Transformarea sistemului afin de coordonate

Despre ce este paragraful

Coordonatele unui punct nu sunt o proprietate a punctului: depind de reperul ales (§9). Un același punct $M$ are o pereche de numere într-un sistem și alta în alt sistem.

§15 răspunde la întrebarea practică: dacă știu coordonatele în sistemul nou, cum le aflu în cel vechi? Răspunsul e o pereche de formule liniare. Ele sunt instrumentul prin care, mai târziu, o ecuație complicată de curbă se aduce la o formă simplă, alegând un sistem potrivit.

1. Datele problemei

Să cercetăm în plan două sisteme afine de coordonate: $O e_{1} e_{2}$ , numit sistem vechi, și $O^{'} e_{1}^{'} e_{2}^{'}$ , numit sistem nou. Fie $M$ un punct arbitrar al planului, care are coordonatele $x$ , $y$ în sistemul vechi și coordonatele $x^{'}$ , $y^{'}$ în sistemul nou.

Problema transformării coordonatelor

Știind (fiind date) coordonatele originii sistemului nou și coordonatele vectorilor de coordonate noi în sistemul vechi:
$O^{'} (x_{0}; y_{0}), e_{1}^{'} = {c_{11}; c_{21}}, e_{2}^{'} = {c_{12}; c_{22}} (1)$
să se exprime coordonatele $x$ , $y$ ale punctului $M$ din sistemul vechi prin coordonatele $x^{'}$ , $y^{'}$ ale aceluiași punct $M$ în raport cu noul sistem.

Atenție la indici: $c_{21}$ , nu $c_{12}$

Coordonatele lui $e_{1}^{'}$ sunt ${c_{11}; c_{21}}$ — primul indice variază, al doilea rămâne $1$ . Convenția: $c_{ij}$ = coordonata $i$ a vectorului nou $j$ . Indicele al doilea spune al cui vector este; primul spune care coordonată.

Așa, vectorii noi devin coloanele matricei de trecere (vezi secțiunea 3). Cine scrie coordonatele pe rânduri obține matricea transpusă și formule greșite.

2. Deducerea formulelor

Conform definiției coordonatelor vectorilor și punctelor, din (1) obținem:

e_{1}^{'} = c_{11} e_{1} + c_{21} e_{2}, e_{2}^{'} = c_{12} e_{1} + c_{22} e_{2}, O O^{'} = x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2} (2)

Întotdeauna

O M = O O^{'} + O^{'} M (3)

Având în vedere că

O M = x e_{1} + y e_{2}, O O^{'} = x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2}, O^{'} M = x^{'} e_{1}^{'} + y^{'} e_{2}^{'}

și formulele (2), din (3) obținem:

x e_{1} + y e_{2} = x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2} + (c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'}) e_{1} + (c_{21} x^{'} + c_{22} y^{'}) e_{2}

(x - (c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'} + x_{0})) e_{1} + (y - (c_{21} x^{'} + c_{22} y^{'} + y_{0})) e_{2} = 0 (4)

Deoarece vectorii $e_{1}$ și $e_{2}$ sunt necoliniari, ei sunt liniar independenți; atunci egalitatea (4) are loc atunci și numai atunci, când

{x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'} + x_{0}, y = c_{21} x^{'} + c_{22} y^{'} + y_{0} . (5)

figură fig. 1 (după fig. 56 din manual) — două sisteme afine oarecare; drumul $O \to O^{'} \to M$ și drumul direct $O \to M$ dau același vector

Cum se citește figura — deducerea formulelor (5)

Pasul 1 — cele două sisteme. Albastru: sistemul vechi, cu originea $O$ și vectorii $e_{1}$ , $e_{2}$ (oblici — e un sistem afin, nu neapărat rectangular). Portocaliu: sistemul nou, cu originea $O^{'}$ și vectorii $e_{1}^{'}$ , $e_{2}^{'}$ , alt unghi și alte lungimi.

