Combinație liniară. Dependență și independență liniară

Considerăm sistemul finit $\sigma$ de vectori ${\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,{\vec{a}}_3,\dots ,{\vec{a}}_n$.

1. Combinație liniară

Definiția 6.1

Vom spune că vectorul $\vec{a}$ este o combinație liniară a vectorilor sistemului $\sigma$, dacă există așa numere reale ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_n$ încât

$$\vec{a}={\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+{\alpha }_3{\vec{a}}_3+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n\text{\hspace{1em}(1)}$$

Ce înseamnă concret

„Combinație liniară” = tot ce se poate obține din vectorii dați folosind doar cele două operații pe care le cunoaștem: înmulțirea cu un număr și adunarea. Numerele ${\alpha }_i$ se numesc coeficienți.

2. Sistem liniar dependent

Definiția 6.2

Sistemul finit $\sigma$ se numește liniar dependent, dacă există așa numere reale ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,\dots ,{\alpha }_n$ neegale cu zero simultan, încât

$${\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+{\alpha }_3{\vec{a}}_3+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}\text{\hspace{1em}(2)}$$

Nota 6.3 — condiția „nu toți nuli", scrisă cu o formulă

Faptul că numerele ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_n$ nu-s egale simultan cu zero este echivalent cu următoarea condiție:

$${\alpha }_1^2+{\alpha }_2^2+{\alpha }_3^2+\cdots +{\alpha }_n^2=\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2\ne 0\text{\hspace{1em}(3)}$$

Suma de pătrate este $0$ exact când toți termenii sunt $0$ — de aceea (3) este o rescriere comodă, calculabilă, a condiției „măcar un coeficient e nenul”.

Pas cu pas — cum se citește condiția $\sum {\alpha }_i^2\ne 0$

Pasul 1 — ce spune fiecare termen. ${\alpha }_i^2\ge 0$ pentru orice număr real, cu ${\alpha }_i^2=0$ numai dacă ${\alpha }_i=0$.

Pasul 2 — ce spune suma. O sumă de numere $\ge 0$ este $0$ doar dacă fiecare termen e $0$. (Dacă unul ar fi strict pozitiv, suma ar fi strict pozitivă — nu are cine să-l compenseze, pentru că nu există termeni negativi.)

Pasul 3 — negăm. Deci:

$$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2=0⟺{\alpha }_1={\alpha }_2=\cdots ={\alpha }_n=0$$ $$\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2\ne 0⟺\text{ma˘car un }{\alpha }_i\ne 0$$

Pasul 4 — de ce e utilă rescrierea. „Măcar unul e nenul” este o afirmație cu există, greu de manipulat în calcule. „$\sum {\alpha }_i^2\ne 0$” este o inegalitate numerică pe care o poți scrie, aduna și verifica direct — cum se și face în demonstrațiile teoremelor 6.6 și 6.7.

Capcană. Nu confundați cu $\sum {\alpha }_i\ne 0$! Suma simplă poate fi $0$ cu coeficienți nenuli (de ex. $1+(-1)=0$). Tocmai de aceea se folosesc pătratele.

Partea stângă a egalității (2) cu condiția (3) se mai numește combinație liniară netrivială a vectorilor sistemului $\sigma$.

Reformulare

Relația (2) înseamnă că sistemul $\sigma$ este liniar dependent atunci când $\vec{0}$ este o combinație liniară netrivială a vectorilor acestui sistem.

Combinația trivială — cea cu toți coeficienții $0$ — dă întotdeauna $\vec{0}$, pentru orice sistem. Ea nu spune nimic. Interesant este dacă $\vec{0}$ se poate obține și altfel.

3. Sistem liniar independent

Definiția 6.4

Dacă egalitatea (2) are loc numai atunci când ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=\cdots ={\alpha }_n=0$ $\left(\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2=0\right)$, atunci sistemul $\sigma$ se numește liniar independent.

