Produsul vectorului la un număr

1. Definiția

Definiția 5.1

Prin produsul unui vector $\vec{a}$ la un număr real $\alpha$ vom înțelege așa un vector $\vec{b}=\alpha \vec{a}$, încât:

1. $|\vec{b}|=|\alpha |\cdot |\vec{a}|$, unde $|\alpha |$ este valoarea absolută a numărului;
2. $\vec{b}\uparrow \uparrow \vec{a}⟺\alpha \ge 0$ și $\vec{b}\uparrow \downarrow \vec{a}⟺\alpha <0$.

Astfel, pentru orice vector $\vec{a}$ și orice număr real $\alpha$, vectorul $\vec{b}=\alpha \vec{a}$ se determină univoc.

Precizare — cazul $\vec{a}=\vec{0}$

Condiția 2 a definiției are sens pentru $\vec{a}\ne \vec{0}$. Aplicată literal la $\vec{a}=\vec{0}$ și $\alpha <0$, ar cere simultan $\vec{0}\uparrow \downarrow \vec{0}$ și (prin convenția „$\vec{0}$ e la fel orientat cu orice vector”) $\vec{0}\uparrow \uparrow \vec{0}$. Nu e nicio problemă practică: din condiția 1, $|\vec{b}|=|\alpha |\cdot 0=0$, deci $\vec{b}=\vec{0}$ indiferent de orientare — exact rezultatul $\alpha \cdot \vec{0}=\vec{0}$ de mai jos. Sursa nu formulează explicit această excepție.

fig. 1 — înmulțirea cu un număr schimbă lungimea, și eventual sensul, dar nu direcția

Cum se citește definiția

Numărul $\alpha$ face exact două lucruri:

• $|\alpha |$ decide cât de lung devine vectorul (dilatare dacă $|\alpha |>1$, contractare dacă $|\alpha |<1$);
• semnul lui $\alpha$ decide dacă se păstrează sau se inversează sensul.

Direcția rămâne aceeași — de aceea $\alpha \vec{a}$ este întotdeauna coliniar cu $\vec{a}$.

2. Cazuri particulare evidente

$$\text{1)}0\cdot \vec{a}=\vec{0}\text{și}\alpha \cdot \vec{0}=\vec{0}$$ $$\text{2)}1\cdot \vec{a}=\vec{a}\text{și}(-1)\cdot \vec{a}=-\vec{a}$$

Legătura cu vectorul opus

Proprietatea 2 arată că noțiunea de vector opus, introdusă geometric în §3, coincide cu înmulțirea cu $-1$. Cele două definiții nu se contrazic — se completează.

3. Legătura cu omotetia

Proprietatea 3

Dacă la omotetia $H_O^k$ vectorul $\overrightarrow{AB}$ se transformă în $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}$, atunci

$$\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{AB}.$$

De asemenea $\overrightarrow{O{A}^{\prime }}=k\overrightarrow{OA}$ și $\overrightarrow{O{B}^{\prime }}=k\overrightarrow{OB}$.

fig. T1 — omotetia înmulțește cu $k$ fiecare vector: $k=2$ și $k=-1,5$

Cum se citește figura — proprietatea 3 (omotetia și vectorii)

Pasul 1 — stânga, datele. Centrul $O$ (gri) și segmentul orientat $\overline{AB}$ (albastru).

Pasul 2 — razele (gri punctat). Fiecare vârf pleacă pe raza lui din $O$: $A^{\prime }$ pe raza $[OA)$ cu $O{A}^{\prime }=2\cdot OA$, $B^{\prime }$ pe raza $[OB)$ cu $O{B}^{\prime }=2\cdot OB$.

Pasul 3 — imaginea (violet). $\overline{A^{\prime }{B}^{\prime }}$ este paralel cu $\overline{AB}$, la fel orientat și de două ori mai lung: triunghiurile $OAB$ și $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ sunt asemenea, cu raportul $2$. Deci $\overrightarrow{A^{\prime }{B}^{\prime }}=2\overrightarrow{AB}$.

Pasul 4 — dreapta, $k<0$. Pentru $k=-1,5$ punctele trec de cealaltă parte a lui $O$, pe prelungirile razelor. Segmentul violet are lungimea $1,5\cdot AB$, iar săgeata e întoarsă: semnul lui $k$ inversează sensul.

Pe ce se bazează: definiția omotetiei ($\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\overrightarrow{OM}$, pasul 2); teorema lui Thales și asemănarea triunghiurilor $OAB$, $O{A}^{\prime }{B}^{\prime }$ (pasul 3); definiția 5.1 — modul $|k|$ ori mai mare, sens după semnul lui $k$ (pașii 3–4).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) în stânga, raportul $O{A}^{\prime }/OA$ este $2$, la fel $A^{\prime }{B}^{\prime }/AB$; (2) în dreapta, $A$ și $A^{\prime }$ sunt de o parte și de alta a lui $O$, iar săgeata violet are sensul opus celei albastre.

Ce este omotetia $H_O^k$

Omotetia de centru $O$ și coeficient $k\ne 0$ este transformarea care duce fiecare punct $M$ în punctul $M^{\prime }$ de pe dreapta $(OM)$ cu $\overrightarrow{O{M}^{\prime }}=k\overrightarrow{OM}$. Ea „umflă” sau „dezumflă” figura de $|k|$ ori față de $O$, inversând poziția dacă $k<0$. Proprietatea 3 spune că omotetia și înmulțirea cu un scalar sunt aceeași operație, privită o dată asupra punctelor și o dată asupra vectorilor. Acesta este instrumentul cu care se demonstrează distributivitatea față de suma de vectori.

4. Consecință: coliniaritatea

Definiția 5.1 garantează $\alpha \vec{a}\parallel \vec{a}$ pentru orice $\alpha$. Reciproca — orice vector coliniar cu $\vec{a}$ se obține așa — este conținutul teoremei 5.3.

Întrebări de control

1. De ce în punctul 2 al definiției apare $\alpha \ge 0$ (cu egal), și nu $\alpha >0$?
2. Ce vector este $\alpha \vec{a}$ dacă $\alpha =0$? Ce orientare are el?
3. Comparați $|3\vec{a}|$, $|-3\vec{a}|$ și $3|\vec{a}|$.
4. Construiți grafic $-\frac{1}{2}\vec{a}$ pentru un $\vec{a}$ dat.
5. De ce $\alpha \vec{a}$ nu poate fi niciodată necoliniar cu $\vec{a}$?

Legături

• Anterior: Scăderea vectorilor
• Continuare: Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr
• Concepte: Omotetie, Vectori coliniari