Ce nu se transferă de la numere. Aplicații

Despre ce este lecția

Teorema 13.3 a arătat că produsul scalar este comutativ, omogen și distributiv — exact ca înmulțirea numerelor. De aici la concluzia „deci se comportă în toate privințele ca înmulțirea” e un pas mic, și greșit.

Manualul avertizează explicit: „cercetând proprietățile produsului scalar a doi vectori, am putea face o concluzie greșită precum că proprietățile produsului scalar a doi vectori coincid cu proprietățile produsului numerelor.” Lecția strânge la un loc cele trei deosebiri, apoi aplică tot aparatul la o problemă completă.

1. Trei proprietăți pe care produsul scalar nu le are

1) Rezultatul este de altă natură

Produsul scalar a doi vectori este un număr, adică un obiect de altă natură decât factorii, pe când produsul a două numere este de asemenea un număr, adică un obiect de aceeași natură.

Ce consecință are. Operația nu se poate itera. Pentru numere, $\alpha \beta \gamma$ are sens. Pentru vectori, $(\vec{a},\vec{b})$ e un număr, deci nu mai poate fi al doilea argument al unui nou produs scalar. Din același motiv nu există „puteri” ${\vec{a}}^3$.

Ce operație există totuși. $(\vec{a},\vec{b})\cdot \vec{c}$ — număr înmulțit cu vector — este perfect definită, dar este înmulțirea cu un scalar din §5, nu un produs scalar.

2) Un produs nul nu obligă niciun factor să fie nul

Dacă $\alpha$ și $\beta$ sunt numere reale, atunci din egalitatea $\alpha \cdot \beta =0$ urmează că cel puțin unul din numerele $\alpha$ sau $\beta$ este egal cu zero. Așa proprietate nu este corectă pentru produsul scalar a doi vectori.

Contraexemplu. $\vec{a}=\{1;0\}$, $\vec{b}=\{0;1\}$. Niciunul nu este nul, dar $(\vec{a},\vec{b})=1\cdot 0+0\cdot 1=0$.

Ce se pierde practic. Din $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{a},\vec{c})$ nu rezultă $\vec{b}=\vec{c}$. Se poate doar conchide $(\vec{a},\vec{b}-\vec{c})=0$, adică $\vec{a}\perp (\vec{b}-\vec{c})$. Cu alte cuvinte: nu se poate „simplifica prin $\vec{a}$”.

3) Nu este asociativ

Pentru orice numere reale $\alpha$, $\beta$ și $\gamma$ are loc egalitatea $(\alpha \beta )\gamma =\alpha (\beta \gamma )$. Dacă însă $\vec{a}$, $\vec{b}$ și $\vec{c}$ sunt trei vectori arbitrari, atunci

$$((\vec{a},\vec{b}),\vec{c})\ne (\vec{a},(\vec{b},\vec{c})).$$

Într-adevăr, fie $\vec{p}=(\vec{a},\vec{b})\vec{c}$ și $\vec{q}=(\vec{b},\vec{c})\vec{a}$. Observăm că vectorul $\vec{p}$ este coliniar cu vectorul $\vec{c}$, iar vectorul $\vec{q}$ este coliniar cu vectorul $\vec{a}$. Prin urmare, în caz general, $\vec{p}\ne \vec{q}$.

fig. 1 — stânga: doi vectori nenuli cu produs scalar nul; dreapta: $\vec{p}$ e coliniar cu $\vec{c}$, iar $\vec{q}$ cu $\vec{a}$ — deci diferiți

Cum se citește figura — cele două capcane

Pasul 1 — panoul stâng, datele. Două săgeți nenule, perpendiculare. Unghiul drept marcat în origine este esențial.

Pasul 2 — calculați. $(\vec{a},\vec{b})=|\vec{a}||\vec{b}|\cos 90°=0$, deși ambele module sunt strict pozitive. Produsul se anulează din cauza unghiului, nu a factorilor.

Pasul 3 — comparați cu numerele. Textul de sub panou amintește regula numerelor, care aici nu mai funcționează. Concluzia practică: într-o ecuație vectorială nu aveți voie să „dați cu $\vec{a}$” de ambele părți.

Pasul 4 — panoul drept, cele trei date. Albastru $\vec{a}$, verde $\vec{c}$, iar $\vec{b}$ intervine doar prin cele două numere pe care le produce.

Pasul 5 — urmăriți cele două rezultate. Săgeata portocalie punctată, $\vec{p}=(\vec{a},\vec{b})\vec{c}$, este un multiplu al lui $\vec{c}$: stă pe aceeași dreaptă cu $\vec{c}$. Săgeata violet punctată, $\vec{q}=(\vec{b},\vec{c})\vec{a}$, stă pe aceeași dreaptă cu $\vec{a}$.

Pasul 6 — trageți concluzia. Cum $\vec{a}$ și $\vec{c}$ nu sunt coliniari în figură, cele două drepte sunt diferite; deci $\vec{p}$ și $\vec{q}$ nu pot fi egali (decât dacă ambii ar fi $\vec{0}$). Asociativitatea cade.

