Probleme rezolvate — vectori

Material adăugat

Aceste probleme nu figurează în notițele de curs. Sunt aplicații clasice ale rezultatelor din §3–§6, alese ca să exerseze exact tehnicile predate. Fiecare soluție este desfăcută în pași și indică rezultatul folosit.

1. Suma vectorilor pe conturul unui poligon

Enunț. Fie $ABCDE$ un pentagon oarecare. Calculați $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EA}$.

Soluție

Pasul 1. Aplicăm repetat relația lui Chasles ($\overrightarrow{XY}+\overrightarrow{YZ}=\overrightarrow{XZ}$), de la stânga la dreapta:

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}$$

Pasul 2. Rămâne $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{AA}=\vec{0}$.

Răspuns: $\vec{0}$.

Generalizare. Suma vectorilor laturilor oricărui poligon închis, parcurs într-un sens, este $\vec{0}$ — linia frântă se închide.

2. Vectorul medianei

Enunț. Fie $M$ mijlocul laturii $[BC]$ a triunghiului $ABC$. Arătați că

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).$$

Soluție

Pasul 1 — scriem $\overrightarrow{AM}$ în două feluri, trecând prin $B$ și prin $C$ (Chasles):

$$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM},\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CM}$$

Pasul 2 — adunăm cele două relații:

$$2\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\left(\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}\right)$$

Pasul 3 — folosim că $M$ e mijloc. $M$ mijlocul lui $[BC]$ înseamnă $\overrightarrow{BM}=-\overrightarrow{CM}$ (lungimi egale, sensuri opuse), deci $\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{CM}=\vec{0}$.

Pasul 4 — împărțim la 2:

$$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)■$$

Rezultate folosite: relația lui Chasles, vectorul opus, înmulțirea cu un scalar.

Interpretare. $\overrightarrow{AM}$ e jumătate din diagonala paralelogramului construit pe $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ — exact regula paralelogramului.

3. Criteriul de coliniaritate a trei puncte

Enunț. Arătați că punctele $A$, $B$, $C$ sunt coliniare $⟺$ există $\lambda \in \mathbb{R}$ cu $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$ (unde $A\ne B$).

Soluție

($\Rightarrow$) Dacă $A$, $B$, $C$ sunt coliniare, atunci segmentele $[AB]$ și $[AC]$ sunt pe aceeași dreaptă, deci $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt coliniari. Cum $\overrightarrow{AB}\ne \vec{0}$, teorema 5.3 dă $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$.

($\Leftarrow$) Dacă $\overrightarrow{AC}=\lambda \overrightarrow{AB}$, atunci $\overrightarrow{AC}\parallel \overrightarrow{AB}$. Cei doi vectori au originea comună $A$, deci reprezentanții lor sunt pe aceeași dreaptă prin $A$ — vezi argumentul originii comune. Prin urmare $C$ e pe dreapta $(AB)$. $■$

De ce e nevoie de $A\ne B$. Dacă $A=B$, atunci $\overrightarrow{AB}=\vec{0}$ și $\lambda \overrightarrow{AB}=\vec{0}$ pentru orice $\lambda$ — criteriul ar da $C=A$, ceea ce nu caracterizează coliniaritatea.

4. Diagonalele paralelogramului se înjumătățesc

Enunț. În paralelogramul $ABCD$, fie $O$ mijlocul diagonalei $[AC]$. Arătați că $O$ este și mijlocul lui $[BD]$.

Soluție

Pasul 1 — traducem ipoteza. $ABCD$ paralelogram $⟺\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

Pasul 2 — folosim afirmația din §3. Din $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ rezultă $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ (vezi regula schimbului de mijloc).

Pasul 3 — calculăm $\overrightarrow{AO}$ pe două drumuri. Fie $O$ mijlocul lui $[AC]$, deci $\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$.

