Împărțirea segmentului în raportul dat

Fie $M_1(x_1;y_1)$ și $M_2(x_2;y_2)$ două puncte distincte din plan și $M_0(x_0;y_0)$ un punct de pe dreapta $M_1{M}_2$.

1. Definiția

Definiția 10.8

Vom spune că punctul $M_0$ împarte segmentul $\overline{M_1{M}_2}$ în raportul $\lambda \ne -1$, dacă

$$\frac{\overrightarrow{M_1{M}_0}}{\overrightarrow{M_0{M}_2}}=\lambda \text{\hspace{1em}(6)}$$

Din (6) rezultă că

$$\overrightarrow{M_1{M}_0}=\lambda \overrightarrow{M_0{M}_2}\text{\hspace{1em}(7)}$$

fig. 1 (după fig. 45 din manual) — $M_0$ e de două ori mai departe de $M_1$ decât de $M_2$, în același sens: $\lambda =2$

Fracția din (6) este un raport de vectori coliniari

$\overrightarrow{M_1{M}_0}$ și $\overrightarrow{M_0{M}_2}$ stau pe aceeași dreaptă, deci sunt coliniari, iar $\frac{\overrightarrow{M_1{M}_0}}{\overrightarrow{M_0{M}_2}}$ are sensul din definiția 5.2: $|\lambda |$ e raportul lungimilor, semnul spune dacă cele două bucăți au același sens.

Cum se citește figura — raportul λ

Pasul 1 — dreapta și cele trei puncte. Pe linia gri punctată sunt, în ordine, $M_1$, $M_0$ (violet), $M_2$.

Pasul 2 — prima bucată, albastră: $\overrightarrow{M_1{M}_0}$ — de la primul punct la punctul care împarte.

Pasul 3 — a doua bucată, portocalie: $\overrightarrow{M_0{M}_2}$ — de la punctul care împarte la al doilea punct. Atenție: ambele săgeți „curg” în același sens, de la $M_1$ spre $M_2$.

Pasul 4 — comparați. Săgeata albastră e de 2 ori mai lungă decât cea portocalie și are același sens ⇒ $\lambda =+2$.

Pasul 5 — razele vectoare (gri și violet, din $O$) nu intervin în definiție; ele sunt uneltele cu care, în secțiunea 3, trecem de la vectori la coordonate.

Pe ce se bazează: definiția 5.2 (raportul vectorilor coliniari) și formula (5).

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați rolurile lui $M_1$ și $M_2$ — noul raport devine $\frac{1}{2}$. Raportul depinde de ordinea capetelor.

2. Ce valori poate lua λ și de ce $\lambda \ne -1$

fig. 2 — pozițiile lui $M_0$ pe dreaptă pentru diferite valori ale lui $\lambda$

Cum se citește figura — semnul și mărimea lui λ

Pasul 1 — cele două capete. Punctul albastru e $M_1$, cel portocaliu $M_2$.

Pasul 2 — zona verde (între capete). Oriunde s-ar afla $M_0$ strict între $M_1$ și $M_2$, săgețile $\overrightarrow{M_1{M}_0}$ și $\overrightarrow{M_0{M}_2}$ au același sens ⇒ $\lambda >0$. Pe liniuțele de deasupra: $\lambda =\frac{1}{3}$ aproape de $M_1$, $\lambda =1$ la mijloc, $\lambda =3$ aproape de $M_2$.

Pasul 3 — zonele din afară. În afara segmentului, cele două săgeți au sensuri opuse ⇒ $\lambda <0$.

• dincolo de $M_2$ (portocaliu): prima săgeată e mai lungă ⇒ $|\lambda |>1$, deci $\lambda <-1$;
• dincolo de $M_1$ (violet): prima săgeată e mai scurtă ⇒ $|\lambda |<1$, deci $-1<\lambda <0$.

Pasul 4 — cazurile de capăt. $M_0=M_1$ ⇒ prima săgeată e nulă ⇒ $\lambda =0$. Când $M_0$ se apropie de $M_2$, a doua săgeată tinde la zero ⇒ $\lambda \to \infty$; în $M_2$ însuși raportul nu există.

Pasul 5 — valoarea care lipsește. Nicio zonă nu conține $\lambda =-1$: el ar fi „granița” dintre $\lambda <-1$ și $-1<\lambda <0$, adică un punct „la infinit”.

Pe ce se bazează: semnul raportului din definiția 5.2 și argumentul de mai jos (manual, §8).

Ce să verificați singuri pe figură: pentru $M_0$ la mijloc, săgețile sunt egale și de același sens ⇒ $\lambda =1$ — cazul formulei (9).

De ce se exclude $\lambda =-1$ (manual, §8, p. 37–38)

Dacă ar fi $\lambda =-1$, atunci $\overrightarrow{M_1{M}_0}=-\overrightarrow{M_0{M}_2}=\overrightarrow{M_2{M}_0}$. Doi vectori egali cu aceeași extremitate $M_0$ au și aceeași origine, deci $M_1=M_2$ — ceea ce contrazice condiția inițială (capete distincte).

