Recapitulare — baze și coordonate

Formularul §9–§10 și §16 pe o singură pagină. Pentru demonstrații și figuri, urmați legăturile.

1. Spațiul $V_2$ (§9)

Noțiune	Pe scurt
vector paralel cu planul $\pi$	paralel cu o dreaptă din $\pi$; $\vec{0}$ e paralel cu orice plan
sistem de vectori coplanari	toți vectorii paraleli cu un plan
dimensiunea lui $V_2$	2: există 2 vectori independenți, oricare 3 sunt dependenți
Bază	pereche ordonată $\{\vec{a},\vec{b}\}$ de vectori necoliniari
coordonatele în bază	$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ (unic) $\Rightarrow \vec{c}=\{\alpha ;\beta {\}}_{\{\vec{a},\vec{b}\}}$
Reper afin	$R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ — bază + origine

Tipurile de repere: afin (general) · cartezian ($|{\vec{e}}_1|=|{\vec{e}}_2|$) · rectangular (${\vec{e}}_1\perp {\vec{e}}_2$) · rectangular cartezian ($\{O,\vec{i},\vec{j}\}$, unitari și perpendiculari).

2. Sistemul afin de coordonate (§10)

• axele $(Ox)=(O{E}_1)$ — abscise, $(Oy)=(O{E}_2)$ — ordonate; pot fi oblice;
• cadranul I — între direcțiile pozitive; semne: I $(+,+)$, II $(-,+)$, III $(-,-)$, IV $(+,-)$;
• orientare stângă = $Ox\to Oy$ contrar acelor = pozitivă (în acest curs);
• unghiul orientat $\widehat{(\vec{a},\vec{b})}$: rotim $\vec{a}$ contrar acelor până la $\vec{b}$.

3. Coordonatele vectorilor

$$\vec{a}=\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{O{A}_1}+\overrightarrow{O{A}_2}=x{\vec{e}}_1+y{\vec{e}}_2=\{x;y\}$$ $$x={\mathrm{pr}}_{(Ox)}\vec{a}=\frac{P_{(Ox)}\vec{a}}{{\vec{e}}_1},y={\mathrm{pr}}_{(Oy)}\vec{a}=\frac{P_{(Oy)}\vec{a}}{{\vec{e}}_2}$$

T. 10.4: $P_u(\vec{a}+\vec{b})=P_u\vec{a}+P_u\vec{b}$ și ${\mathrm{pr}}_u(\vec{a}+\vec{b})={\mathrm{pr}}_u\vec{a}+{\mathrm{pr}}_u\vec{b}$.

Cu $\vec{a}=\{x_1;y_1\}$, $\vec{b}=\{x_2;y_2\}$:

#	Proprietate	Formulă
1⁰	egalitate	$\vec{a}=\vec{b}⟺x_1=x_2,y_1=y_2$
2⁰	sumă / diferență	$\vec{a}\pm \vec{b}=\{x_1\pm x_2;y_1\pm y_2\}$
3⁰	înmulțire cu număr	$\alpha \vec{a}=\{\alpha x_1;\alpha y_1\}$
4⁰	$\vec{b}=\alpha \vec{a}$	$x_2=\alpha x_1,y_2=\alpha y_1$
5⁰	coliniaritate	$\vec{a}\parallel \vec{b}⟺x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$
10.5	combinație liniară	coordonatele se combină cu aceiași coeficienți

4. Coordonatele punctelor

Formula	Enunț
def. 10.7	$M(x;y)⟺\overrightarrow{OM}=\{x;y\}$
(5)	$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$
(6)–(7)	$\overrightarrow{M_1{M}_0}=\lambda \overrightarrow{M_0{M}_2}$, $\lambda \ne -1$
(8)	$x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$, $y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$
(9)	$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$, $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$ (mijlocul, $\lambda =1$)

4½. Spațiul $V_3$ (§16)