Pe ce se bazează: definiția înmulțirii cu un număr (rezultatul e coliniar cu vectorul înmulțit) și criteriul de coliniaritate.

Ce să verificați singuri pe figură: în ce caz particular ar putea totuși $\vec{p}=\vec{q}$? (Răspuns: dacă $\vec{a}$ și $\vec{c}$ sunt coliniari, sau dacă $\vec{b}\perp \vec{a}$ și $\vec{b}\perp \vec{c}$ simultan, caz în care ambii sunt $\vec{0}$.)

Precizare de notație

Manualul scrie inegalitatea ca $((\vec{a},\vec{b}),\vec{c})\ne (\vec{a},(\vec{b},\vec{c}))$. Strict vorbind, această scriere nu este corectă: paranteza interioară $(\vec{a},\vec{b})$ este un număr, iar produsul scalar este definit doar între doi vectori — deci expresia exterioară nu este un produs scalar.

Sensul intenționat este cel din demonstrație: $\vec{p}=(\vec{a},\vec{b})\cdot \vec{c}$ față de $\vec{q}=\vec{a}\cdot (\vec{b},\vec{c})$, adică înmulțiri cu scalar. Reținem afirmația, nu notația.

Tabloul comparativ

Proprietate	Numere reale	Produs scalar
comutativitate	da	da (1⁰)
distributivitate	da	da (3⁰)
omogenitate	da	da (2⁰)
rezultat de aceeași natură	da	nu — dă un număr
produs nul ⇒ un factor nul	da	nu
simplificare prin factor comun	da	nu
asociativitate	da	nu (nici nu e bine formulată)

2. Exemplul 13.8 — unghiurile unui triunghi

Enunț

Determinați măsurile unghiurilor interioare ale triunghiului cu vârfurile în punctele: $A(5;0)$, $B(0;1)$ și $C(3;3)$.

fig. 2 — triunghiul $ABC$ cu unghiurile calculate: $45°$, $45°$ și $90°$

Rezolvare. Conform condiției problemei vom avea:

$$\overrightarrow{AB}=\{-5;1\},\overrightarrow{AC}=\{-2;3\},\overrightarrow{BC}=\{3;2\}.$$

Notăm $m(\angle CAB)=\alpha$, $m(\angle ABC)=\beta$ și $m(\angle BCA)=\gamma$. Atunci

$$\cos \alpha =\frac{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB})}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{AB}|}=\frac{(-2)\cdot (-5)+3\cdot 1}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{26}}=\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

de unde obținem $\alpha =m(\angle CAB)=45°$. În mod analog

$$\cos \beta =\frac{(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC})}{|\overrightarrow{BA}|\cdot |\overrightarrow{BC}|}=\frac{5\cdot 3+(-1)\cdot 2}{\sqrt{26}\cdot \sqrt{13}}=\frac{13}{13\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2},$$

de unde obținem $\beta =m(\angle ABC)=45°$ și

$$\cos \gamma =\frac{(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})}{|\overrightarrow{CA}|\cdot |\overrightarrow{CB}|}=\frac{2\cdot (-3)+(-3)\cdot (-2)}{\sqrt{13}\cdot \sqrt{13}}=\frac{0}{13}=0,$$

de unde rezultă că $\gamma =m(\angle BCA)=90°$.

Măsura unghiului $\angle BCA$ putea fi calculată și în alt mod. Se cunoaște că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este egală cu $180°$. Cunoscând măsurile unghiurilor $CAB$ și $ABC$, obținem:

$$m(\angle BCA)=180°-m(\angle CAB)-m(\angle ABC)=180°-45°-45°=90°.$$

Pas cu pas — metoda completă, cu capcanele ei

Pasul 1 — calculați vectorii laturilor. Regula: extremitate minus origine. $\overrightarrow{AB}=B-A=\{0-5;1-0\}=\{-5;1\}$ $\overrightarrow{AC}=C-A=\{3-5;3-0\}=\{-2;3\}$ $\overrightarrow{BC}=C-B=\{3-0;3-1\}=\{3;2\}$

Pasul 2 — capcana principală: alegeți vectorii care pleacă din vârful cercetat. Unghiul $\angle CAB$ este la vârful $A$, deci se lucrează cu $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{AC}$ — ambele pleacă din $A$. Pentru unghiul de la $B$ trebuie $\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{BC}$, nu $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{BC}$. Iată de ce în al doilea calcul apare $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=\{5;-1\}$.

Ce s-ar întâmpla dacă greșiți sensul: produsul scalar și-ar schimba semnul, iar unghiul ar ieși suplementar — $135°$ în loc de $45°$.

Pasul 3 — calculați modulele o singură dată. $|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BA}|=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$ $|\overrightarrow{AC}|=|\overrightarrow{CA}|=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$ $|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$

Pasul 4 — aplicați formula (7) pentru fiecare vârf. Numărătorul e produsul scalar, numitorul produsul modulelor. Simplificați radicalii: $\sqrt{13}\cdot \sqrt{26}=\sqrt{338}=13\sqrt{2}$.