Poziția lui $M_0$	Valoarea lui $\lambda$
$M_0=M_1$	$\lambda =0$
strict între $M_1$ și $M_2$	$\lambda >0$
mijlocul segmentului	$\lambda =1$
dincolo de $M_1$	$-1<\lambda <0$
dincolo de $M_2$	$\lambda <-1$
$M_0=M_2$	nu există ($\lambda \to \infty$)
—	$\lambda =-1$ nu corespunde niciunui punct

3. Coordonatele punctului care împarte segmentul

Conform exprimării (5) și proprietății 4⁰, din (7) obținem:

$$\{\begin{array}{l}{x}_0-x_1=\lambda (x_2-x_0)\\ y_0-y_1=\lambda (y_2-y_0)\end{array}$$

Ca și în cazul axei numerice (§8), vom avea:

$$x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda },y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }\text{\hspace{1em}(8)}$$

Greșeală de tipar în manual (p. 48)

În sistemul de mai sus, manualul tipărește $x_0-x_1=\lambda (x_2-x_1)$ și $y_0-y_1=\lambda (y_2-y_1)$. Corect este $\lambda (x_2-{\mathbf{x}}_0)$ și $\lambda (y_2-{\mathbf{y}}_0)$:

• $\overrightarrow{M_0{M}_2}$ are coordonatele $\{x_2-x_0;y_2-y_0\}$ după formula (5);
• numai varianta corectă duce la formula (8) — cea tipărită ar da $x_0=x_1+\lambda (x_2-x_1)$, altceva;
• în §8 (p. 38), aceeași deducție pe axa numerică apare scrisă corect: $x_0-x_1=\lambda (x_2-x_0)$.

Pas cu pas — deducerea formulei (8)

Pasul 1 — scriem cele două bucăți în coordonate (formula (5), „extremitate minus origine”):

$$\overrightarrow{M_1{M}_0}=\{x_0-x_1;y_0-y_1\},\overrightarrow{M_0{M}_2}=\{x_2-x_0;y_2-y_0\}$$

Pasul 2 — înmulțim a doua bucată cu $\lambda$ (proprietatea 3⁰):

$$\lambda \overrightarrow{M_0{M}_2}=\{\lambda (x_2-x_0);\lambda (y_2-y_0)\}$$

Pasul 3 — egalăm coordonatele (relația (7) și proprietatea 1⁰):

$$x_0-x_1=\lambda x_2-\lambda x_0$$

Pasul 4 — grupăm termenii cu $x_0$ în stânga:

$$x_0+\lambda x_0=x_1+\lambda x_2⟹x_0(1+\lambda )=x_1+\lambda x_2$$

Pasul 5 — împărțim la $(1+\lambda )$. Aici și numai aici este nevoie de $\lambda \ne -1$: altfel am împărți la zero.

$$x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$$

Pasul 6 — pentru ordonată se repetă identic pașii 3–5.

Morala. Condiția $\lambda \ne -1$ din definiție nu e arbitrară: este exact ce trebuie ca formula (8) să aibă sens.

Completare — forma vectorială a formulei (8)

Înlocuind coordonatele cu razele vectoare, formula (8) se scrie într-un singur rând:

$$\overrightarrow{O{M}_0}=\frac{\overrightarrow{O{M}_1}+\lambda \overrightarrow{O{M}_2}}{1+\lambda }$$

Este aceeași formulă, dar independentă de coordonate: e valabilă în orice reper și se poate verifica direct cu relația lui Chasles.

Pas cu pas — două aplicații numerice

a) $M_1(1;-2)$, $M_2(7;4)$, $\lambda =\frac{1}{2}$.

$$x_0=\frac{1+\frac{1}{2}\cdot 7}{1+\frac{1}{2}}=\frac{4,5}{1,5}=3,y_0=\frac{-2+\frac{1}{2}\cdot 4}{1,5}=\frac{0}{1,5}=0$$

Deci $M_0(3;0)$. Verificare: $\overrightarrow{M_1{M}_0}=\{2;2\}$, $\overrightarrow{M_0{M}_2}=\{4;4\}$, iar $\{2;2\}=\frac{1}{2}\{4;4\}$. ✔ ($\lambda >0$ ⇒ $M_0$ e între capete, mai aproape de $M_1$.)

b) Aceleași capete, $\lambda =-3$.

$$x_0=\frac{1+(-3)\cdot 7}{1-3}=\frac{-20}{-2}=10,y_0=\frac{-2+(-3)\cdot 4}{-2}=\frac{-14}{-2}=7$$

Deci $M_0(10;7)$. Verificare: $\overrightarrow{M_1{M}_0}=\{9;9\}$, $\overrightarrow{M_0{M}_2}=\{-3;-3\}$, iar $\{9;9\}=-3\{-3;-3\}$. ✔ ($\lambda <-1$ ⇒ $M_0$ e dincolo de $M_2$ — fig. 2.)