Pasul 2 — punctul $M$ . Săgeata violet $O M$ îl descrie în sistemul vechi: $x e_{1} + y e_{2}$ . Necunoscutele sunt $x$ și $y$ .

Pasul 3 — drumul ocolit. Săgețile verzi: întâi $O O^{'}$ (cunoscut, prin $x_{0}$ , $y_{0}$ ), apoi $O^{'} M$ (cunoscut în baza nouă, prin $x^{'}$ , $y^{'}$ ; liniile punctate arată descompunerea după $e_{1}^{'}$ și $e_{2}^{'}$ ).

Pasul 4 — relația lui Chasles. Cele două drumuri duc în același loc: $O M = O O^{'} + O^{'} M$ . Este singura idee geometrică a deducerii.

Pasul 5 — totul în baza veche. Problema e că $O^{'} M$ e scris în baza nouă. Dar fiecare vector nou se exprimă prin cei vechi (formula 2). După înlocuire, ambii membri sunt în baza ${e_{1}, e_{2}}$ și se pot compara coeficienții.

Pe ce se bazează: relația lui Chasles, definiția coordonatelor punctului și unicitatea descompunerii după doi vectori necoliniari.

Ce să verificați singuri pe figură: luați $M = O^{'}$ . Atunci $x^{'} = y^{'} = 0$ , iar (5) dă $x = x_{0}$ , $y = y_{0}$ — exact coordonatele originii noi. ✓

Pas cu pas — de la (3) la (5)

Pasul 1 — înlocuiți fiecare vector din (3). Stânga: $x e_{1} + y e_{2}$ . Dreapta: $x_{0} e_{1} + y_{0} e_{2}$ plus $x^{'} e_{1}^{'} + y^{'} e_{2}^{'}$ .

Pasul 2 — scrieți vectorii noi prin cei vechi.
$x^{'} e_{1}^{'} + y^{'} e_{2}^{'} = x^{'} (c_{11} e_{1} + c_{21} e_{2}) + y^{'} (c_{12} e_{1} + c_{22} e_{2}) .$
Pasul 3 — grupați după $e_{1}$ și $e_{2}$ . Coeficientul lui $e_{1}$ : $c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'}$ . Coeficientul lui $e_{2}$ : $c_{21} x^{'} + c_{22} y^{'}$ .

Pasul 4 — aduceți totul în stânga. Se obține (4): o combinație liniară a lui $e_{1}$ și $e_{2}$ , egală cu vectorul nul.

Pasul 5 — folosiți independența liniară. O combinație liniară a doi vectori necoliniari dă $0$ doar dacă ambii coeficienți sunt nuli (teorema 6.10). Fiecare paranteză din (4) e deci zero — asta înseamnă (5).

Exemplu numeric. $O^{'} (1; 2)$ , $e_{1}^{'} = {1; 1}$ , $e_{2}^{'} = {- 1; 1}$ , iar $M$ are în sistemul nou coordonatele $(2; 1)$ . Atunci
$x = 1 \cdot 2 + (- 1) \cdot 1 + 1 = 2, y = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 + 2 = 5.$
Verificare directă: $O M = O O^{'} + 2 e_{1}^{'} + e_{2}^{'} = {1; 2} + {2; 2} + {- 1; 1} = {2; 5}$ . ✓

3. Matricea de trecere

În așa fel se exprimă coordonatele $x$ , $y$ ale punctului $M$ în sistemul vechi de coordonate $O e_{1} e_{2}$ prin coordonatele $x^{'}$ , $y^{'}$ din sistemul $O^{'} e_{1}^{'} e_{2}^{'}$ .

