Baza spațiului V₃. Teorema 16.1

Despre ce este paragraful

În §9 am văzut că în plan doi vectori necoliniari ajung pentru a scrie orice vector: planul are dimensiunea 2. §16 face același lucru pentru spațiu: trei vectori necoplanari ajung, iar al patrulea e deja de prisos. Spațiul are dimensiunea 3.

Demonstrația nu aduce nicio idee nouă: e teorema 6.9 (descompunerea în plan) aplicată o dată, plus încă un pas „în sus”. Dacă ați înțeles cazul plan, aveți deja 90% din acest paragraf.

1. Teorema 16.1

Teorema 16.1

Dacă vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ nu-s coplanari, atunci pentru orice vector $\vec{p}$ există în mod unic numerele $\alpha$, $\beta$ și $\gamma$, încât

$$\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Demonstrația — existența

Dintr-un punct arbitrar $O$ al spațiului depunem vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$, $\overrightarrow{OB}=\vec{b}$, $\overrightarrow{OC}=\vec{c}$ și $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$. Deoarece vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ nu-s coplanari, punctele $O$, $A$, $B$ și $C$ nu aparțin aceluiași plan.

Cazul 1 — $P$ aparține uneia dintre dreptele $(OA)$, $(OB)$, $(OC)$. Dacă punctul $P$ aparține dreptei $(OA)$, atunci vectorii $\overrightarrow{OA}=\vec{a}$ și $\overrightarrow{OP}=\vec{p}$ sunt coliniari și, în baza teoremei despre vectorii coliniari, există $\alpha \in \mathbb{R}$, încât $\vec{p}=\alpha \vec{a}$ sau $\vec{p}=\alpha \vec{a}+0\cdot \vec{b}+0\cdot \vec{c}$. Așadar, în acest caz are loc egalitatea (1). Analogic ne convingem, dacă punctul $P\in (OB)$ ori $P\in (OC)$.

fig. 1 (după fig. 58 din manual) — cazul 1: $P$ pe dreapta $(OA)$; aici $\alpha$ e negativ, fiindcă $P$ e de cealaltă parte a lui $O$

Cazul 2 — cazul general. Să cercetăm cazul când punctul $P$ nu aparține nici uneia din dreptele $(OA)$, $(OB)$ sau $(OC)$. Prin punctul $P$ ducem o dreaptă paralelă la dreapta $(OC)$. Fie dreapta dusă intersectează planul $(OAB)$ în punctul $P_1$. Deoarece vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\overrightarrow{O{P}_1}$ sunt coplanari, atunci există așa numere reale $\alpha$ și $\beta$, astfel încât $\overrightarrow{O{P}_1}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$. Totodată observăm că vectorii $\overrightarrow{P_{1}P}$ și $\vec{c}$ sunt coliniari și deci există așa număr real $\gamma$ încât $\overrightarrow{P_{1}P}=\gamma \vec{c}$. După regula triunghiului $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{P_{1}P}$. Înlocuim în ultima egalitate expresiile pentru $\overrightarrow{OP}$, $\overrightarrow{O{P}_1}$, $\overrightarrow{P_{1}P}$ și obținem:

$$\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}.$$

fig. 2 (după fig. 59 din manual) — cazul general: drumul $O\to P_1$ rămâne în planul $(OAB)$, drumul $P_1\to P$ urcă paralel cu $\vec{c}$

Cum se citește figura — existența descompunerii

Pasul 1 — planul de bază. Zona umbrită e planul $(OAB)$, determinat de $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Vectorul $\vec{c}$ (verde) iese din acest plan — asta înseamnă „necoplanari”.

Pasul 2 — punctul de descompus. Săgeata violet $\overrightarrow{OP}$ e vectorul $\vec{p}$. $P$ plutește deasupra planului.

Pasul 3 — „coborâți” paralel cu $\vec{c}$. Linia punctată verticală trece prin $P$ și e paralelă cu $(OC)$. Ea înțeapă planul $(OAB)$ în $P_1$. Atenție: nu se coboară perpendicular pe plan, ci paralel cu $\vec{c}$ — baza nu e neapărat ortogonală.

