Teoremele fundamentale ale dependenței liniare

Teorema 6.5 — caracterizarea dependenței

Teorema 6.5

Sistemul $\sigma$ este liniar dependent atunci și numai atunci, când cel puțin unul din vectorii acestui sistem este o combinație liniară a celorlalți vectori ai sistemului $\sigma$.

De ce contează

Aceasta este traducerea intuitivă a definiției: „liniar dependent” = un vector este de prisos, pentru că poate fi reconstruit din ceilalți.

Demonstrație.

Necesitatea. Fie sistemul $\sigma$ liniar dependent și $n>1$. Atunci are loc (2) cu condiția (3). Fără a ieși din comun, presupunem că ${\alpha }_1\ne 0$. Atunci din (2) putem scrie:

$${\alpha }_1{\vec{a}}_1=-{\alpha }_2{\vec{a}}_2-{\alpha }_3{\vec{a}}_3-\cdots -{\alpha }_n{\vec{a}}_n$$

și, împărțind la ${\alpha }_1$:

$${\vec{a}}_1=-\frac{{\alpha }_2}{{\alpha }_1}{\vec{a}}_2-\frac{{\alpha }_3}{{\alpha }_1}{\vec{a}}_3-\cdots -\frac{{\alpha }_n}{{\alpha }_1}{\vec{a}}_n$$

Notăm $-\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_1}={\beta }_i$ $(i=2,3,\dots ,n)$. Atunci

$${\vec{a}}_1={\beta }_2{\vec{a}}_2+{\beta }_3{\vec{a}}_3+\cdots +{\beta }_n{\vec{a}}_n\text{\hspace{1em}(4)}$$

Deci vectorul ${\vec{a}}_1$ (ales după coeficientul ${\alpha }_1\ne 0$) este o combinație liniară a celorlalți vectori ai sistemului $\sigma$.

Pas cu pas — necesitatea, cu un exemplu numeric

Fie $3{\vec{a}}_1+6{\vec{a}}_2-9{\vec{a}}_3=\vec{0}$ (coeficienți: $3$, $6$, $-9$ — nu toți nuli, deci sistem dependent).

Pasul 1 — alegem un coeficient nenul. Aici ${\alpha }_1=3\ne 0$. (Am fi putut alege oricare dintre ei — de aceea teorema spune „cel puțin unul”.)

Pasul 2 — izolăm termenul ales. Trecem restul în dreapta:

$$3{\vec{a}}_1=-6{\vec{a}}_2+9{\vec{a}}_3$$

Pasul 3 — împărțim la coeficientul ales. Aici e singurul loc unde avem nevoie de ${\alpha }_1\ne 0$:

$${\vec{a}}_1=-2{\vec{a}}_2+3{\vec{a}}_3$$

Pasul 4 — botezăm coeficienții noi. În demonstrația generală se notează ${\beta }_i=-\frac{{\alpha }_i}{{\alpha }_1}$; aici ${\beta }_2=-2$, ${\beta }_3=3$. Notația nu schimbă nimic, doar face formula lizibilă.

Pasul 5 — citim rezultatul. ${\vec{a}}_1$ este o combinație liniară a celorlalți. Exact ce trebuia arătat.

Sensul invers (suficiența) face aceiași pași, dar în ordine inversă: pornim de la ${\vec{a}}_1={\beta }_2{\vec{a}}_2+{\beta }_3{\vec{a}}_3$, mutăm totul în stânga și obținem $(-1){\vec{a}}_1+{\beta }_2{\vec{a}}_2+{\beta }_3{\vec{a}}_3=\vec{0}$. Coeficientul $-1$ este garantat nenul — de aceea combinația e netrivială, indiferent cât sunt ${\beta }_i$.

Suficiența. Fie unul din vectorii sistemului $\sigma$, de exemplu ${\vec{a}}_1$, este o combinație liniară a celorlalți vectori. Atunci există numerele ${\beta }_2,{\beta }_3,\dots ,{\beta }_n$ încât are loc (4). Notăm ${\alpha }_1=-1$, ${\alpha }_i={\beta }_i$ $(i=2,3,\dots ,n)$. Din (4) rezultă că

$${\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+{\alpha }_3{\vec{a}}_3+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}$$

și cel puțin ${\alpha }_1\ne 0$. Prin urmare sistemul de vectori $\sigma$ este liniar dependent. $■$

fig. T1 — teorema 6.5 pe exemplul $3{\vec{a}}_1+6{\vec{a}}_2-9{\vec{a}}_3=\vec{0}$

Cum se citește figura — teorema 6.5

Pasul 1 — stânga, ipoteza. Termenii relației sunt desenați cap la cap: violet $3{\vec{a}}_1$, albastru $6{\vec{a}}_2$, portocaliu $-9{\vec{a}}_3$. Traseul revine în punctul de plecare — asta înseamnă „$=\vec{0}$”.

Pasul 2 — alegem termenul de izolat. Coeficientul lui ${\vec{a}}_1$ este $3\ne 0$, deci putem împărți la el. Latura violet este cea care se va exprima prin celelalte.

