Coordonatele vectorului prin unghiul orientat

Despre ce este lecția

În §11, formula $x=|\vec{a}|\cos \phi$, $y=|\vec{a}|\sin \phi$ a fost scoasă dintr-un triunghi dreptunghic desenat — deci, strict vorbind, numai pentru un vector din primul cadran. Teorema 14.1 o face valabilă pentru orice vector, fiindcă $\phi$ are acum semn și se poate întinde pe tot cercul.

Apoi, din ea, exemplul 14.3 scoate rezultatul central al paragrafului: sinusul unghiului orientat în coordonate. Cosinusul îl știam din §13; sinusul e nou și este cel care poartă semnul.

1. Teorema 14.1

Teorema 14.1

Într-o bază ortonormată $\{\vec{i},\vec{j}\}$ coordonatele $\{a_1;a_2\}$ ale oricărui vector nenul $\vec{a}$ se calculează după formulele:

$$a_1=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})},a_2=|\vec{a}|\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}\text{\hspace{1em}(3)}$$

O ipoteză lipsește din enunț

Demonstrația folosește $\widehat{(\vec{j},\vec{i})}=-\frac{\pi }{2}$, adică $\vec{j}$ se obține din $\vec{i}$ prin rotație cu $90°$ contrar acelor. Enunțul cere doar „bază ortonormată”, care ar permite și $\vec{j}$ la $90°$ în sensul acelor.

Într-o asemenea bază formula pentru $a_2$ își schimbă semnul: $a_2=-|\vec{a}|\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Exemplu: $\vec{i}=\{1;0\}$ spre dreapta, $\vec{j}$ în jos, $\vec{a}=\vec{j}$. Atunci $a_2=1$, dar $\widehat{(\vec{i},\vec{a})}=-90°$ și $|\vec{a}|\sin (-90°)=-1$.

Enunțul corect: într-o bază ortonormată dreaptă (în sensul §14: $\vec{i}\to \vec{j}$ contrar acelor). Același lucru e cerut explicit în §15 („sistemul vechi are orientare dreaptă”).

fig. 1 — aceeași formulă în două cadrane: semnul lui $a_2$ vine singur, din semnul lui $\sin \phi$

Cum se citește figura — teorema 14.1

Pasul 1 — panoul stâng, vector în cadranul I. Unghiul orientat $\phi =\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$ e pozitiv (arcul verde merge contrar acelor). Proiecțiile pe axe dau $a_1=|\vec{a}|\cos \phi >0$ și $a_2=|\vec{a}|\sin \phi >0$ — exact ca în §11.

Pasul 2 — panoul drept, vector în cadranul IV. Acum drumul scurt de la $\vec{i}$ la $\vec{a}$ e în sensul acelor, deci $\phi <0$.

Pasul 3 — urmăriți semnele. $\cos \phi >0$ (cosinusul e par) ⇒ $a_1>0$; $\sin \phi <0$ (sinusul e impar) ⇒ $a_2<0$. Proiecția verticală (linia punctată) cade într-adevăr sub axa $Ox$.

Pasul 4 — trageți concluzia. Nu e nevoie de reguli separate pe cadrane. Unghiul orientat „știe” singur în ce cadran e vectorul, iar $\sin$ și $\cos$ dau semnele corecte.

Pe ce se bazează: teorema 14.1 și formula (10) din §11, pe care o extinde.

Ce să verificați singuri pe figură: imaginați-vă $\vec{a}$ în cadranul II, cu $\phi =150°$. Ce semne au $a_1$ și $a_2$? (Răspuns: $\cos 150°<0$, $\sin 150°>0$ ⇒ $a_1<0$, $a_2>0$ — exact semnele cadranului II.)

