Spațiul V₂. Vectori coplanari și dimensiunea planului

Despre ce este paragraful

Până acum am lucrat cu toți vectorii spațiului ($V$). De aici înainte ne restrângem la vectorii unui singur plan — mulțimea $V_2$. Paragraful arată două lucruri: ce înseamnă că un vector „aparține” unui plan și de ce acest spațiu are dimensiunea 2. Pe acest fundament se construiesc, în §10, coordonatele.

1. Vector paralel cu un plan

Definiție

Fie un vector nenul $\vec{a}$ și un plan $\pi$. Vectorul $\vec{a}$ este paralel planului $\pi$ dacă vectorul $\vec{a}$ este paralel unei drepte oarecare din planul $\pi$.

Convenție

Orice vector nul se consideră paralel cu planul $\pi$.

Este aceeași definiție ca în §6, acum completată explicit cu cazul vectorului nul.

2. Sistemul de vectori coplanari

Definiție

Mulțimea vectorilor paraleli aceluiași plan $\pi$ se numește sistem de vectori coplanari.

fig. 1 — $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ sunt desenați în $\pi$; $\vec{d}$ e desenat în afara lui $\pi$, dar e paralel cu $\pi$, deci face parte din același sistem

Putem considera că toți vectorii sistemului de vectori coplanari sunt situați în același plan $\pi$. Astfel, orice plan din spațiu ne determină un sistem de vectori coplanari.

Pas cu pas — de ce „putem considera" că toți sunt chiar în $\pi$

Pasul 1 — ce spune definiția. Un vector din sistem e doar paralel cu $\pi$; desenul lui poate fi oriunde în spațiu (ca $\vec{d}$ din fig. 1).

Pasul 2 — ce știm despre vectori. Vectorii sunt liberi: după teorema reprezentantului unic, orice vector poate fi depus din orice punct ales.

Pasul 3 — alegem un punct din $\pi$. Depunem $\vec{d}$ dintr-un punct $M\in \pi$: $\overrightarrow{MN}=\vec{d}$. Cum $\vec{d}$ e paralel cu o dreaptă $\ell \subset \pi$, segmentul $[MN]$ e paralel cu $\ell$ și pornește dintr-un punct al lui $\pi$ ⇒ $[MN]$ stă în întregime în $\pi$.

Pasul 4 — concluzia. Orice vector al sistemului are un reprezentant situat în $\pi$. Deci nu pierdem nimic dacă ne imaginăm toți vectorii sistemului desenați direct în plan — exact asta face fig. 1 cu săgeata punctată.

Diferența față de §6

În §6, „coplanari” era o proprietate a trei vectori dați. Aici, „sistem de vectori coplanari” este întreaga mulțime (infinită) a vectorilor paraleli cu un plan. Trei vectori oarecare aleși din acest sistem sunt, evident, coplanari în sensul din §6.

3. De ce planul are dimensiunea doi

Raționamentul are două jumătăți: cel puțin doi vectori independenți există, dar nu trei.

Jumătatea 1 — în plan există doi vectori liniar independenți

Să considerăm doi vectori $\vec{a}$ și $\vec{b}$ din planul $\pi$.

• Dacă acești vectori sunt coliniari, atunci ei sunt liniar dependenți;
• dacă nu sunt coliniari, atunci ei formează un sistem liniar independent

(ambele variante: teorema 6.10). Deci în plan există cel puțin doi vectori liniar independenți. Așa, de exemplu, sunt vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AD}$ orientați după laturile unui paralelogram $ABCD$.

Jumătatea 2 — orice trei vectori din plan sunt liniar dependenți

Am demonstrat că orice trei vectori coplanari sunt liniar dependenți.

Despre trimiterea din manual

Manualul trimite aici la „teorema 6.9”. Enunțul complet „trei vectori coplanari ⇒ liniar dependenți” este direcția (⇐) a teoremei 6.11; demonstrația ei folosește, într-adevăr, teorema 6.9 ($\vec{c}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$). Ambele trimiteri duc la același rezultat.

Concluzia

Dimensiunea spațiului $V_2$

Aceasta este proprietatea de dimensiune a spațiului vectorial format de vectorii din plan: numărul maxim de vectori liniar independenți este $2$. Se spune că acest spațiu are dimensiunea doi și se notează prin $V_2$.

