Coordonatele vectorului în spațiul V₃

Despre ce este lecția

Teorema 16.1 spune că fiecare vector din spațiu are o singură scriere $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$. Cele trei numere se numesc coordonate — și, ca în plan, cu ele operațiile cu vectori devin aritmetică: adunare coordonată cu coordonată, înmulțire coordonată cu coordonată. Tot ce s-a făcut în §10 pentru două coordonate se repetă aici cu trei.

1. Coordonatele

Din cele stabilite mai sus rezultă că orice vector $\vec{p}\in V_3$ se descompune în mod unic după vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ ai bazei acestui spațiu și are forma (1).

De obicei vectorii din bază se notează prin ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$ și ${\vec{e}}_3$. Pentru orice vector $\vec{a}\in V_3$ există așa numere $a_1$, $a_2$, $a_3$ încât:

$$\vec{a}=a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2+a_3{\vec{e}}_3.\text{\hspace{1em}(4)}$$

Definiția 16.4

Numerele $a_1$, $a_2$, $a_3$ din descompunerea (4) se numesc coordonate ale vectorului $\vec{a}$ în baza ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$ și ${\vec{e}}_3$. Numărul $a_1$ se numește prima coordonată a vectorului $\vec{a}$, $a_2$ — a doua și $a_3$ — a treia coordonată a vectorului $\vec{a}$.

Dacă vectorul $\vec{a}$ în baza dată are coordonatele $a_1$, $a_2$ și $a_3$, atunci scriem: $\vec{a}(a_1,a_2,a_3)$ sau $\vec{a}=\{a_1,a_2,a_3\}$. Uneori se indică și baza: $\vec{a}=\{a_1;a_2;a_3{\}}_{\{{\vec{e}}_1;{\vec{e}}_2;{\vec{e}}_3\}}$.

Vectorii din bază fiind aduși la originea comună $O$ formează împreună cu acest punct așa-numitul reper afin, care se notează $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\}$.

fig. 1 — coordonatele ca muchii ale unui paralelipiped: vectorul e diagonala lui

Cum se citește figura — ce sunt coordonatele în spațiu

Pasul 1 — baza. Cele trei săgeți groase din $O$ sunt ${\vec{e}}_1$ (albastru), ${\vec{e}}_2$ (portocaliu, „spre noi”), ${\vec{e}}_3$ (verde, în sus).

Pasul 2 — întindeți fiecare vector de bază. Săgețile subțiri de aceeași culoare sunt $a_1{\vec{e}}_1$, $a_2{\vec{e}}_2$, $a_3{\vec{e}}_3$ — vectorii de bază înmulțiți cu coordonatele.

Pasul 3 — construiți paralelipipedul cu aceste trei muchii din $O$ (liniile gri).

Pasul 4 — citiți vectorul. Diagonala violet, din $O$ până în colțul opus, este $\vec{a}=a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2+a_3{\vec{e}}_3$ — regula poligonului pe trei muchii consecutive.

Pe ce se bazează: teorema 16.1 și definiția 16.4.

Ce să verificați singuri pe figură: urmăriți un drum pe muchii de la $O$ la capătul lui $\vec{a}$: întâi albastru, apoi orice muchie portocalie, apoi orice muchie verde. Ajungeți în același colț indiferent de ordinea în care mergeți — adunarea e comutativă.

Notații: virgulă sau punct și virgulă

Manualul scrie coordonatele în spațiu fie cu virgulă, $\{a_1,a_2,a_3\}$, fie cu punct și virgulă, $\{a_1;a_2;a_3\}$. Sunt același lucru. În România și Republica Moldova virgula e separator zecimal, deci punctul și virgula evită confuzia: $\{1,5;2;0\}$ are clar trei coordonate, prima fiind $1,5$, pe când $\{1,5,2,0\}$ ar fi ambiguu.