Demonstrație. Conform definiției coordonatelor vectorului,

$$\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}.$$

Înmulțim scalar această egalitate cu $\vec{i}$ și obținem

$$(\vec{i},\vec{a})=a_1{\vec{i}}^2+a_2(\vec{i},\vec{j})\text{sau}{a}_1=|\vec{i}|\cdot |\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}.$$

Dacă înmulțim egalitatea $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}$ cu $\vec{j}$, atunci analogic obținem $a_2=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{j},\vec{a})}$. Luând în considerație formulele (2), obținem

$$\cos \widehat{(\vec{j},\vec{a})}=\cos (\widehat{(\vec{j},\vec{i})}+\widehat{(\vec{i},\vec{a})})=\cos (\widehat{(\vec{i},\vec{a})}-\frac{\pi }{2})=\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}.$$

Atunci $a_2=|\vec{a}|\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Teorema 14.1 este demonstrată. $■$

fig. 2 — pasul-cheie al demonstrației: unghiul de la $\vec{j}$ la $\vec{a}$ este cu $90°$ mai mic decât unghiul de la $\vec{i}$ la $\vec{a}$

Pas cu pas — demonstrația teoremei 14.1

Pasul 1 — scrieți descompunerea. $\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}$. Problema: cum „scoatem” $a_1$ din această egalitate fără să-l scoatem și pe $a_2$?

Pasul 2 — înmulțiți scalar cu $\vec{i}$. Datorită distributivității:

$$(\vec{i},\vec{a})=a_1(\vec{i},\vec{i})+a_2(\vec{i},\vec{j}).$$

Pasul 3 — folosiți ortonormalitatea. $(\vec{i},\vec{i})=1$ (vector unitar) și $(\vec{i},\vec{j})=0$ (perpendiculari). Termenul cu $a_2$ dispare: $(\vec{i},\vec{a})=a_1$. Acesta e rostul produsului scalar aici — „filtrează” o singură coordonată.

Pasul 4 — aplicați definiția produsului scalar. $(\vec{i},\vec{a})=|\vec{i}||\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Cosinusul e par, deci nu contează că unghiul e acum orientat — îl putem folosi în locul celui neorientat.

Pasul 5 — analog, cu $\vec{j}$: $a_2=|\vec{a}|\cos \widehat{(\vec{j},\vec{a})}$. Formula e corectă, dar vrem ceva cu $\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$, nu cu $\widehat{(\vec{j},\vec{a})}$.

Pasul 6 — legați cele două unghiuri prin (2). Mergeți de la $\vec{j}$ la $\vec{a}$ prin $\vec{i}$: $\widehat{(\vec{j},\vec{i})}+\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Primul unghi este $-90°$ (de la $\vec{j}$ înapoi la $\vec{i}$ e în sensul acelor). Deci $\cos \widehat{(\vec{j},\vec{a})}=\cos (\phi -90°)$.

Pasul 7 — formula de reducere. $\cos (\phi -90°)=\sin \phi$. Rezultă $a_2=|\vec{a}|\sin \phi$.

Unde s-au folosit ipotezele. Ortonormalitatea — la pasul 3 (fără ea, $a_2$ nu dispare și $|\vec{i}|\ne 1$). Orientarea dreaptă — la pasul 6: dacă $\vec{j}$ ar fi la $90°$ în sensul acelor, $\widehat{(\vec{j},\vec{i})}$ ar fi $+90°$ și am obține $\cos (\phi +90°)=-\sin \phi$.

Consecința 14.2

Într-o bază ortonormată $\{\vec{i},\vec{j}\}$ vectorul unitar ${\vec{a}}_0$ are coordonatele

$${\vec{a}}_0=\{\cos \widehat{(\vec{i},{\vec{a}}_0)};\sin \widehat{(\vec{i},{\vec{a}}_0)}\}.$$

(Teorema 14.1 cu $|{\vec{a}}_0|=1$. Aceeași condiție de orientare dreaptă.)

Legătura cu §11 și §12

Formula (3) e formula (10) din §11, acum cu un unghi care acoperă tot cercul. Este și formula de trecere din coordonate polare, $x=r\cos \phi$, $y=r\sin \phi$, din §12: raza polară e $|\vec{a}|$, unghiul polar e $\widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. Trei paragrafe, aceeași idee, de fiecare dată cu ipoteze mai generale.

2. Exemplul 14.3 — unghiul orientat în coordonate

Enunț

Într-o bază ortonormată sunt dați vectorii $\vec{a}=\{a_1;a_2\}$ și $\vec{b}=\{b_1;b_2\}$. Determinați măsura unghiului orientat dintre acești vectori.