Formulele de transformare

Formulele (5) se numesc formulele de transformare a sistemului afin de coordonate. În aceste formule matricea
$C = (c_{11} c_{21} c_{12} c_{22})$
formată din coeficienții de pe lângă $x^{'}$ , $y^{'}$ este întocmai matricea de trecere de la baza ${e_{1}; e_{2}}$ la baza ${e_{1}^{'}; e_{2}^{'}}$ , iar ca termeni liberi servesc coordonatele $x_{0}$ , $y_{0}$ ale noii origini $O^{'}$ în sistemul vechi $O e_{1} e_{2}$ .

Forma matriceală

$(x y) = (c_{11} c_{21} c_{12} c_{22}) (x^{'} y^{'}) + (x_{0} y_{0})$
Coloanele matricei sunt vectorii noi, scriși în baza veche. Termenul liber e originea nouă, scrisă în sistemul vechi. Toată informația despre sistemul nou stă în aceste șase numere.

Deoarece vectorii $e_{1}^{'}$ și $e_{2}^{'}$ sunt necoliniari, atunci

c_{11} c_{21} c_{12} c_{22} \neq = 0

și, prin urmare, sistemul (5) întotdeauna este compatibil în raport cu $x^{'}$ și $y^{'}$ . Acest fapt permite de a exprima coordonatele punctului $M$ în sistemul nou $O^{'} e_{1}^{'} e_{2}^{'}$ prin coordonatele aceluiași punct în sistemul vechi $O e_{1} e_{2}$ .

Eroare în manual: „ $e_{1}$ și $e_{2}$ " în loc de „ $e_{1}^{'}$ și $e_{2}^{'}$ "

La p. 66 manualul scrie: „Deoarece vectorii $e_{1}$ și $e_{2}$ sunt necoliniari, atunci $det C \neq = 0$ ”. Argumentul e cu vectorii greșiți.

Coloanele lui $C$ sunt coordonatele vectorilor noi $e_{1}^{'}$ , $e_{2}^{'}$ . Determinantul e nenul pentru că aceștia sunt necoliniari (condiția de coliniaritate din §10). Necoliniaritatea vectorilor vechi nu spune nimic despre $C$ : dacă vectorii noi ar fi coliniari, $det C = 0$ chiar dacă $e_{1}$ , $e_{2}$ formează o bază.

Probabil primele au fost pierdute la tipar. Același paragraf folosește corect necoliniaritatea lui $e_{1}$ , $e_{2}$ cu câteva rânduri mai sus, pentru trecerea de la (4) la (5).

„Compatibil" — mai exact, compatibil determinat

Un sistem liniar cu determinantul nenul are o singură soluție. Asta contează: fiecare punct are o singură pereche $(x^{'}; y^{'})$ , așa cum se cuvine unor coordonate.

Completare — formulele inverse, explicit

Manualul afirmă că se poate exprima $(x^{'}; y^{'})$ prin $(x; y)$ , dar nu scrie formulele. Rezolvând (5) cu regula lui Cramer, cu $Δ = c_{11} c_{22} - c_{12} c_{21} \neq = 0$ :
$x^{'} = \frac{c _{22} ( x - x _{0} ) - c _{12} ( y - y _{0} )}{Δ}, y^{'} = \frac{- c _{21} ( x - x _{0} ) + c _{11} ( y - y _{0} )}{Δ} .$
Verificare pe exemplul numeric de mai sus: $Δ = 1 \cdot 1 - (- 1) \cdot 1 = 2$ ; pentru $M (2; 5)$ : $x^{'} = \frac{1 \cdot 1 - ( - 1 ) \cdot 3}{2} = 2$ , $y^{'} = \frac{- 1 \cdot 1 + 1 \cdot 3}{2} = 1$ . ✓

Matriceal: $(x^{'} y^{'}) = C^{- 1} [(x y) - (x_{0} y_{0})]$ .