2. Exemplu — vectorul $\overrightarrow{P{B}_1}$ în paralelipiped

În figura 60 din manual este dată imaginea unui paralelipiped și este indicată baza ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ${\vec{e}}_3$. Punctul $P$ este mijlocul muchiei $D{D}_1$. Să determinăm coordonatele vectorului $\overrightarrow{P{B}_1}$ în baza dată. Conform regulii poligonului:

$$\overrightarrow{P{B}_1}=\overrightarrow{P{D}_1}+\overrightarrow{D_1{A}_1}+\overrightarrow{A_1{B}_1}=\frac{1}{2}{\vec{e}}_3+{\vec{e}}_1-{\vec{e}}_2=1\cdot {\vec{e}}_1+(-1)\cdot {\vec{e}}_2+\frac{1}{2}{\vec{e}}_3.$$

Prin urmare, $\overrightarrow{P{B}_1}=\left\{1;-1;\frac{1}{2}\right\}$. Evident că ${\vec{e}}_1(1;0;0)$, ${\vec{e}}_2(0;1;0)$ și ${\vec{e}}_3(0;0;1)$.

fig. 2 (după fig. 60 din manual) — drumul pe muchii de la $P$ la $B_1$, cu fiecare bucată recunoscută ca multiplu al unui vector de bază

Pas cu pas — alegerea drumului

Pasul 1 — identificați baza. ${\vec{e}}_1=\overrightarrow{CB}$, ${\vec{e}}_2=\overrightarrow{CD}$, ${\vec{e}}_3=\overrightarrow{C{C}_1}$: cele trei muchii care pleacă din $C$.

Pasul 2 — alegeți un drum pe muchii de la $P$ la $B_1$, astfel încât fiecare bucată să fie paralelă cu un vector de bază: $P\to D_1\to A_1\to B_1$.

Pasul 3 — recunoașteți fiecare bucată.

• $\overrightarrow{P{D}_1}$: jumătate de muchie laterală, în sus ⇒ $\frac{1}{2}{\vec{e}}_3$ (fiindcă $\overrightarrow{D{D}_1}=\overrightarrow{C{C}_1}$, muchii laterale ale paralelipipedului).
• $\overrightarrow{D_1{A}_1}=\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{CB}={\vec{e}}_1$ (laturi opuse ale paralelogramului $ABCD$, același sens).
• $\overrightarrow{A_1{B}_1}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}=-{\vec{e}}_2$ (atenție la sens!).

Pasul 4 — adunați și ordonați după ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$. $\overrightarrow{P{B}_1}={\vec{e}}_1-{\vec{e}}_2+\frac{1}{2}{\vec{e}}_3=\{1;-1;\frac{1}{2}\}$.

Verificare independentă. Pe un paralelipiped oblic oarecare (baze neortogonale), calculul numeric dă exact $\{1;-1;0,5\}$. Rezultatul nu depinde de forma paralelipipedului — doar de ce muchii sunt vectorii de bază.

Capcana. Pasul 3 cere atenție la sens: $\overrightarrow{A_1{B}_1}$ e opus lui ${\vec{e}}_2=\overrightarrow{CD}$. Un semn greșit aici dă $\{1;1;\frac{1}{2}\}$.

Greșeală de tipar

La p. 71 manualul scrie „Punctul $P$ este mujlocul muchiei $D{D}_1$” — corect mijlocul.

3. Exemplul 16.5 — operații în coordonate

Enunț

În baza ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ${\vec{e}}_3$ sunt dați vectorii $\vec{a}(a_1,a_2,a_3)$ și $\vec{b}(b_1,b_2,b_3)$. De aflat coordonatele vectorului $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, unde $\alpha$ și $\beta$ sunt numere reale date.

Rezolvare. Conform definiției coordonatelor vectorului, avem:

$$\vec{a}=a_1{\vec{e}}_1+a_2{\vec{e}}_2+a_3{\vec{e}}_3,\vec{b}=b_1{\vec{e}}_1+b_2{\vec{e}}_2+b_3{\vec{e}}_3.$$

Prin urmare,

$$\alpha \vec{a}=\alpha a_1{\vec{e}}_1+\alpha a_2{\vec{e}}_2+\alpha a_3{\vec{e}}_3,\beta \vec{b}=\beta b_1{\vec{e}}_1+\beta b_2{\vec{e}}_2+\beta b_3{\vec{e}}_3.$$