Pas cu pas — ce înseamnă, concret, „dimensiune"

Pasul 1 — definiția intuitivă. Dimensiunea = câte direcții independente există. Adică: numărul maxim de vectori pe care îi poți alege astfel încât niciunul să nu se poată obține din ceilalți.

Pasul 2 — pe o dreaptă ($V_1$). Un vector nenul e independent. Dar oricare doi vectori ai dreptei sunt coliniari ⇒ dependenți. Maximul este $1$ ⇒ dimensiunea 1.

Pasul 3 — în plan ($V_2$). Doi vectori necoliniari sunt independenți (jumătatea 1). Orice al treilea se scrie prin ei (jumătatea 2). Maximul este $2$ ⇒ dimensiunea 2.

Pasul 4 — în spațiu ($V$). Trei vectori necoplanari sunt independenți (tabloul din §6), iar oricare patru sunt dependenți ⇒ dimensiunea 3.

Pasul 5 — legătura cu subspațiile. Lanțul $\{\vec{0}\}\subset V_1\subset V_2\subset V$ din §7 are dimensiunile $0\subset 1\subset 2\subset 3$. Indicele din notația $V_2$ este chiar dimensiunea.

Spațiu	Ce conține	Dimensiune	Maxim de vectori independenți
$\{\vec{0}\}$	doar vectorul nul	0	0
$V_1$	vectorii unei drepte	1	1
$V_2$	vectorii unui plan	2	2
$V$	toți vectorii spațiului	3	3

4. Exemplul 9.3 — coplanaritatea în paralelipiped

Enunț (manual, ex. 9.3)

Se dă paralelipipedul $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$. Cercetați coplanaritatea vectorilor: a) $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BD}$ și $\overrightarrow{CD}$; b) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$.

a) $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BD}$, $\overrightarrow{CD}$

fig. 2 — toți trei vectorii stau în planul bazei $ABCD$

Cum se citește figura — cazul a)

Pasul 1 — planul verde este baza $ABCD$ a paralelipipedului.

Pasul 2 — cele trei săgeți pornesc din $A$, $B$, $C$ și ajung toate în $D$ — toate patru puncte sunt vârfuri ale bazei.

Pasul 3 — concluzia. Un segment cu ambele capete într-un plan stă în întregime în acel plan ⇒ toți trei vectorii sunt în planul $ABCD$ ⇒ coplanari.

Pe ce se bazează: axioma „dacă două puncte ale unei drepte aparțin unui plan, toată dreapta aparține planului” și definiția coplanarității.

Rezolvare (manual). Vectorii $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BD}$ și $\overrightarrow{CD}$ sunt paraleli la unul și același plan $(ABCD)$. Prin urmare, vectorii dați sunt coplanari. ✔

b) $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_{1}C}$, $\overrightarrow{B_{1}D}$

Răspunsul din manual este greșit

Manualul afirmă: „Vectorii $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$ nu sunt paraleli la unul și același plan. Deci, acești vectori nu sunt coplanari.”

Corect: acești vectori SUNT coplanari. Ei sunt toți paraleli cu planul diagonal $(A_1{B}_{1}CD)$ și satisfac relația $\overrightarrow{A_{1}C}-\overrightarrow{B_{1}D}=2\overrightarrow{AB}$.

fig. 3 — $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$ sunt diagonalele dreptunghiului $A_1{B}_{1}CD$ (planul colorat), iar $\overrightarrow{AB}\parallel \overrightarrow{A_1{B}_1}$ e paralel cu același plan

Cum se citește figura — de ce cei trei vectori sunt coplanari

Pasul 1 — găsiți planul colorat. Patrulaterul violet $A_1{B}_{1}CD$ taie paralelipipedul în diagonală: pornește de la muchia de sus-față $[A_1{B}_1]$ și coboară la muchia de jos-spate $[DC]$.

Pasul 2 — verificați că e un paralelogram. $[A_1{B}_1]$ și $[DC]$ sunt muchii paralele și egale ale paralelipipedului ⇒ $A_1{B}_{1}CD$ e paralelogram, deci chiar un plan.

Pasul 3 — cei doi vectori portocaliu și verde. $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$ sunt diagonalele acestui paralelogram — stau în întregime în planul colorat.

