Sistemul afin de coordonate. Axe și cadrane

Despre ce este paragraful

§9 a dat coordonate vectorilor. §10 face pasul decisiv al geometriei analitice: dă coordonate punctelor, astfel încât fiecare punct al planului să devină o pereche de numere $(x;y)$. Titlul complet din manual: „Sistemul afin de coordonate în plan. Împărțirea segmentului în raportul dat”.

1. Construcția sistemului

Să considerăm mulțimea $P$ a tuturor punctelor și mulțimea $V_2$ a tuturor vectorilor din plan. Introducem în plan un reper afin $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$.

Fie ${\vec{e}}_1=\overrightarrow{O{E}_1}$ și ${\vec{e}}_2=\overrightarrow{O{E}_2}$. Reperul $R$ se poate nota și sub forma $R=\{O,E_1,E_2\}$ — trei puncte în loc de un punct și doi vectori.

Obiect	Denumire	Notare
dreapta $(O{E}_1)$	axa absciselor	$(Ox)$
dreapta $(O{E}_2)$	axa ordonatelor	$(Oy)$
punctul $O$	originea sistemului afin de coordonate	$O$
sistemul întreg	sistem afin de coordonate, stabilit de reperul $R$	$(xOy)$, $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ sau $O{\vec{e}}_1{\vec{e}}_2$

Dreptele $(O{E}_1)$ și $(O{E}_2)$ sunt axe de coordonate și determină în plan așa-numitul sistem afin de coordonate.

Definiția 10.1

Planul în care este introdus un sistem de coordonate se numește plan de coordonate.

2. Cadranele

Axele de coordonate $(Ox)$ și $(Oy)$ împart planul în patru cadrane, dintre care primul se află între direcțiile vectorilor ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$, deci între direcțiile pozitive ale axelor $(Ox)$ și $(Oy)$.

fig. 1 (după fig. 40 din manual) — axe oblice, vectorii de bază, cele patru cadrane și semnele coordonatelor punctelor din fiecare

Cum se citește figura — sistemul afin și cadranele

Pasul 1 — găsiți originea $O$. Este singurul punct comun al celor două axe gri. Totul se măsoară de aici.

Pasul 2 — identificați direcțiile pozitive. Săgeata albastră ${\vec{e}}_1=\overrightarrow{O{E}_1}$ arată sensul pozitiv pe $(Ox)$; săgeata portocalie ${\vec{e}}_2=\overrightarrow{O{E}_2}$ — sensul pozitiv pe $(Oy)$. Observați că axa $(Oy)$ e oblică: sistemul afin nu cere unghi drept.

Pasul 3 — localizați cadranul I. E regiunea „prinsă” între cele două săgeți — între semiaxa pozitivă $Ox$ și semiaxa pozitivă $Oy$.

Pasul 4 — parcurgeți celelalte cadrane. Rotiți-vă în jurul lui $O$ de la cadranul I, trecând peste semiaxa pozitivă $Oy$: urmează II, apoi III, apoi IV.

Pasul 5 — citiți semnele. În fiecare cadran, perechea violetă $(\pm ,\pm )$ spune semnul abscisei și al ordonatei punctelor de acolo. Regula: de partea pozitivă a lui $Oy$ față de $Ox$ → $y>0$; de partea pozitivă a lui $Ox$ față de $Oy$ → $x>0$.

Pe ce se bazează: definiția 9.2 a reperului afin; semnele vin din definiția coordonatelor punctului — $x$ și $y$ sunt coeficienții lui ${\vec{e}}_1$ și ${\vec{e}}_2$ în descompunerea razei vectoare.

Ce să verificați singuri pe figură: alegeți un punct din cadranul III și duceți prin el paralele la axe — ambele intersecții cad pe semiaxele negative.

Sistem afin ≠ caroiaj pătratic

Într-un sistem afin: axele pot face orice unghi, iar unitățile de pe cele două axe ($|{\vec{e}}_1|$ și $|{\vec{e}}_2|$) pot fi diferite. De aceea, în figurile acestui paragraf, coordonatele se citesc ducând paralele la axe, nu perpendiculare. Caroiajul pătratic de pe caietul de matematică este doar cazul particular al reperului rectangular cartezian.

Completare — punctele de pe axe

Punctele situate pe axe nu aparțin niciunui cadran: pe $(Ox)$ au $y=0$, pe $(Oy)$ au $x=0$, iar originea are $O(0;0)$. Semnele din fig. 1 sunt deci stricte ($>0$ sau $<0$).

Întrebări de control

1. Ce diferență există între notațiile $R=\{O,{\vec{e}}_1,{\vec{e}}_2\}$ și $R=\{O,E_1,E_2\}$?
2. De ce cadranul I este cel dintre direcțiile pozitive ale axelor și nu oricare dintre cele patru?
3. Într-un sistem afin cu axele formând un unghi de $30^{\circ }$, ce formă au „pătratele” caroiajului unitar?
4. În ce cadran se află punctele cu $x<0$ și $y>0$? Dar cele cu $x>0$ și $y<0$?

Legături

• Anterior: Reperul afin în plan. Tipuri de repere (§9)
• Continuare: Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor
• Concepte: Sistem afin de coordonate, Reper afin