Pasul 5 — verificați suma. $45°+45°+90°=180°$ ✓ Aceasta este verificarea gratuită pe care orice problemă de acest tip o oferă — folosiți-o întotdeauna.

Pasul 6 — economia de efort. Al treilea unghi putea fi dedus din sumă, fără niciun calcul. Dar calculându-l independent ați obținut verificarea. Alegeți în funcție de timp.

Cum se citește figura — triunghiul din exemplul 13.8

Pasul 1 — localizați vârfurile pe rețea. $A(5;0)$ pe axa $Ox$, $B(0;1)$ pe axa $Oy$, $C(3;3)$ în interiorul primului cadran.

Pasul 2 — identificați laturile colorate. Fiecare latură are o culoare, ca să puteți urmări ce vectori intră în fiecare produs scalar.

Pasul 3 — priviți unghiul din $C$. Marca de unghi drept confirmă $\gamma =90°$ — rezultatul obținut aritmetic din $(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})=0$.

Pasul 4 — comparați cele două laturi care pleacă din $C$. $|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{13}$: triunghiul este dreptunghic isoscel. De aici, fără niciun calcul, celelalte două unghiuri trebuie să fie egale și să însumeze $90°$ — deci $45°$ fiecare.

Pasul 5 — trageți concluzia metodologică. Figura oferă un drum mult mai scurt decât cele trei aplicări ale formulei (7): un singur produs scalar (cel din $C$) plus o comparație de module. Desenul nu înlocuiește calculul, dar îi sugerează forma cea mai scurtă.

Pe ce se bazează: consecințele 13.6 și 13.7 și formula modulului din §11.

Ce să verificați singuri pe figură: calculați $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{26}$ și verificați Pitagora: $13+13=26$ ✓ — ipotenuza este $AB$, cateta comună este $\sqrt{13}$.

Greșeală de notare în manual (exemplul 13.8)

După calculul lui $\cos \beta$, manualul scrie „de unde obținem $\beta =m(\angle BCA)=45°$”. Notația corectă este $\beta =m(\angle ABC)$ — așa cum $\beta$ a fost definit cu trei rânduri mai sus. Simbolul $\angle BCA$ este folosit imediat după, pentru $\gamma =90°$; aceeași notație nu poate desemna două unghiuri diferite.

Calculul propriu-zis este corect: vectorii folosiți, $\overrightarrow{BA}$ și $\overrightarrow{BC}$, pleacă amândoi din $B$, deci unghiul obținut este într-adevăr cel de la vârful $B$.

Completare — trei metode pentru același rezultat

Triunghiul din exemplul 13.8 poate fi rezolvat în trei feluri. Merită comparate, fiindcă în alte probleme una dintre ele va fi vizibil mai scurtă.

Metoda 1 — produsul scalar (cea din manual). Trei aplicări ale formulei (7). Funcționează întotdeauna, dar cere atenție la sensul vectorilor.

Metoda 2 — lungimile laturilor + teorema cosinusului. $AB=\sqrt{26}$, $AC=\sqrt{13}$, $BC=\sqrt{13}$. Din $A{C}^2+B{C}^2=13+13=26=A{B}^2$ rezultă direct unghiul drept în $C$ (reciproca lui Pitagora), iar din $AC=BC$ — isoscelul. Două observații, zero trigonometrie.

Metoda 3 — criteriul (6) singur. $\overrightarrow{CA}=\{2;-3\}$, $\overrightarrow{CB}=\{-3;-2\}$. Produsul $2\cdot (-3)+(-3)\cdot (-2)=0$ ⇒ unghi drept în $C$. Apoi isoscelul din module, apoi suma unghiurilor. Un singur produs scalar.

Concluzie. Când triunghiul are o particularitate (dreptunghic, isoscel), căutați-o întâi — economisiți două treimi din calcul. Formula (7) rămâne pentru cazul general, când nicio particularitate nu se vede.

Întrebări de control

1. Dați un exemplu de doi vectori nenuli al căror produs scalar este zero. De ce nu contrazice acest lucru nicio proprietate din teorema 13.3?
2. Din $(\vec{a},\vec{b})=(\vec{a},\vec{c})$ ce se poate deduce despre $\vec{b}$ și $\vec{c}$? Dar ce nu se poate deduce?
3. De ce scrierea $((\vec{a},\vec{b}),\vec{c})$ nu este, strict vorbind, corectă?
4. Aflați unghiurile triunghiului $P(0;0)$, $Q(4;0)$, $R(0;3)$, folosind cea mai scurtă metodă posibilă.
5. Arătați că, dacă $(\vec{a},\vec{b})=0$ pentru orice vector $\vec{b}$, atunci $\vec{a}=\vec{0}$. (Indicație: alegeți $\vec{b}$ convenabil.)

Legături

• Anterior: Proprietățile produsului scalar. Expresia în coordonate
• Continuare: Unghiul orientat dintre doi vectori
• Se sprijină pe: Produsul vectorului la un număr, Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară, Distanța dintre două puncte
• Concepte: Produs scalar, Vectori perpendiculari