Rezolvare. Pentru a afla măsura unghiului orientat dintre $\vec{a}$ și $\vec{b}$ este suficient să cunoaștem $\cos \widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ și $\sin \widehat{(\vec{a},\vec{b})}$. Fie $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\phi$, $\widehat{(\vec{i},\vec{a})}={\phi }_1$ și $\widehat{(\vec{i},\vec{b})}={\phi }_2$. Cu ajutorul formulelor (2) obținem:

$$\cos \phi =\cos (\widehat{(\vec{a},\vec{i})}+\widehat{(\vec{i},\vec{b})})=\cos (\widehat{(\vec{i},\vec{b})}-\widehat{(\vec{i},\vec{a})})=\cos ({\phi }_2-{\phi }_1),$$ $$\sin \phi =\sin (\widehat{(\vec{a},\vec{i})}+\widehat{(\vec{i},\vec{b})})=\sin (\widehat{(\vec{i},\vec{b})}-\widehat{(\vec{i},\vec{a})})=\sin ({\phi }_2-{\phi }_1).$$

Așadar,

$$\{\begin{array}{l}\cos \phi =\cos {\phi }_1\cos {\phi }_2+\sin {\phi }_2\sin {\phi }_1,\\ \sin \phi =\cos {\phi }_1\sin {\phi }_2-\sin {\phi }_1\cos {\phi }_2.\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

Din teorema 14.1 avem $a_1=|\vec{a}|\cos {\phi }_1$, $a_2=|\vec{a}|\sin {\phi }_1$, $b_1=|\vec{b}|\cos {\phi }_2$ și $b_2=|\vec{b}|\sin {\phi }_2$. Introducem expresiile pentru $\cos {\phi }_1$, $\sin {\phi }_1$, $\cos {\phi }_2$ și $\sin {\phi }_2$ din ultimele egalități în (4) și obținem:

$$\cos \phi =\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\text{și}\sin \phi =\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\text{\hspace{1em}(5)}$$

Dacă $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}\ne \pm \frac{\pi }{2}$, atunci din (5) obținem:

$$\mathrm{tg}\widehat{(\vec{a},\vec{b})}=\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{a_1{b}_1+a_2{b}_2}\text{\hspace{1em}(6)}$$

fig. 3 — unghiul orientat de la $\vec{a}$ la $\vec{b}$ este diferența unghiurilor pe care fiecare le face cu $\vec{i}$

Cum se citește figura — formulele (4)–(5)

Pasul 1 — cele două unghiuri „de referință”. Arcul albastru: ${\phi }_1$, de la $\vec{i}$ la $\vec{a}$. Arcul portocaliu: ${\phi }_2$, de la $\vec{i}$ la $\vec{b}$. Fiecare vector e descris de unghiul lui cu axa — ca în coordonate polare.

Pasul 2 — unghiul căutat. Arcul violet merge de la $\vec{a}$ la $\vec{b}$. Se vede direct pe figură că este „ce rămâne” din ${\phi }_2$ după ce scazi ${\phi }_1$: $\phi ={\phi }_2-{\phi }_1$.

Pasul 3 — aplicați formulele de scădere a unghiurilor. $\cos ({\phi }_2-{\phi }_1)$ și $\sin ({\phi }_2-{\phi }_1)$ din trigonometria de liceu dau exact sistemul (4).

Pasul 4 — înlocuiți unghiurile prin coordonate. Din (3), $\cos {\phi }_1=a_1/|\vec{a}|$, $\sin {\phi }_1=a_2/|\vec{a}|$ și la fel pentru $\vec{b}$. Fiecare produs din (4) primește numitorul $|\vec{a}||\vec{b}|$ — de aici (5).

Pe ce se bazează: formula (2) (pentru $\phi ={\phi }_2-{\phi }_1$), teorema 14.1 și formulele trigonometrice pentru diferența a două unghiuri.

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați rolurile lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Arcul violet se inversează, $\phi$ devine ${\phi }_1-{\phi }_2$, iar în (5) numărătorul sinusului își schimbă semnul — exact formula (1).

Pas cu pas — un calcul complet

Fie $\vec{a}=\{2;1\}$ și $\vec{b}=\{1;3\}$.

Pasul 1 — modulele. $|\vec{a}|=\sqrt{5}$, $|\vec{b}|=\sqrt{10}$, produsul lor $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$.