Adunând aceste egalități și folosind proprietățile adunării vectorilor și înmulțirii vectorului la un număr, obținem:

$$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}=(\alpha a_1+\beta b_1){\vec{e}}_1+(\alpha a_2+\beta b_2){\vec{e}}_2+(\alpha a_3+\beta b_3){\vec{e}}_3.$$

Așadar, vectorul $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ are coordonatele:

$$\vec{p}(\alpha a_1+\beta b_1,\alpha a_2+\beta b_2,\alpha a_3+\beta b_3).$$

Aplicând acest exemplu la vectorii $\vec{a}+\vec{b}$, $\vec{a}-\vec{b}$ și $\lambda \vec{c}$ ne convingem de justețea următoarelor afirmații:

Proprietățile 1⁰–3⁰

1⁰. Fiecare coordonată a sumei a doi vectori este egală cu suma coordonatelor corespunzătoare a vectorilor termeni.

2⁰. Fiecare coordonată a diferenței a doi vectori este egală cu diferența coordonatelor corespunzătoare a acestor vectori.

3⁰. La înmulțirea vectorului la un număr fiecare coordonată a acestui vector se înmulțește la acest număr.

Pas cu pas — cum se obțin 1⁰–3⁰ din exemplul 16.5

Formula $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}\to (\alpha a_i+\beta b_i)$ conține toate trei proprietățile; trebuie doar aleși $\alpha$ și $\beta$:

Alegerea	Vectorul	Coordonatele
$\alpha =1$, $\beta =1$	$\vec{a}+\vec{b}$	$a_i+b_i$ — proprietatea 1⁰
$\alpha =1$, $\beta =-1$	$\vec{a}-\vec{b}$	$a_i-b_i$ — proprietatea 2⁰
$\alpha =\lambda$, $\beta =0$	$\lambda \vec{a}$	$\lambda a_i$ — proprietatea 3⁰

Exemplu numeric. $\vec{a}=\{1;-2;3\}$, $\vec{b}=\{4;0;-1\}$: $2\vec{a}-\vec{b}=\{2-4;-4-0;6+1\}=\{-2;-4;7\}$.

De ce merge. Pasul-cheie e „regruparea după ${\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3$”, permisă de comutativitatea și asociativitatea adunării și de distributivitatea înmulțirii cu un număr (cele 8 proprietăți). Apoi unicitatea din teorema 16.1 garantează că coeficienții obținuți sunt coordonatele.

4. Teorema 16.6 — coliniaritatea în coordonate

Teorema 16.6

Doi vectori $\vec{a}(a_1,a_2,a_3)$ și $\vec{b}(b_1,b_2,b_3)$ dați într-o bază ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ${\vec{e}}_3$ sunt coliniari atunci și numai atunci, când coordonatele lor corespunzătoare sunt proporționale.

Demonstrație. Dacă măcar unul din vectorii $\vec{a}$ sau $\vec{b}$ este nul, atunci teorema este evidentă. Să presupunem că $\vec{a}\ne \vec{0}$ și $\vec{b}\ne \vec{0}$.

Fie $\vec{a}\parallel \vec{b}$. Conform teoremei despre vectorii coliniari există $\lambda \in \mathbb{R}$, astfel încât $b_1=\lambda a_1$, $b_2=\lambda a_2$, $b_3=\lambda a_3$, adică coordonatele corespunzătoare ale vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt proporționale.

Invers, fie coordonatele corespunzătoare a vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt proporționale: $b_1=\lambda a_1$, $b_2=\lambda a_2$, $b_3=\lambda a_3$. Înmulțim ultimele egalități corespunzător la ${\vec{e}}_1$, ${\vec{e}}_2$, ${\vec{e}}_3$ și adunându-le parte cu parte obținem $\vec{b}=\lambda \vec{a}$, dar asta și înseamnă că vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt coliniari. Teorema 16.6 este demonstrată. $■$

fig. 3 — doi vectori coliniari: paralelipipedul coordonatelor lui $\vec{b}$ e cel al lui $\vec{a}$, mărit la fel pe toate trei muchiile

Cum se citește figura — teorema 16.6

Pasul 1 — cutia mică (albastră) are muchiile $a_1{\vec{e}}_1$, $a_2{\vec{e}}_2$, $a_3{\vec{e}}_3$; diagonala ei e $\vec{a}$.

