Reperul afin în plan. Tipuri de repere

1. Reperul afin

De obicei vectorii de bază se notează prin ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$. Fie vectorii de bază ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ aduși la originea comună $O$.

Definiția 9.2

Ansamblul $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ se numește reper afin în plan.

Coordonatele unui vector $\vec{a}$ în baza $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ se notează prin $x$ și $y$ și se scrie $\vec{a}=\{x;y\}$, ceea ce înseamnă că

$$\vec{a}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2\text{\hspace{1em}(1)}$$

Bază vs. reper — ce aduce punctul $O$

	Bază $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$	Reper $\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$
Conține	doi vectori	un punct + doi vectori
Dă coordonate pentru	vectori	vectori și puncte

O bază e suficientă pentru vectori, pentru că vectorii sunt liberi. Punctele însă au poziție: ca să-i dăm unui punct o „adresă”, avem nevoie de un punct de referință. Acesta este rolul originii $O$ — folosit efectiv în §10.

2. Tipuri de repere

Reperul $R$ de mai sus se consideră cel mai general. În el vectorii ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ au, ca regulă, module diferite, iar măsura unghiului dintre ei este arbitrară. Prin condiții suplimentare se obțin repere particulare:

fig. 1 — cele patru tipuri de repere; liniuțele transversale marchează vectori de lungimi egale, pătratul — unghi drept

Cum se citește figura — cele patru repere

Pasul 1 — două semne convenționale. O liniuță transversală pe un vector înseamnă „acest vector are aceeași lungime ca vectorul marcat la fel”. Un pătrățel în colțul dintre vectori înseamnă „unghi drept”.

Pasul 2 — stânga-sus (afin). Niciun semn: lungimi diferite, unghi oarecare. E cazul general.

Pasul 3 — dreapta-sus (cartezian). Liniuțe pe ambii vectori, fără pătrățel: lungimi egale, unghi oarecare.

Pasul 4 — stânga-jos (rectangular). Pătrățel, fără liniuțe: unghi drept, lungimi diferite.

Pasul 5 — dreapta-jos (rectangular cartezian). Și liniuțe, și pătrățel — plus lungimea comună egală cu $1$; de aceea vectorii poartă nume speciale, $\vec{i}$ și $\vec{j}$.

Pe ce se bazează: definițiile din manual (secțiunea 2). Panourile sunt ordonate astfel încât fiecare condiție adăugată să se vadă ca un semn nou pe desen.

Ce să verificați singuri pe figură: acoperiți cu mâna panoul dreapta-jos. Puteți descrie ce semne ar trebui să apară pe el doar din cele trei panouri rămase?

Reper	Condiție asupra lungimilor	Condiție asupra unghiului	Notare
afin	oarecare	oarecare	$\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$
cartezian	$|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|$	oarecare	$\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$
rectangular	oarecare	${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$	$\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$
rectangular cartezian	$|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|=1$	${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$	$\{O,\vec{i},\vec{j}\}$

Definiții (manual)

• Dacă $|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|$, reperul $R$ se numește cartezian.
• Dacă ${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$, reperul $R$ se numește rectangular.
• Dacă $|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|=1$ și ${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$, reperul $R$ se numește rectangular cartezian. Vectorii unitari ai acestui reper se notează $\vec{i}$ și $\vec{j}$, iar reperul însuși — $R=\{O,\vec{i},\vec{j}\}$.

Terminologia diferă de la o carte la alta

Denumirile de mai sus sunt cele din acest curs. În alte manuale:

• „reper cartezian” înseamnă uneori orice reper afin, alteori un reper ortonormat;
• „rectangular cartezian” se numește adesea ortonormat (sau „ortonormal”).

La examen și în probleme folosiți definițiile de aici; când citiți alte surse, verificați întâi definiția.

Pas cu pas — cum se includ tipurile unul în altul

Pasul 1 — afin e cel mai general. Orice reper (de oricare tip) este în primul rând afin: e format dintr-un punct și doi vectori necoliniari.

Pasul 2 — condițiile se adună. „Cartezian” adaugă o condiție de lungime, „rectangular” adaugă o condiție de unghi. Un reper rectangular cartezian le îndeplinește pe amândouă, plus lungimea $1$.

Pasul 3 — schema incluziunilor.

$$\text{rectangular cartezian}\subset \text{cartezian}\cap \text{rectangular}\subset \text{afin}$$

Pasul 4 — incluziunea din stânga e strictă. Luați $|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|=2$ și ${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$. Reperul este și cartezian (lungimi egale), și rectangular (unghi drept), dar nu este rectangular cartezian, pentru că lungimile nu sunt $1$.

Pasul 5 — de ce contează. Formulele pentru lungimi și unghiuri (distanța dintre două puncte etc.) sunt simple doar în reperul rectangular cartezian. Formulele afine — sumă, înmulțire cu un număr, coliniaritate, mijlocul unui segment — funcționează în orice reper. De aceea §10 lucrează intenționat în reperul general.

Întrebări de control

1. De ce un reper conține un punct, iar o bază — nu?
2. Un reper cu $|{\vec{e}}_1|=3$, $|{\vec{e}}_2|=3$ și unghiul dintre ei de $60^{\circ }$ — ce tip este?
3. Poate un reper să fie rectangular cartezian fără să fie cartezian? Justificați.
4. Ce coordonate au ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ în reperul $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$?
5. De ce este util să lucrăm în reperul afin general, deși în practică se folosește cel rectangular cartezian?

Legături

• Anterior: Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului
• Continuare: Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane (§10)
• Concepte: Reper afin, Bază