Baza spațiului V₂. Coordonatele vectorului

1. Baza

Definiția 9.1

Orice pereche ordonată $\{\vec{a},\vec{b}\}$ de vectori liniar independenți (necoliniari) din $V_2$ se numește bază a acestui spațiu.

„Liniar independenți" și „necoliniari" spun același lucru

Pentru doi vectori, cele două condiții sunt echivalente — este exact teorema 6.10. Manualul le scrie pe amândouă ca să lege limbajul algebric (independență) de cel geometric (necoliniaritate).

Cuvântul „ordonată" contează

$\{\vec{a},\vec{b}\}$ și $\{\vec{b},\vec{a}\}$ sunt baze diferite: primul vector al bazei dă prima coordonată, al doilea — a doua. Schimbând ordinea, se schimbă ordinea coordonatelor (vezi §3).

2. Coordonatele unui vector în bază

După cum s-a arătat în teorema 6.9, pentru orice vector $\vec{c}\in V_2$ există descompunerea

$$\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$$

a acestui vector după vectorii de bază, și această descompunere este unică.

Definiție

Numerele $\alpha$ și $\beta$ din descompunerea $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ se numesc coordonatele vectorului $\vec{c}$ în baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$ și se notează

$$\vec{c}=\{\alpha ;\beta {\}}_{\{\vec{a},\vec{b}\}}$$

fig. 1 — parcurgem de 2 ori $\vec{a}$, apoi de 1,5 ori $\vec{b}$: ajungem la vârful lui $\vec{c}$, deci $\vec{c}=\{2;1,5\}$

Cum se citește figura — coordonatele în bază

Pasul 1 — baza. Săgețile groase din $O$: albastră $\vec{a}$, portocalie $\vec{b}$. Liniile gri punctate prelungesc direcțiile lor — sunt „axele” bazei.

Pasul 2 — vectorul de exprimat. Săgeata violetă $\vec{c}$, tot din $O$.

Pasul 3 — drumul pe direcția lui $\vec{a}$. Săgeata albastră punctată merge pe prelungirea lui $\vec{a}$ până la paralela dusă prin vârful lui $\vec{c}$. Lungimea ei este de 2 ori $\vec{a}$ ⇒ $\alpha =2$.

Pasul 4 — drumul pe direcția lui $\vec{b}$. Din acel punct, săgeata portocalie punctată, paralelă cu $\vec{b}$, urcă exact până la vârful lui $\vec{c}$. Lungimea ei este de 1,5 ori $\vec{b}$ ⇒ $\beta =1,5$.

Pasul 5 — închiderea. Cele două săgeți punctate, cap la cap, ajung în vârful lui $\vec{c}$: $\vec{c}=2\vec{a}+1,5\vec{b}$.

Pe ce se bazează: teorema 6.9 — construcția de aici este exact construcția cu paralele din demonstrația ei; regula triunghiului pentru pasul 5.

Ce să verificați singuri pe figură: linia gri punctată de sus, prin vârful lui $\vec{c}$, este paralelă cu $\vec{a}$ — ea completează paralelogramul cu laturile $2\vec{a}$ și $1,5\vec{b}$.

Precizare față de textul manualului

Manualul scrie „pentru orice vector $\vec{c}\in V$”. Corect este $\vec{c}\in V_2$: descompunerea după doi vectori există doar pentru vectorii coplanari cu ei. Un vector din spațiu care iese din plan nu se poate scrie ca $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ (ar fi coplanar cu $\vec{a}$ și $\vec{b}$ — contradicție).

fig. 2 (din §6) — baza „pavează” planul cu o rețea de paralelograme; coordonatele spun pe ce nod al rețelei (sau între ce noduri) cade vârful vectorului

Pas cu pas — de ce e nevoie și de existență, și de unicitate

Coordonatele trebuie să funcționeze ca o adresă: fiecare vector are o adresă și fiecare adresă aparține unui singur vector.

Pasul 1 — existența asigură că orice vector are adresă. Dacă un vector $\vec{c}\in V_2$ n-ar putea fi scris ca $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, el n-ar avea coordonate. Teorema 6.9 exclude această situație.

Pasul 2 — unicitatea asigură că adresa nu e ambiguă. Dacă $\vec{c}=2\vec{a}+\vec{b}$ și, totodată, $\vec{c}=5\vec{a}-\vec{b}$, am avea două „coordonate” pentru același vector și notația $\{\alpha ;\beta \}$ n-ar mai însemna nimic precis. Tot teorema 6.9 exclude asta.

Pasul 3 — și invers: o pereche de numere determină un singur vector. Dat $\{\alpha ;\beta \}$, vectorul $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ e unic determinat (operațiile cu vectori au rezultat unic).

Pasul 4 — concluzia. Între vectorii din $V_2$ și perechile ordonate de numere reale există o corespondență biunivocă, odată ce baza e fixată:

$$\vec{c}\in V_2⟷(\alpha ,\beta )\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}$$

Unde s-a folosit fiecare ipoteză. Necoliniaritatea bazei este cea care dă unicitatea (vezi demonstrația teoremei 6.9). Cu o „bază” de doi vectori coliniari, aproape niciun vector n-ar avea coordonate, iar cei care ar avea — ar avea o infinitate.

3. Coordonatele depind de bază

Completare — același vector, baze diferite

Coordonatele nu sunt o proprietate a vectorului singur, ci a vectorului în raport cu o bază.

• Vectorii bazei înșiși: $\vec{a}=1\cdot \vec{a}+0\cdot \vec{b}=\{1;0{\}}_{\{\vec{a},\vec{b}\}}$ și $\vec{b}=\{0;1{\}}_{\{\vec{a},\vec{b}\}}$.
• Vectorul nul: $\vec{0}=\{0;0\}$ în orice bază.
• Schimbând ordinea bazei: dacă $\vec{c}=\{\alpha ;\beta {\}}_{\{\vec{a},\vec{b}\}}$, atunci $\vec{c}=\{\beta ;\alpha {\}}_{\{\vec{b},\vec{a}\}}$.
• Înlocuind un vector al bazei cu dublul lui: dacă $\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, atunci $\vec{c}=\frac{\alpha }{2}(2\vec{a})+\beta \vec{b}$, adică $\vec{c}=\{\frac{\alpha }{2};\beta {\}}_{\{2\vec{a},\vec{b}\}}$.

De aceea indicele $\{\vec{a},\vec{b}\}$ din notație nu e decorativ: fără el, coordonatele nu au sens.

Întrebări de control

1. De ce o bază a lui $V_2$ are exact doi vectori — nici unul, nici trei?
2. Pot $\vec{a}$ și $2\vec{a}$ forma o bază? Dar $\vec{a}$ și $\vec{a}+\vec{b}$, dacă $\{\vec{a},\vec{b}\}$ e bază?
3. Ce coordonate are $\vec{a}-3\vec{b}$ în baza $\{\vec{a},\vec{b}\}$? Dar în baza $\{\vec{b},\vec{a}\}$?
4. Explicați de ce în definiția coordonatelor e esențial cuvântul „unică”.
5. Arătați că $\vec{c}=\vec{0}$ dacă și numai dacă ambele coordonate ale lui sunt nule.

Legături

• Anterior: Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului
• Continuare: Reperul afin în plan. Tipuri de repere
• Se sprijină pe: Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari
• Concepte: Bază, Combinație liniară