Pasul 4 — în plan, problema e deja rezolvată. $\overrightarrow{O{P}_1}$ stă în planul lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$, deci după teorema 6.9 se scrie $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ (liniile punctate albastră și portocalie desenează această descompunere).

Pasul 5 — bucata verticală. $\overrightarrow{P_{1}P}$ e paralel cu $\vec{c}$, deci e un multiplu al lui: $\gamma \vec{c}$.

Pasul 6 — lipiți bucățile. Regula triunghiului: $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{O{P}_1}+\overrightarrow{P_{1}P}=(\alpha \vec{a}+\beta \vec{b})+\gamma \vec{c}$.

Pe ce se bazează: teorema 6.9 (descompunerea în plan), criteriul de coliniaritate și regula triunghiului.

Ce să verificați singuri pe figură: de ce paralela prin $P$ la $(OC)$ sigur întâlnește planul $(OAB)$? (Răspuns: o dreaptă care nu întâlnește un plan e paralelă cu el; dar o paralelă la $(OC)$ paralelă cu $(OAB)$ ar face ca $\vec{c}$ să fie paralel cu planul, adică $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ coplanari — exclus prin ipoteză.)

Precizare: cazul 1 e inclus în cazul 2

Manualul tratează separat situația $P\in (OA)$, dar construcția din cazul general funcționează și atunci: paralela prin $P$ la $(OC)$ taie planul chiar în $P$, deci $P_1=P$ și $\gamma =0$. Separarea cazurilor e doar o prudență a manualului, ca să nu apară întrebarea „ce faci dacă $P_1$ coincide cu $O$?” — caz în care $\alpha =\beta =0$.

Demonstrația — unicitatea

Să demonstrăm că numerele $\alpha$, $\beta$ și $\gamma$, care satisfac egalității (1), se determină în mod unic. Să presupunem că prin careva altă metodă am determinat numerele ${\alpha }_1$, ${\beta }_1$ și ${\gamma }_1$, care de asemenea satisfac egalității (1), adică $\vec{p}={\alpha }_1\vec{a}+{\beta }_1\vec{b}+{\gamma }_1\vec{c}$. Din ultima egalitate și din (1) avem:

$$\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}={\alpha }_1\vec{a}+{\beta }_1\vec{b}+{\gamma }_1\vec{c}⟺(\alpha -{\alpha }_1)\vec{a}+(\beta -{\beta }_1)\vec{b}+(\gamma -{\gamma }_1)\vec{c}=\vec{0}.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Deoarece vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ nu-s coplanari, atunci acești vectori sunt liniar independenți și prin urmare egalitatea (2) are loc atunci și numai atunci când $\alpha ={\alpha }_1$, $\beta ={\beta }_1$ și $\gamma ={\gamma }_1$. Teorema 16.1 este demonstrată. $■$

Pas cu pas — de ce independența dă unicitatea

Pasul 1 — două scrieri ale aceluiași vector. Presupunem că $\vec{p}$ ar avea două seturi de coeficienți.

Pasul 2 — scădeți-le. Diferența celor două scrieri e $\vec{p}-\vec{p}=\vec{0}$, deci obținem o combinație liniară a lui $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ egală cu vectorul nul — relația (2).

Pasul 3 — folosiți ipoteza. Trei vectori necoplanari sunt liniar independenți (teorema 6.11). Pentru vectori independenți, singura combinație egală cu $\vec{0}$ e cea trivială: toți coeficienții nuli.

Pasul 4 — concluzia. $\alpha -{\alpha }_1=0$, $\beta -{\beta }_1=0$, $\gamma -{\gamma }_1=0$.

Ce s-ar strica fără ipoteză. Dacă $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ar fi coplanari, de exemplu $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$, atunci $\vec{a}+\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$ e o combinație netrivială, iar orice vector din plan s-ar scrie în infinit de moduri: $\vec{a}+\vec{b}=\vec{c}=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c}=\dots$ Iar un vector din afara planului nu s-ar putea scrie deloc.

Paralela cu cazul plan

	Planul ($V_2$, §9)	Spațiul ($V_3$, §16)
ipoteza	$\vec{a},\vec{b}$ necoliniari	$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ necoplanari
concluzia	$\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, unic	$\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$, unic
figura	paralelogramul	paralelipipedul
numărul de vectori	2	3

2. Consecința 16.2 — patru vectori sunt întotdeauna prea mulți

Consecința 16.2

Orice sistem ce conține mai mult decât trei vectori este liniar dependent.