Pasul 4 — calculăm mijlocul lui $[BD]$. Notăm $O^{\prime }$ acest mijloc:

$$\overrightarrow{A{O}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{B{O}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$$ $$=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})$$

(la ultimul pas am folosit pasul 2: $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$).

Pasul 5 — comparăm. $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{A{O}^{\prime }}$, deci $O=O^{\prime }$. $■$

5. Descompunerea după două laturi

Enunț. În triunghiul $ABC$, punctul $P$ împarte latura $[BC]$ astfel încât $\overrightarrow{BP}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$. Descompuneți $\overrightarrow{AP}$ după $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$.

Soluție

Pasul 1 — Chasles prin $B$: $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}$.

Pasul 2 — exprimăm $\overrightarrow{BC}$ prin cei doi vectori-bază: $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}$.

Pasul 3 — înlocuim:

$$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}(-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\left(1-\frac{2}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$$

Răspuns: $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$.

Verificare de bun-simț. Coeficienții au suma $1$ — semnul că $P$ e pe segmentul $[BC]$. Cum $P$ e mai aproape de $C$, coeficientul lui $\overrightarrow{AC}$ e mai mare. ✔

Unicitatea acestei scrieri e garantată de teorema 6.9 ($\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ sunt necoliniari, fiind laturi ale unui triunghi).

6. Verificarea dependenței liniare

Enunț. Fie $\vec{u}=2\vec{a}-\vec{b}$ și $\vec{v}=-6\vec{a}+3\vec{b}$, unde $\vec{a}$, $\vec{b}$ sunt necoliniari. Este sistemul $\{\vec{u},\vec{v}\}$ liniar dependent?

Soluție

Pasul 1 — căutăm o relație. Observăm că $\vec{v}=-3(2\vec{a}-\vec{b})=-3\vec{u}$.

Pasul 2 — scriem combinația nulă. $3\vec{u}+1\cdot \vec{v}=\vec{0}$, cu coeficienții $3$ și $1$ — nu toți nuli.

Pasul 3 — concluzia. Conform definiției 6.2, sistemul este liniar dependent. Echivalent, prin teorema 6.10: $\vec{u}$ și $\vec{v}$ sunt coliniari.

Metoda generală. Puneți $\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}=\vec{0}$, înlocuiți și grupați după $\vec{a}$ și $\vec{b}$:

$$(2\alpha -6\beta )\vec{a}+(-\alpha +3\beta )\vec{b}=\vec{0}$$

Cum $\vec{a}$, $\vec{b}$ sunt necoliniari (deci liniar independenți), ambii coeficienți trebuie să fie nuli:

$$\{\begin{array}{l}2\alpha -6\beta =0\\ -\alpha +3\beta =0\end{array}$$

Sistemul are soluții nenule (de ex. $\alpha =3$, $\beta =1$) ⇒ dependent.

Reține tehnica: dependența unor combinații se reduce întotdeauna la un sistem de ecuații în coeficienți, folosind independența bazei.

7. Trei vectori coplanari

Enunț. Arătați că $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}=3\vec{a}-5\vec{b}$ sunt coplanari, oricare ar fi $\vec{a}$ și $\vec{b}$.

Soluție

Pasul 1. Scriem relația sub forma unei combinații nule:

$$3\vec{a}-5\vec{b}-\vec{c}=\vec{0}$$

Pasul 2. Coeficienții sunt $3$, $-5$, $-1$ — nu toți nuli ($\sum {\alpha }_i^2=9+25+1=35\ne 0$). Deci sistemul $\{\vec{a},\vec{b},\vec{c}\}$ este liniar dependent.

Pasul 3. Prin teorema 6.11, trei vectori liniar dependenți sunt coplanari. $■$

Observație. Nu a fost nevoie de niciun desen. Aceasta este puterea traducerii geometrie → algebră: o proprietate spațială se verifică numărând coeficienți.

Legături

• Recapitulare: Recapitulare — vectori
• Index: Geometrie analitică în plan