Pasul 3 — dreapta, după izolare. Același triunghi: violetul (la aceeași scară) a rămas neschimbat, iar albastrul și portocaliul sunt parcurse în sens invers — au trecut în partea cealaltă a egalității, cu semn schimbat. Împărțind la $3$: ${\vec{a}}_1=-2{\vec{a}}_2+3{\vec{a}}_3$, iar violetul devine latura de închidere.

Pasul 4 — sensul invers (suficiența). Citiți dreapta pornind de la formulă: din ${\vec{a}}_1=-2{\vec{a}}_2+3{\vec{a}}_3$ trecem ${\vec{a}}_1$ în stânga cu coeficientul $-1$ și traseul se închide din nou; coeficientul $-1\ne 0$ face combinația netrivială.

Pe ce se bazează: definiția 6.2; regula poligonului — traseu închis ⟺ sumă nulă; Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr (împărțirea la $3$, mutarea termenilor).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) comparați panourile: violetul e identic, albastrul și portocaliul au aceleași lungimi, dar săgețile întoarse; (2) dacă coeficientul lui ${\vec{a}}_1$ ar fi fost $0$, latura violet ar lipsi din stânga și n-ar avea ce izola.

Atenție: „cel puțin unul", nu „oricare"

Teorema nu spune că fiecare vector al unui sistem dependent se exprimă prin ceilalți — doar că măcar unul o face. În demonstrație, vectorul care se poate izola este exact cel cu coeficient nenul.

Exemplu: în sistemul $\{\vec{a},2\vec{a},\vec{b}\}$ cu $\vec{b}$ necoliniar cu $\vec{a}$, vectorul $\vec{b}$ nu se exprimă prin ceilalți doi, deși sistemul este dependent.

Teorema 6.6 — sistemele care conțin vectorul nul

Teorema 6.6

Dacă vectorul $\vec{0}\in \sigma$, atunci sistemul $\sigma$ este liniar dependent.

Demonstrație. Fie $\vec{0}\in \sigma$ și $n>1$. Din nou putem presupune că ${\vec{a}}_1=\vec{0}$. Luăm ${\alpha }_1\ne 0$, iar ${\alpha }_2={\alpha }_3=\cdots ={\alpha }_n=0$. Atunci

$${\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n={\alpha }_1\vec{0}=\vec{0}\text{și}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2\ne 0.$$

Deci sistemul $\sigma$ este liniar dependent. $■$

fig. T2 — teorema 6.6: coeficientul nenul „se pune” pe vectorul nul

Cum se citește figura — teorema 6.6

Pasul 1 — sus, sistemul. ${\vec{a}}_1=\vec{0}$ (cercul portocaliu gol), ${\vec{a}}_2$ (albastru), ${\vec{a}}_3$ (verde) — ultimii doi pot fi oricum.

Pasul 2 — alegem coeficienții. Coeficientul nenul ($1$) îl primește vectorul nul; vectorii „adevărați” primesc $0$.

Pasul 3 — jos, fiecare termen. Toți trei devin puncte: $1\cdot \vec{0}=\vec{0}$, pentru că $\alpha \vec{0}=\vec{0}$; iar $0\cdot {\vec{a}}_2=0\cdot {\vec{a}}_3=\vec{0}$, pentru că $0\cdot \vec{a}=\vec{0}$.

Pasul 4 — concluzia. Suma este $\vec{0}$, iar suma pătratelor coeficienților este $1\ne 0$: combinația e netrivială, deci sistemul e dependent.

Pe ce se bazează: cazurile particulare ale înmulțirii cu un număr; definiția 6.2 și nota 6.3.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) rotiți în gând ${\vec{a}}_2$ și ${\vec{a}}_3$ oricum: rândul de jos nu se schimbă; (2) dați coeficientul nenul lui ${\vec{a}}_2$ în loc de ${\vec{a}}_1$: termenul lui n-ar mai fi un punct.

Test rapid

Vezi $\vec{0}$ în sistem ⇒ sistemul e dependent. Nu mai e nevoie de niciun calcul.

Teorema 6.7 — dependența se moștenește în sus

Teorema 6.7

Dacă un subsistem ${\sigma }^{\prime }$ al sistemului $\sigma$ este liniar dependent, atunci și întreg sistemul $\sigma$ este liniar dependent.

Demonstrație. Fie ${\sigma }^{\prime }=\{{\vec{a}}_1,{\vec{a}}_2,\dots ,{\vec{a}}_k\}$, unde $k<n$, liniar dependent. Prin urmare există ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k$ astfel încât

$$\sum _{i=1}^k{\alpha }_i^2\ne 0\text{și}{\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\vec{a}}_k=\vec{0}.$$

Luăm ${\alpha }_{k+1}={\alpha }_{k+2}=\cdots ={\alpha }_n=0$ și obținem:

$${\alpha }_1{\vec{a}}_1+{\alpha }_2{\vec{a}}_2+\cdots +{\alpha }_k{\vec{a}}_k+{\alpha }_{k+1}{\vec{a}}_{k+1}+\cdots +{\alpha }_n{\vec{a}}_n=\vec{0}\text{și}\sum _{i=1}^n{\alpha }_i^2\ne 0.$$

Așadar sistemul $\sigma$ este liniar dependent. $■$

fig. T3 — teorema 6.7: vectorul adăugat primește coeficientul $0$

Cum se citește figura — teorema 6.7

Pasul 1 — stânga sus, subsistemul. ${\sigma }^{\prime }=\{\vec{a},\vec{b}\}$ cu $\vec{b}=2\vec{a}$: săgeata portocalie este de două ori albastra.