Demonstrație. Este suficient să cercetăm sistemul format din patru vectori:

$$\vec{a},\vec{b},\vec{c}\text{și}\vec{d}.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Dacă vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt coplanari, atunci acești vectori sunt liniar dependenți și prin urmare sistemul (3) este liniar dependent. Dacă însă vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ nu-s coplanari, atunci conform teoremei 16.1 vectorul $\vec{d}$ este o combinație liniară a vectorilor $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$. Deci sistemul (3) este liniar dependent. Consecința 16.2 este demonstrată. $■$

fig. 3 — cele două cazuri ale demonstrației: dependența vine fie din interiorul lui $\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$, fie din $\vec{d}$

Cum se citește figura — consecința 16.2

Pasul 1 — panoul stâng. $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ stau toți în planul umbrit. Vectorul $\vec{d}$ poate ieși din plan — nu contează.

Pasul 2 — dependența e deja acolo. Trei vectori coplanari sunt dependenți (teorema 6.11). Iar un sistem care conține un subsistem dependent e el însuși dependent (teorema 6.7): adăugarea lui $\vec{d}$ nu poate „repara” nimic.

Pasul 3 — panoul drept. Acum $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ ies din orice plan comun și formează muchiile unui paralelipiped.

Pasul 4 — $\vec{d}$ e diagonala. După teorema 16.1, $\vec{d}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$, adică $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}-1\cdot \vec{d}=\vec{0}$ — o combinație netrivială (coeficientul lui $\vec{d}$ e $-1\ne 0$).

Pe ce se bazează: teorema 16.1, teoremele 6.7 și 6.11.

Ce să verificați singuri pe figură: de ce e suficient de demonstrat pentru patru vectori, și nu pentru cinci, șase…? (Răspuns: un sistem de cinci vectori conține unul de patru, care e dependent — teorema 6.7 face restul.)

3. Dimensiunea și baza lui $V_3$

Așadar, în spațiu există trei vectori liniar independenți (orice trei vectori necoplanari), însă orice patru vectori sunt deja liniar dependenți. Această proprietate ne arată că mulțimea vectorilor din spațiu formează un spațiu vectorial de dimensiunea trei, care se notează prin $V_3$.

Definiția 16.3

Orice ternă ordonată de vectori necoplanari din $V_3$ formează bază a acestui spațiu.

„Ordonată" contează

$\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$ și $\{\vec{b},\vec{a},\vec{c}\}$ sunt baze diferite: același vector are în ele coordonatele în altă ordine. Exact ca în plan (§9).

Dimensiunea, în trei spații

Spațiul	Câți vectori independenți există	Câți sunt deja dependenți	Dimensiunea
$V_1$ — vectorii unei drepte	1 (orice vector nenul)	2	1
$V_2$ — vectorii unui plan	2 (orice doi necoliniari)	3	2
$V_3$ — vectorii spațiului	3 (orice trei necoplanari)	4	3

Regula: dimensiunea = numărul maxim de vectori independenți = numărul de vectori dintr-o bază.

Întrebări de control

1. De ce în demonstrația teoremei 16.1 paralela prin $P$ se duce la $(OC)$, și nu perpendicular pe planul $(OAB)$?
2. Vectorii $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ sunt coplanari. Dați un exemplu de vector $\vec{p}$ care nu se poate scrie ca $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+\gamma \vec{c}$.
3. Pot patru vectori din spațiu să fie liniar independenți dacă unul dintre ei e nul? Dar dacă niciunul nu e nul?
4. Este $\{\vec{a},\vec{b},\vec{a}+\vec{b}\}$ o bază a lui $V_3$? De ce?
5. Ce rol joacă în demonstrația existenței teorema 6.9 din cazul plan?

Legături

• Anterior: Rotația sistemului rectangular cartezian
• Continuare: Coordonatele vectorului în spațiul V3
• Se sprijină pe: Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari, Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară, Teoremele fundamentale ale dependenței liniare, Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului
• Concepte: Spațiul V3, Bază, Coplanaritate, Dependență liniară