4. Folosirea formulelor „în sens invers”

Cu ajutorul formulei (8) se determină coordonatele punctului ce împarte segmentul în raportul dat. După ele putem determina și:

• coordonatele oricăruia dintre punctele $M_1$, $M_2$, $M_0$, dacă se cunosc $\lambda$ și coordonatele celorlalte două puncte;
• valoarea lui $\lambda$, după abscisele (sau ordonatele) celor trei puncte.

Completare — formula pentru λ

Din pasul 4 al deducerii, $x_0-x_1=\lambda (x_2-x_0)$. Dacă $x_2\ne x_0$:

$$\lambda =\frac{x_0-x_1}{x_2-x_0}\left(\text{sau }\lambda =\frac{y_0-y_1}{y_2-y_0}\text{ daca˘ }{y}_2\ne y_0\right)$$

Verificare pe aplicația a): $\lambda =\frac{3-1}{7-3}=\frac{1}{2}$. ✔ Dacă segmentul e paralel cu $(Oy)$, abscisele sunt egale și se folosește formula cu ordonatele.

Precizare față de manual

Manualul scrie „Cu ajutorul (4) se determină coordonatele punctului…”. În §10 este vorba de formula (8); trimiterea la (4) provine din §8, unde formula pentru axa numerică poartă numărul (4).

5. Mijlocul segmentului

În particular, dacă $\lambda =1$, punctul $M_0$ este mijlocul segmentului $\overline{M_1{M}_2}$ și, în acest caz:

$$x_0=\frac{x_1+x_2}{2},y_0=\frac{y_1+y_2}{2}\text{\hspace{1em}(9)}$$

fig. 3 — proiecțiile mijlocului pe axe sunt mijloacele proiecțiilor capetelor

Cum se citește figura — formula mijlocului

Pasul 1 — segmentul și mijlocul. $M_1$ (albastru), $M_2$ (portocaliu) și, între ele, $M_0$ (violet). Liniuțele gri de pe segment arată că $M_1{M}_0=M_0{M}_2$.

Pasul 2 — proiectați pe $(Ox)$. Din fiecare punct coboară o linie punctată paralelă cu $(Oy)$ (axa e oblică!) până pe $(Ox)$. Se obțin $x_1$, $x_0$, $x_2$.

Pasul 3 — observați așezarea pe axă. $x_0$ cade exact la jumătatea distanței dintre $x_1$ și $x_2$: $x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$.

Pasul 4 — la fel pe $(Oy)$, cu paralele la $(Ox)$: $y_0$ e la mijlocul dintre $y_1$ și $y_2$.

Pe ce se bazează: formula (8) cu $\lambda =1$; geometric — teorema lui Thales: paralele echidistante tăiate de două secante determină segmente proporționale, deci proiecția paralelă păstrează mijlocul (și, în general, raportul $\lambda$). Aceasta e și explicația faptului că formula (8) funcționează în orice reper afin.

Ce să verificați singuri pe figură: măsurați cu rigla distanțele $x_1\to x_0$ și $x_0\to x_2$ pe axa $Ox$ — sunt egale.

Rezumat

Formula	Enunț	Condiție
(5)	$\overrightarrow{M_1{M}_2}=\{x_2-x_1;y_2-y_1\}$	—
(6)–(7)	$\overrightarrow{M_1{M}_0}=\lambda \overrightarrow{M_0{M}_2}$	$\lambda \ne -1$
(8)	$x_0=\frac{x_1+\lambda x_2}{1+\lambda }$, $y_0=\frac{y_1+\lambda y_2}{1+\lambda }$	$\lambda \ne -1$
(9)	$x_0=\frac{x_1+x_2}{2}$, $y_0=\frac{y_1+y_2}{2}$	$\lambda =1$

Întrebări de control

1. Unde se află $M_0$ dacă $\lambda =-\frac{1}{2}$? Dar dacă $\lambda =-2$?
2. În ce raport împarte mijlocul segmentului $\overline{M_2{M}_1}$ (capetele luate invers)?
3. Arătați, cu formula (8), că $\lambda =0$ dă $M_0=M_1$.
4. De ce formula mijlocului (9) e valabilă și în reperele cu axe oblice?
5. Punctul $M_0$ împarte $\overline{M_1{M}_2}$ în raportul $\lambda$. În ce raport împarte $M_0$ segmentul $\overline{M_2{M}_1}$?

Legături

• Anterior: Coordonatele punctului. Raza vectoare
• Continuare: Sistemul rectangular cartezian. Coordonatele și modulul unui vector
• Se sprijină pe: Raportul a doi vectori coliniari, Operații cu vectori în coordonate
• Concepte: Raportul de împărțire a segmentului
• Recapitulare: Recapitulare — baze și coordonate