Pasul 4 — vectorul albastru. $\overrightarrow{AB}$ nu stă în planul colorat, dar e egal cu $\overrightarrow{A_1{B}_1}$, care este o latură a paralelogramului. Deci $\overrightarrow{AB}$ e paralel cu planul.

Pasul 5 — concluzia. Toți trei sunt paraleli cu același plan ⇒ coplanari, prin definiția coplanarității.

Pe ce se bazează: proprietățile paralelipipedului (muchii paralele egale), egalitatea vectorilor ($\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}$) și definiția vectorului paralel cu un plan (secțiunea 1).

Ce să verificați singuri pe figură: urmăriți pe desen că diagonalele $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$ se intersectează — două drepte care se intersectează sunt întotdeauna în același plan.

Pas cu pas — demonstrația că sunt coplanari

Notăm muchiile care pleacă din $A$: $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{v}$, $\overrightarrow{A{A}_1}=\vec{w}$. Într-un paralelipiped, muchiile paralele sunt vectori egali: $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{A_1{B}_1}=\vec{u}$, $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$, $\overrightarrow{B{B}_1}=\vec{w}$ etc.

Pasul 1 — scriem $\overrightarrow{A_{1}C}$ prin muchii (relația lui Chasles, pe drumul $A_1\to A\to B\to C$):

$$\overrightarrow{A_{1}C}=\overrightarrow{A_{1}A}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=-\vec{w}+\vec{u}+\vec{v}$$

Pasul 2 — scriem $\overrightarrow{B_{1}D}$ prin muchii (drumul $B_1\to B\to A\to D$):

$$\overrightarrow{B_{1}D}=\overrightarrow{B_{1}B}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=-\vec{w}-\vec{u}+\vec{v}$$

Pasul 3 — scădem.

$$\overrightarrow{A_{1}C}-\overrightarrow{B_{1}D}=(-\vec{w}+\vec{u}+\vec{v})-(-\vec{w}-\vec{u}+\vec{v})=2\vec{u}=2\overrightarrow{AB}$$

Pasul 4 — citim o combinație liniară nulă.

$$2\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A_{1}C}+\overrightarrow{B_{1}D}=\vec{0},\text{coeficienți }2,-1,1\text{ — nu toți nuli}$$

Deci sistemul $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{A_{1}C},\overrightarrow{B_{1}D}\}$ este liniar dependent.

Pasul 5 — concluzia. Prin teorema 6.11, trei vectori liniar dependenți sunt coplanari. $■$

Verificare geometrică. Muchiile $[A_1{B}_1]$ și $[DC]$ sunt paralele și egale ⇒ $A_1{B}_{1}CD$ este un paralelogram (un „plan diagonal” al paralelipipedului). $\overrightarrow{A_{1}C}$ și $\overrightarrow{B_{1}D}$ sunt diagonalele lui, iar $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{A_1{B}_1}$ este o latură a lui. Toți trei sunt paraleli cu planul $(A_1{B}_{1}CD)$.

Observație. Calculul nu a folosit nicăieri unghiuri drepte sau lungimi egale — rezultatul e valabil pentru orice paralelipiped.

Ce lecție metodică oferă greșeala

„Nu văd un plan comun pe desen” nu este o demonstrație că vectorii sunt necoplanari. Un plan poate trece oblic prin corp (aici — planul diagonal). Metoda sigură este cea algebrică: se exprimă vectorii prin trei muchii necoplanare și se caută o combinație liniară nulă netrivială.

Întrebări de control

1. De ce vectorul nul se consideră paralel cu orice plan?
2. Care e diferența dintre „trei vectori coplanari” (§6) și „sistem de vectori coplanari” (§9)?
3. Explicați, în două fraze, de ce $V_2$ are dimensiunea 2 și nu 1 sau 3.
4. În paralelipipedul din fig. 3, sunt coplanari vectorii $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{A{C}_1}$? Justificați prin descompunere după $\vec{u}$, $\vec{v}$, $\vec{w}$.
5. Găsiți în paralelipiped trei vectori care, la prima vedere, par necoplanari, dar sunt coplanari.

Legături

• Anterior: Spațiul vectorial al vectorilor liberi (§7) · §8 încă neconspectat
• Continuare: Baza spațiului V2. Coordonatele vectorului
• Se sprijină pe: Vectori coplanari, Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară
• Concepte: Coplanaritate, Dependență liniară, Bază