4. Două cazuri particulare

A. Translația originii

În acest caz sistemele de coordonate $O e_{1} e_{2}$ și $O^{'} e_{1}^{'} e_{2}^{'}$ au unii și aceiași vectori de coordonate, dar diferite origini. Atunci $e_{1} = e_{1}^{'}$ , $e_{2} = e_{2}^{'}$ , matricea de trecere este matricea unitate

(1001),

iar formulele (5) au forma:

{x = x^{'} + x_{0}, y = y^{'} + y_{0} . (6)

Greșeală de tipar: matricea translației

Manualul tipărește matricea de trecere ca $(1100)$ . Aceasta este singulară (determinant $0$ ) și ar da $y = x^{'} + y_{0}$ — fals.

Corect: $e_{1}^{'} = e_{1} = {1; 0}$ și $e_{2}^{'} = e_{2} = {0; 1}$ , deci coloanele sunt $(0 1)$ și $(1 0)$ : matricea unitate. Formulele (6) tipărite imediat după sunt corecte și corespund matricei unitate.

figură fig. 2 — translația: axele noi sunt paralele cu cele vechi și la fel orientate; s-a mutat doar originea

Cum se citește figura — formulele (6)

Pasul 1 — comparați vectorii de bază. Săgețile groase din $O$ (albastre) și din $O^{'}$ (portocalii) sunt identice — aceeași direcție, același sens, aceeași lungime. S-a schimbat doar punctul din care pleacă.

Pasul 2 — măsurați $M$ în sistemul nou. De la $O^{'}$ : $x^{'}$ pe orizontală, $y^{'}$ pe verticală.

Pasul 3 — măsurați $M$ în sistemul vechi. De la $O$ , pe orizontală, întâi ajungeți la $O^{'}$ (distanța $x_{0}$ ), apoi continuați cu $x^{'}$ . Total: $x = x_{0} + x^{'}$ . La fel pe verticală.

Pe ce se bazează: formula (5) cu $c_{11} = c_{22} = 1$ , $c_{12} = c_{21} = 0$ .

Ce să verificați singuri pe figură: ce coordonate are vechea origine $O$ în sistemul nou? (Răspuns: din (6), $x^{'} = - x_{0}$ , $y^{'} = - y_{0}$ — originea veche e „în spatele” celei noi.)

Pas cu pas — un exemplu numeric

Mutăm originea în $O^{'} (2; 3)$ , fără să rotim axele. Punctul $M$ are în sistemul nou coordonatele $(1; 1)$ .

Pasul 1 — aplicați (6). $x = 1 + 2 = 3$ , $y = 1 + 3 = 4$ . În sistemul vechi, $M (3; 4)$ .

Pasul 2 — invers. Punctul $P (0; 0)$ din sistemul vechi (adică vechea origine) are în sistemul nou $x^{'} = 0 - 2 = - 2$ , $y^{'} = 0 - 3 = - 3$ .

Pasul 3 — ce nu se schimbă. Vectorul $P M$ are aceleași coordonate în ambele sisteme: ${3; 4}$ în cel vechi, ${1 - (- 2); 1 - (- 3)} = {3; 4}$ în cel nou. Translația schimbă coordonatele punctelor, dar nu pe ale vectorilor — pentru că vectorii nu depind de origine, ci doar de bază.

B. Schimbarea bazei, cu aceeași origine

În acest caz sistemele de coordonate $O e_{1} e_{2}$ și $O^{'} e_{1}^{'} e_{2}^{'}$ au aceeași origine, dar se deosebesc prin vectorii de coordonate. Atunci $x_{0} = 0$ și $y_{0} = 0$ (deoarece punctele $O$ și $O^{'}$ coincid). Formulele (5) au forma:

{x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'}, y = c_{21} x^{'} + c_{22} y^{'} . (7)

figură fig. 3 — aceeași origine, două baze afine: același punct $M$ se descompune altfel după fiecare

Cum se citește figura — formulele (7)

Pasul 1 — o singură origine. Toate săgețile pleacă din $O$ . Nu există termen liber în formule: $x_{0} = y_{0} = 0$ .

