — planul $\pi$. Punctele $O$, $A$, $B$ determină planul gri $\pi$, iar toate trei laturile sunt în el.

Pasul 3 — de la laturi la vectori. Fiecare latură este un multiplu nenul al unui vector din sistem, deci are direcția lui: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ sunt paraleli cu $\pi$, adică coplanari.

Pasul 4 — jos stânga (⇐, $\vec{a}\parallel \vec{b}$). Albastrul și portocaliul sunt pe aceeași dreaptă: $\{\vec{a},\vec{b}\}$ este dependent (T. 6.10), iar adăugarea verdelui $\vec{c}$ nu strică dependența (T. 6.7).

Pasul 5 — jos dreapta (⇐, $\vec{a}\nparallel \vec{b}$). Verdele $\vec{c}$ se descompune pe drumul punctat $2\vec{a}$, apoi $2\vec{b}$ (T. 6.9); un vector fiind combinație a celorlalți, sistemul este dependent (T. 6.5).

Pe ce se bazează: regula triunghiului (pasul 1); definiția coplanarității (pașii 2–3); definiția 5.1 — înmulțirea cu un număr nenul păstrează direcția (pasul 3); teoremele 6.10, 6.7, 6.9 și 6.5 (pașii 4–5).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) sus, traseul $O\to A\to B\to O$ se închide: $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0}$, pentru că $\overrightarrow{BO}=\gamma \vec{c}$; (2) dacă $\alpha$ ar fi $0$, $A$ ar coincide cu $O$ și latura albastră ar dispărea — n-am mai afla nimic despre direcția lui $\vec{a}$ (avertismentul de mai jos).

Detaliu fin în cazul general

Faptul că $\alpha \ne 0$ este necesar pentru a trece de la „$\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}$ este în planul $\pi$” la „$\vec{a}$ este paralel cu $\pi$”. Dacă $\alpha$ ar fi $0$, atunci $\overrightarrow{OA}=\vec{0}$ nu ar spune nimic despre direcția lui $\vec{a}$.

Pas cu pas — cazul general al teoremei 6.11

Datele: $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}=\vec{0}$, cu toți coeficienții nenuli. Ținta: cei trei vectori sunt paraleli cu un același plan.

Pasul 1 — de ce nu desenăm direct $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$. Pentru că relația pe care o avem îi conține înmulțiți cu coeficienți. Desenăm deci vectorii care apar efectiv în relație.

Pasul 2 — construim traseul. Din $O$ punem $\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}$; din $A$ punem $\overrightarrow{AB}=\beta \vec{b}$. Prin regula triunghiului: $\overrightarrow{OB}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$.

Pasul 3 — folosim ipoteza. Din relația dată, $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=-\gamma \vec{c}$. Deci $\overrightarrow{OB}=-\gamma \vec{c}$. Al treilea vector a apărut singur în desen — nu l-am construit, l-a adus relația.

Pasul 4 — luăm planul. Prin trei puncte $O$, $A$, $B$ trece un plan $\pi$. Toate cele trei segmente $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{OB}$ sunt în $\pi$, deci paralele cu $\pi$.

Pasul 5 — coborâm coeficienții. $\overrightarrow{OA}=\alpha \vec{a}\parallel \pi$ și $\alpha \ne 0$ ⇒ $\vec{a}\parallel \pi$ (înmulțirea cu un număr nenul nu schimbă direcția). La fel pentru $\vec{b}$ din $\beta \ne 0$ și pentru $\vec{c}$ din $\gamma \ne 0$.

Pasul 6 — concluzia. Toți trei sunt paraleli cu $\pi$, deci coplanari. $■$

Ideea de reținut. O relație algebrică între vectori a fost transformată într-o figură: fiecare termen a devenit o latură a unui traseu închis. Acesta e mecanismul care se repetă în tot capitolul.

Tabloul complet

Număr de vectori	Liniar dependent ⟺	Liniar independent ⟺
1	$\vec{a}=\vec{0}$	$\vec{a}\ne \vec{0}$
2	coliniari	necoliniari
3	coplanari	necoplanari
4 sau mai mulți	întotdeauna	imposibil

Completare — de ce patru vectori sunt mereu dependenți

În spațiul cu trei dimensiuni, orice vector se descompune după trei vectori necoplanari (analogul spațial al teoremei 6.9). Al patrulea vector este atunci o combinație liniară a celorlalți trei, deci sistemul e dependent după teorema 6.5. Aceasta înseamnă că dimensiunea spațiului vectorilor liberi este 3 — vezi Spațiul vectorial al vectorilor liberi. Rezultatul nu figurează încă în notițele de curs.

graph TD
  T53["T. 5.3<br/>a ∥ b ⟺ a = λb"] --> T610["T. 6.10<br/>2 vectori dependenți<br/>⟺ coliniari"]
  T65["T. 6.5<br/>un vector = combinație<br/>a celorlalți"] --> T610
  T65 --> T611["T. 6.11<br/>3 vectori dependenți<br/>⟺ coplanari"]
  T610 --> T611
  T67["T. 6.7<br/>subsistem dependent<br/>⇒ tot sistemul"] --> T611
  T69["T. 6.9<br/>c = αa + βb, unic"] --> T611
  T53 --> T69

Întrebări de control

1. Sunt vectorii $\vec{a}$, $\vec{0}$, $\vec{b}$ liniar dependenți? Sunt ei coplanari?
2. Trei vectori necoplanari pot conține doi vectori coliniari?
3. Folosind teorema 6.11, arătați că patru puncte $A$, $B$, $C$, $D$ sunt coplanare dacă și numai dacă $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AD}$ sunt liniar dependenți.
4. De ce implicația „coplanari ⇒ dependenți” necesită două cazuri?
5. Formulați analogul teoremei 6.10 și 6.11 pentru un singur vector.

Legături

• Anterior: Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari
• Continuare: Spațiul vectorial al vectorilor liberi
• Concepte: Vectori coliniari, Coplanaritate, Dependență liniară