Pasul 2 — cutia mare (portocalie) are muchiile $b_1{\vec{e}}_1$, $b_2{\vec{e}}_2$, $b_3{\vec{e}}_3$; diagonala ei e $\vec{b}$.

Pasul 3 — comparați muchiile. Fiecare muchie a cutiei mari e de 1,8 ori muchia corespunzătoare a celei mici: același factor pe toate trei direcțiile. Cutia mare e o copie mărită a celei mici, cu un colț comun în $O$.

Pasul 4 — comparați diagonalele. Fiind copii la scară cu colț comun, diagonalele stau pe aceeași dreaptă — vectorii sunt coliniari, iar $\vec{b}=1,8\vec{a}$.

Pasul 5 — și invers. Dacă factorii ar fi diferiți pe muchii (de exemplu 1,8 pe una și 2 pe alta), cutia mare n-ar mai fi o copie la scară, iar diagonala ei ar ieși din dreapta lui $\vec{a}$.

Pe ce se bazează: teorema 16.6 și proprietatea 3⁰.

Ce să verificați singuri pe figură: ce se întâmplă cu cutia mare dacă factorul e negativ, de exemplu $-1$? (Răspuns: cutia se „răsfrânge” prin $O$, de partea cealaltă; diagonala rămâne pe aceeași dreaptă, dar în sens opus.)

„Proporționale" trebuie citit cu grijă când apar zerouri

Scrierea $\frac{b_1}{a_1}=\frac{b_2}{a_2}=\frac{b_3}{a_3}$ cere toate $a_i\ne 0$. Formularea sigură e cea din demonstrație: există $\lambda$ cu $b_i=\lambda a_i$ pentru toți $i$ (sau invers, $a_i=\lambda b_i$).

Exemplu. $\vec{a}=\{2;0;1\}$, $\vec{b}=\{6;0;3\}$ sunt coliniari ($\vec{b}=3\vec{a}$), deși raportul $\frac{0}{0}$ nu are sens.

Tot din acest motiv, afirmația manualului că teorema e „evidentă” dacă un vector e nul cere precizarea: $\vec{0}=0\cdot \vec{b}$, deci coordonatele lui $\vec{0}$ sunt proporționale cu ale oricărui vector — în sensul „unul e multiplu al celuilalt”.

În plan față de spațiu

	Plan (§10)	Spațiu (§16)
coordonatele	$\{a_1;a_2\}$	$\{a_1;a_2;a_3\}$
suma, diferența, $\lambda \vec{a}$	coordonată cu coordonată	coordonată cu coordonată
coliniaritatea	$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$	$b_i=\lambda a_i$ pentru $i=1,2,3$

Întrebări de control

1. Ce coordonate are vectorul ${\vec{e}}_2$ în baza $\{{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_3\}$? Dar în baza $\{{\vec{e}}_2,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_3\}$?
2. În paralelipipedul din figura 2, calculați coordonatele lui $\overrightarrow{A{C}_1}$.
3. Sunt coliniari vectorii $\{2;-4;6\}$ și $\{-1;2;-3\}$? Dar $\{1;2;3\}$ și $\{2;4;5\}$?
4. De ce în plan condiția de coliniaritate e o singură egalitate, iar în spațiu sunt necesare două?
5. Calculați coordonatele lui $3\vec{a}-2\vec{b}$ pentru $\vec{a}=\{1;0;-1\}$ și $\vec{b}=\{2;1;1\}$.

Legături

• Anterior: Baza spațiului V3. Teorema 16.1
• Continuare: Baza ortonormată în V3. Lungimea vectorului
• Se sprijină pe: Operații cu vectori în coordonate, Raportul a doi vectori coliniari, Spațiul vectorial al vectorilor liberi
• Concepte: Spațiul V3, Bază, Reper afin, Vectori coliniari