	Liniar dependent	Liniar independent
$\vec{0}$ se scrie ca	combinație netrivială	doar trivial
Intuitiv	un vector „e de prisos”	fiecare vector aduce ceva nou
Formal	$\exists {\alpha }_i$ nu toți nuli cu $\sum {\alpha }_i{\vec{a}}_i=\vec{0}$	$\sum {\alpha }_i{\vec{a}}_i=\vec{0}\Rightarrow$ toți ${\alpha }_i=0$

4. Cazul unui singur vector

Consecință imediată

Sistemul $\{\vec{a}\}$, ce constă dintr-un singur vector, va fi liniar dependent atunci și numai atunci, când $\vec{a}=\vec{0}$.

De ce

Dacă $\vec{a}=\vec{0}$, luăm ${\alpha }_1=1\ne 0$ și avem $1\cdot \vec{0}=\vec{0}$ — combinație netrivială, deci dependent. Invers, dacă ${\alpha }_1\vec{a}=\vec{0}$ cu ${\alpha }_1\ne 0$, atunci $|{\alpha }_1|\cdot |\vec{a}|=0$, deci $|\vec{a}|=0$, adică $\vec{a}=\vec{0}$.

fig. T1 — sistemul cu un singur vector: $\vec{a}=\vec{0}$ față de $\vec{a}\ne \vec{0}$

Cum se citește figura — consecința imediată (sistemul cu un singur vector)

Pasul 1 — stânga: $\vec{a}=\vec{0}$. Cercul portocaliu gol este vectorul nul. Înmulțit cu $1$ rămâne cercul gol: $1\cdot \vec{0}=\vec{0}$ cu coeficientul $1\ne 0$ — combinație netrivială, deci sistem dependent.

Pasul 2 — dreapta: $\vec{a}\ne \vec{0}$. Toate săgețile pornesc din aceeași origine (linia verticală punctată): albastrul este $\vec{a}$, violetele sunt $2\vec{a}$, $0,5\vec{a}$ și $-\vec{a}$.

Pasul 3 — căutăm $\vec{0}$ printre multipli. Oricât de mic sau de negativ ar fi $\alpha \ne 0$, săgeata $\alpha \vec{a}$ are lungimea $|\alpha |\cdot |\vec{a}|>0$. Singurul multiplu redus la un punct este $0\cdot \vec{a}$ (punctul gri de jos).

Pasul 4 — concluzia. $\alpha \vec{a}=\vec{0}$ doar pentru $\alpha =0$, deci $\{\vec{a}\}$ este liniar independent.

Pe ce se bazează: definiția 6.2 și definiția 6.4; definiția 5.1 ($|\alpha \vec{a}|=|\alpha |\cdot |\vec{a}|$); modulul — $|\vec{a}|=0$ doar pentru $\vec{a}=\vec{0}$.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) săgețile violet stau toate pe dreapta lui $\vec{a}$ — nicio înmulțire nu „iese” de pe ea; (2) imaginați-vă $\alpha =0,01$: săgeata e minusculă, dar tot nu e un punct.

Exemplu ilustrativ

fig. 1 — doi vectori coliniari sunt întotdeauna liniar dependenți

Dacă $\vec{b}=2\vec{a}$, atunci $2\vec{a}+(-1)\vec{b}=\vec{0}$, cu coeficienții ${\alpha }_1=2$ și ${\alpha }_2=-1$ — ambii nenuli. Sistemul $\{\vec{a},\vec{b}\}$ este deci liniar dependent. Acesta e conținutul teoremei 6.10.

Întrebări de control

1. De ce condiția din definiția 6.2 este „nu toate nule” și nu „toate nenule”?
2. Poate un sistem care conține vectorul $\vec{0}$ să fie liniar independent?
3. Scrieți combinația trivială pentru un sistem de 3 vectori. Ce valoare are ea, întotdeauna?
4. Este sistemul $\{\vec{a},\vec{a}\}$ liniar dependent? Justificați.
5. De ce se preferă scrierea (3) în locul formulării „măcar unul dintre ${\alpha }_i$ este nenul”?

Legături

• Anterior: Raportul a doi vectori coliniari
• Continuare: Teoremele fundamentale ale dependenței liniare
• Concepte: Combinație liniară, Dependență liniară