Recapitulare — vectori

Formularul complet al capitolelor §3–§7, într-un singur loc. Pentru demonstrații, urmați legăturile.

1. Obiectul

Noțiune	Definiție scurtă
Vector	clasă de segmente orientate echipolente
Vector liber	vector determinat doar de direcție, sens și lungime
Modulul vectorului	$|\vec{a}|$ — lungimea oricărui reprezentant
Vector opus	$-\vec{a}=\overrightarrow{BA}$ dacă $\vec{a}=\overrightarrow{AB}$
Vector nul	$\vec{0}$, cu $|\vec{0}|=0$; nu are direcție

Teorema reprezentantului unic. Pentru orice $\vec{a}$ și orice punct $O$ există un unic $M$ cu $\overrightarrow{OM}=\vec{a}$.

2. Relații între vectori

Relație	Notare	Înseamnă
coliniaritate	$\vec{a}\parallel \vec{b}$	există o dreaptă la care ambii sunt paraleli
la fel orientați	$\vec{a}\uparrow \uparrow \vec{b}$	coliniari, același sens
opus orientați	$\vec{a}\uparrow \downarrow \vec{b}$	coliniari, sensuri opuse
coplanaritate	—	există un plan la care toți trei sunt paraleli

Convenții: $\vec{0}\parallel \vec{a}$ și $\vec{0}\uparrow \uparrow \vec{a}$, pentru orice $\vec{a}$.

3. Operații

Adunarea

$$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\text{(relația lui Chasles — orice trei puncte)}$$

• regula triunghiului — cap la cap; funcționează și pentru vectori coliniari;
• regula poligonului — generalizarea pentru $n$ vectori;
• regula paralelogramului — din origine comună, suma e diagonala; doar vectori necoliniari.

Scăderea

$$\vec{a}-\vec{b}=\vec{c}⟺\vec{b}+\vec{c}=\vec{a},\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})$$

Construcție: din origine comună, $\vec{a}-\vec{b}=\overrightarrow{BA}$ — de la vârful lui $\vec{b}$ spre vârful lui $\vec{a}$.

Înmulțirea cu un număr

$$\vec{b}=\alpha \vec{a}\text{cu}|\vec{b}|=|\alpha |\cdot |\vec{a}|,\vec{b}\uparrow \uparrow \vec{a}⟺\alpha \ge 0,\vec{b}\uparrow \downarrow \vec{a}⟺\alpha <0$$ $$0\cdot \vec{a}=\vec{0},1\cdot \vec{a}=\vec{a},(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}$$

4. Cele opt proprietăți (structura de spațiu vectorial)

$$\begin{array}{rlrl}& \text{1)}\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}& & \text{5)}1\cdot \vec{a}=\vec{a}\\ & & & \\ & \text{2)}(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})& & \text{6)}\beta (\alpha \vec{a})=(\beta \alpha )\vec{a}\\ & \text{3)}\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}& & \text{7)}\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}\\ & \text{4)}\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}& & \text{8)}(\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}\end{array}$$

5. Teoremele — enunțuri

Teoremă	Enunț	Notă
5.3	$\vec{a},\vec{b}\ne \vec{0}$ coliniari $⟺\exists \lambda :\vec{a}=\lambda \vec{b}$	→
6.5	$\sigma$ dependent $⟺$ un vector e combinație liniară a celorlalți	→
6.6	$\vec{0}\in \sigma \Rightarrow \sigma$ dependent	→
6.7	subsistem dependent $\Rightarrow$ sistem dependent	→
6.8	sistem independent $\Rightarrow$ subsisteme independente	corolar al lui 6.7
6.9	$\vec{a},\vec{b}$ necoliniari, $\vec{c}$ coplanar cu ei $\Rightarrow \vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, unic	→
6.10	2 vectori dependenți $⟺$ coliniari	→
6.11	3 vectori dependenți $⟺$ coplanari	→

6. Tabelul-cheie al dependenței liniare

Vectori	Liniar dependent $⟺$	Liniar independent $⟺$
1	$\vec{a}=\vec{0}$	$\vec{a}\ne \vec{0}$
2	coliniari	necoliniari
3	coplanari	necoplanari
$\ge 4$	întotdeauna	imposibil

7. Harta logică a capitolului

graph TD
  S1["§1 Figuri, paralelism<br/>direcție"] --> S2["§2 Segmente orientate<br/>echipolență"]
  S2 --> S3["§3 Vectorul<br/>clasă de echivalență"]
  S3 --> S4["§4 Adunarea<br/>și scăderea"]
  S3 --> S5["§5 Înmulțirea<br/>cu un număr"]
  S4 --> S6["§6 Dependență<br/>liniară"]
  S5 --> S6
  S6 --> S7["§7 Spațiu<br/>vectorial"]
  S4 --> S7
  S5 --> S7

8. Capcane frecvente

De verificat la fiecare problemă

1. $\overline{AB}$ vs. $\overrightarrow{AB}$ — segment orientat (obiect) vs. vector (clasă).
2. Regula paralelogramului nu merge la vectori coliniari — folosiți regula triunghiului.
3. Sensul diferenței — $\vec{a}-\vec{b}$ merge de la vârful lui $\vec{b}$ spre vârful lui $\vec{a}$.
4. T. 5.3 cere vectori nenuli — cazul $\vec{0}$ se tratează separat.
5. „Cel puțin unul”, nu „oricare” — în teorema 6.5, doar vectorii cu coeficient nenul se izolează.
6. Raportul $\vec{a}/\vec{b}$ nu e împărțire de vectori — e definit doar pentru vectori coliniari, cu $\vec{b}\ne \vec{0}$, și dă un număr.

Legături

• Index: Geometrie analitică în plan
• Notații: Notații și simboluri
• Aplicații: Probleme rezolvate — vectori
• Continuare: Recapitulare — baze și coordonate