Pasul 2 — numărătorul cosinusului (produsul scalar): $a_1{b}_1+a_2{b}_2=2+3=5$. Deci $\cos \phi =\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pasul 3 — numărătorul sinusului (determinantul): $a_1{b}_2-a_2{b}_1=2\cdot 3-1\cdot 1=5$. Deci $\sin \phi =\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Pasul 4 — citiți unghiul. Cosinus pozitiv și sinus pozitiv ⇒ cadranul I ⇒ $\phi =45°$. Vectorul $\vec{b}$ se obține din $\vec{a}$ prin rotație cu $45°$ contrar acelor.

Pasul 5 — verificați antisimetria. Pentru $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}$: numărătorul sinusului devine $b_1{a}_2-b_2{a}_1=1-6=-5$, cosinusul rămâne $5$. Deci $\widehat{(\vec{b},\vec{a})}=-45°$. ✓

Ce ar fi dat §13: doar $\cos =\sqrt{2}/2$, deci „$45°$” fără semn — n-am fi știut dacă $\vec{b}$ e la stânga sau la dreapta lui $\vec{a}$.

Numărătorul sinusului e un determinant vechi cunoscut

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=\left|\begin{array}{cc}{a}_1& a_2\\ b_1& b_2\end{array}\right|$$

Este exact determinantul din condiția de coliniaritate din §10. Acum îi înțelegem sensul geometric:

• determinant $=0$ ⇔ $\sin \phi =0$ ⇔ $\phi \in \{0,\pi \}$ ⇔ vectori coliniari (ce știam din §10);
• determinant $>0$ ⇔ $\vec{b}$ este „la stânga” lui $\vec{a}$ (rotație contrar acelor);
• determinant $<0$ ⇔ $\vec{b}$ este „la dreapta” lui $\vec{a}$ (rotație în sensul acelor);
• $|$determinant$|$ $=|\vec{a}||\vec{b}||\sin \phi |$ = aria paralelogramului construit pe $\vec{a}$ și $\vec{b}$ (vezi lecția următoare).

Formula (6) singură nu determină unghiul

Ca la §11: tangenta are perioada $\pi$, deci nu distinge $\phi$ de $\phi \pm \pi$. Exemplu: $\vec{a}=\{1;0\}$, $\vec{b}=\{-1;-1\}$. Formula (6) dă $\mathrm{tg}\phi =\frac{-1}{-1}=1$, care sugerează $45°$. Dar $\cos \phi =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$ și $\sin \phi =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$ ⇒ $\phi =-135°$.

Pentru unghiul exact folosiți perechea (5): cosinusul alege între stânga și dreapta, sinusul — între sus și jos.

Comparație §13 — §14

	§13 (neorientat)	§14 (orientat)
domeniul	$[0;\pi ]$	$(-\pi ;\pi ]$
cosinusul	$\frac{a_1{b}_1+a_2{b}_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$	același
sinusul	nu se calcula	$\frac{a_1{b}_2-a_2{b}_1}{|\vec{a}||\vec{b}|}$
ordinea vectorilor	nu contează	contează (sinusul schimbă semnul)

Precizare de structură

Manualul numește rezolvarea de mai sus „exemplul 14.3”, dar formulele (4)–(6) sunt rezultatul principal al paragrafului: toate calculele care urmează (aria, rotațiile din §15) se sprijină pe ele. Tratați-le ca pe o teoremă.

Întrebări de control

1. De ce teorema 14.1 are nevoie de orientarea bazei, iar formula cosinusului din §13 nu are?
2. Fie $\vec{a}=\{3;-4\}$. Calculați $\cos \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$ și $\sin \widehat{(\vec{i},\vec{a})}$. În ce cadran e $\vec{a}$?
3. Calculați unghiul orientat de la $\vec{a}=\{1;1\}$ la $\vec{b}=\{-1;1\}$, apoi de la $\vec{b}$ la $\vec{a}$.
4. Doi vectori nenuli au $a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$. Ce puteți spune despre ei? Dar despre unghiul orientat dintre ei?
5. De ce nu e suficient să cunoașteți doar $\mathrm{tg}\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$ pentru a afla unghiul?

Legături

• Anterior: Unghiul orientat dintre doi vectori
• Continuare: Aria triunghiului în coordonate
• Se sprijină pe: Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate, Operații cu vectori în coordonate, Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector
• Concepte: Unghi orientat, Bază ortonormată, Produs scalar