Rezultat	Enunț
T. 16.1	$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ necoplanari ⇒ $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$, unic
C. 16.2	orice patru vectori sunt liniar dependenți ⇒ $\dim V_3=3$
D. 16.3–16.4	bază = ternă ordonată de vectori necoplanari; $\vec{a}=\{a_1;a_2;a_3\}$
1⁰–3⁰	sumă, diferență, $\lambda \vec{a}$ — coordonată cu coordonată
T. 16.6	coliniari ⇔ $b_i=\lambda a_i$, $i=1,2,3$
T. 16.8	bază ortonormată $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$: $|\vec{a}|=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

Exemplu: în paralelipipedul din fig. 60, cu $P$ mijlocul lui $D{D}_1$: $\overrightarrow{P{B}_1}=\{1;-1;\frac{1}{2}\}$.

5. Harta logică §9–§10

graph TD
  T69["T. 6.9<br/>c = αa + βb, unic"] --> B["§9 Bază și<br/>coordonatele vectorului"]
  D["§9 dim V₂ = 2"] --> B
  B --> R["§9 Reper afin<br/>bază + origine"]
  R --> S["§10 Sistem afin<br/>axe, cadrane, orientare"]
  B --> P["§10 Proiecții<br/>x = pr(Ox) a"]
  P --> O["§10 Operații în coordonate<br/>1⁰–5⁰"]
  S --> M["§10 Coordonatele punctului<br/>rază vectoare"]
  O --> M
  M --> F5["formula (5)<br/>M₁M₂"]
  F5 --> F8["formulele (8)–(9)<br/>împărțirea segmentului"]
  O --> F8

6. Capcane frecvente

De verificat la fiecare problemă

1. Proiecția pe $Ox$ se face paralel cu $Oy$, nu perpendicular — decât în reperul rectangular.
2. „Extremitate minus origine”: $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;\dots \}$, nu invers.
3. Forma cu proporții $\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$ nu merge când o coordonată e $0$ — folosiți $x_1{y}_2-x_2{y}_1=0$.
4. Raportul $\lambda$ depinde de ordinea capetelor și de semnul bucăților: în afara segmentului $\lambda <0$.
5. $\lambda \ne -1$ — altfel formula (8) împarte la zero.
6. Punct $M(x;y)$ ≠ vector $\{x;y\}$ — coincid doar prin raza vectoare.
7. Terminologie: „orientare stângă” și „reper cartezian” au în acest curs sensuri care diferă de alte manuale.

Erori găsite în manual (§9–§10)

Pagina	În manual	Corect
40	„pentru orice vector $\vec{c}\in V$“	$\vec{c}\in V_2$
41	ex. 9.3 b): $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_{1}C}$, $\overrightarrow{B_{1}D}$ „nu sunt coplanari”	sunt coplanari: $\overrightarrow{A_{1}C}-\overrightarrow{B_{1}D}=2\overrightarrow{AB}$
46	relațiile (3)–(4) scrise cu ${\mathrm{pr}}_u$	proiecția geometrică $P_u$ acolo unde e vector
48	$x_0-x_1=\lambda (x_2-x_1)$	$x_0-x_1=\lambda (x_2-x_0)$ (analog pentru $y$)
48	„după (2) avem”	după proprietatea 2⁰
49	„Cu ajutorul (4) se determină…“	formula (8)
70	„$\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}++\gamma \vec{c}$” (de două ori)	„$+$” dublat
71	„mujlocul muchiei $D{D}_1$”	„mijlocul”
74	„$\overrightarrow{OA}==\vec{a}$”, „$\overrightarrow{O{A}_1}++\overrightarrow{O{A}_2}$”	semne dublate
75	„$O{A}_1=a_1$, $O{A}_2=a_2$, $O{A}_3=a_3$”	lungimi: $O{A}_i=|a_i|$; concluzia nu e afectată (apar pătratele)

Legături

• Index: Geometrie analitică în plan
• Recapitularea anterioară: Recapitulare — vectori
• Continuare: Recapitulare — metrica planului — formularul §11–§15
• Lecțiile §16: Baza spațiului V3. Teorema 16.1 · Coordonatele vectorului în spațiul V3 · Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului
• Notații: Notații și simboluri