Pasul 2 — descompunerea veche (albastru punctat). Paralelele la $e_{1}$ și $e_{2}$ duse prin $M$ dau coordonatele vechi $x$ , $y$ .

Pasul 3 — descompunerea nouă (portocaliu punctat). Paralelele la $e_{1}^{'}$ și $e_{2}^{'}$ dau coordonatele noi $x^{'}$ , $y^{'}$ . Aceleași punct, alte numere.

Pasul 4 — de ce sunt legate liniar. Fiecare vector nou e o combinație a celor vechi (formula 2), deci și $x^{'} e_{1}^{'} + y^{'} e_{2}^{'}$ e o combinație a celor vechi, cu coeficienți liniari în $x^{'}$ , $y^{'}$ .

Pe ce se bazează: formulele (5) cu $x_{0} = y_{0} = 0$ și unicitatea descompunerii.

Ce să verificați singuri pe figură: luați $M$ chiar în vârful lui $e_{1}^{'}$ . Atunci $x^{'} = 1$ , $y^{'} = 0$ , iar (7) dă $x = c_{11}$ , $y = c_{21}$ — exact coordonatele lui $e_{1}^{'}$ din (1). ✓

Manualul numește acest caz „rotația axelor"

Titlul din manual, „B. Rotația axelor în jurul originii”, e prea îngust pentru un sistem afin: formulele (7) acoperă orice schimbare de bază — vectori întinși, comprimați, înclinați unul față de altul (ca în figura de mai sus). O rotație propriu-zisă e doar cazul particular în care ambele baze sunt ortonormate și la fel orientate — tratat în lecția următoare.

Rezumat

Caz Ce se schimbă Formulele Matricea $C$
general originea și baza (5): $x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'} + x_{0}$ , … oarecare, $det C \neq = 0$
A. translație doar originea (6): $x = x^{'} + x_{0}$ , $y = y^{'} + y_{0}$ matricea unitate
B. aceeași origine doar baza (7): $x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'}$ , … oarecare, $det C \neq = 0$

Caz	Ce se schimbă	Formulele	Matricea $C$
general	originea și baza	(5): $x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'} + x_{0}$ , …	oarecare, $det C \neq = 0$
A. translație	doar originea	(6): $x = x^{'} + x_{0}$ , $y = y^{'} + y_{0}$	matricea unitate
B. aceeași origine	doar baza	(7): $x = c_{11} x^{'} + c_{12} y^{'}$ , …	oarecare, $det C \neq = 0$

Întrebări de control

De ce coloanele matricei de trecere sunt coordonatele vectorilor noi, și nu ale celor vechi?
Ce s-ar întâmpla cu formulele (5) dacă $e_{1}^{'}$ și $e_{2}^{'}$ ar fi coliniari? De ce un asemenea „sistem nou” nu e un sistem de coordonate?
Sistemul nou are originea $O^{'} (- 1; 4)$ și aceleași axe. Ce coordonate noi are punctul $A (2; 2)$ ?
La translația originii, coordonatele unui vector se schimbă? Argumentați.
Fie $e_{1}^{'} = 2 e_{1}$ și $e_{2}^{'} = e_{2}$ , cu aceeași origine. Scrieți formulele (7). Ce se întâmplă geometric cu unitatea de pe axa $O x$ ?

Legături

Anterior: Aria triunghiului în coordonate
Continuare: Rotația sistemului rectangular cartezian
Se sprijină pe: Coordonatele punctului. Raza vectoare, Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari, Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului
Concepte: Matrice de trecere, Sistem afin de coordonate, Bază

Conspecte

Cursuri

Transformarea sistemului afin de coordonate

1. Datele problemei

2. Deducerea formulelor

3. Matricea de trecere

4. Două cazuri particulare

A. Translația originii

B. Schimbarea bazei, cu aceeași origine

Întrebări de control

Legături

Graf

Cuprins

Legături înapoi

Îți sunt utile notițele?