Pasul 2 — stânga jos, dependența lui ${\sigma }^{\prime }$. $2\vec{a}$ (albastru, dus) urmat de $(-1)\vec{b}$ (portocaliu, întors) revine în punctul de plecare (cercul violet): $2\vec{a}+(-1)\vec{b}=\vec{0}$.

Pasul 3 — dreapta, sistemul mare. Se adaugă $\vec{c}$ (verde), oarecare. Primind coeficientul $0$, termenul $0\cdot \vec{c}$ este doar un punct (cercul verde mic) și nu adaugă nicio latură traseului.

Pasul 4 — concluzia. Traseul din dreapta este identic cu cel din stânga și se închide la fel; coeficienții $2$, $-1$, $0$ nu sunt toți nuli, deci $\sigma$ este dependent.

Pe ce se bazează: definiția 6.2; $0\cdot \vec{c}=\vec{0}$ și elementul neutru al adunării.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) oricâți vectori verzi ați adăuga, fiecare cu coeficientul $0$, traseul rămâne cel din stânga; (2) figura nu merge invers: scoțând $\vec{b}$ din ${\sigma }^{\prime }$ rămâne $\{\vec{a}\}$, care e independent — vezi întrebarea 4.

Ideea: „completare cu zerouri"

Relația care dovedea dependența subsistemului rămâne valabilă în sistemul mare, dacă dăm coeficientul $0$ vectorilor adăugați. Suma de pătrate rămâne nenulă, pentru că termenii nenuli erau deja acolo.

Corolarul 6.8 — independența se moștenește în jos

Corolarul 6.8

Dacă sistemul $\sigma$ este liniar independent, atunci și orice subsistem al lui este liniar independent.

De ce este doar contrapoziția teoremei 6.7

Teorema 6.7 spune: subsistem dependent ⇒ sistem dependent. Negând ambele părți și inversând implicația: sistem independent ⇒ orice subsistem independent. Nu e nevoie de o demonstrație nouă.

fig. T4 — corolarul 6.8: subsistemele unui sistem independent

Cum se citește figura — corolarul 6.8

Pasul 1 — stânga, sistemul mare. $\vec{a}$ (albastru), $\vec{b}$ (portocaliu, spre privitor) și $\vec{c}$ (verde, în sus), din același punct $O$, sunt necoplanari — deci $\sigma$ este independent (teorema 6.11).

Pasul 2 — planele colorate. Umbra albastră este planul lui $\vec{a}$ și $\vec{b}$, umbra verde — planul lui $\vec{a}$ și $\vec{c}$. Fiecare pereche determină un plan, deci nicio pereche nu e coliniară.

Pasul 3 — dreapta, lista subsistemelor. Perechile sunt necoliniare (teorema 6.10), vectorii singuri sunt nenuli — toate subsistemele sunt independente.

Pasul 4 — mecanismul logic (roșu). Nu e nevoie să verificăm subsistem cu subsistem: dacă vreunul ar fi dependent, teorema 6.7 ar face tot $\sigma$ dependent, contrazicând pasul 1.

Pe ce se bazează: teorema 6.7, prin contrapoziție (pasul 4); teorema 6.11 și teorema 6.10 (pașii 1–3); cazul unui singur vector.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) culcați în gând $\vec{c}$ în planul albastru: $\sigma$ devine dependent, dar $\{\vec{a},\vec{b}\}$ rămâne independent — reciproca corolarului e falsă; (2) numărați subsistemele nevide proprii: $3$ perechi și $3$ vectori singuri.

Rezumat: cele patru rezultate

graph LR
  A["Def. 6.2<br/>liniar dependent"] --> B["T. 6.5<br/>un vector = combinație<br/>a celorlalți"]
  A --> C["T. 6.6<br/>0 în sistem<br/>⇒ dependent"]
  A --> D["T. 6.7<br/>subsistem dependent<br/>⇒ sistem dependent"]
  D --> E["Cor. 6.8<br/>sistem independent<br/>⇒ subsisteme independente"]

Întrebări de control

1. În demonstrația teoremei 6.5, de ce este esențial ca ${\alpha }_1\ne 0$?
2. Dați un exemplu de sistem liniar dependent în care un anumit vector nu se exprimă prin ceilalți.
3. Poate un sistem liniar independent să conțină doi vectori egali?
4. Este adevărat reciproc la teorema 6.7 — dacă $\sigma$ e dependent, orice subsistem al lui este dependent?
5. Ce sisteme de un singur vector sunt liniar independente?

Legături

• Anterior: Combinație liniară. Dependență și independență liniară
• Continuare: Vectori coplanari
• Vezi și: Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară