Spațiul vectorial al vectorilor liberi

1. Cele opt proprietăți

Să notăm prin $V$ mulțimea tuturor vectorilor. Am definit pe această mulțime operația de adunare a vectorilor și operația de înmulțire a vectorului la un număr. Am demonstrat că, în raport cu aceste operații, se satisfac următoarele proprietăți:

#	Proprietate	Enunț
1	comutativitate	$\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}$, pentru orice $\vec{a},\vec{b}\in V$
2	asociativitate	$\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})=(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}$, pentru orice $\vec{a},\vec{b},\vec{c}\in V$
3	element neutru	există $\vec{0}\in V$ astfel încât $\vec{a}+\vec{0}=\vec{0}+\vec{a}=\vec{a}$, pentru orice $\vec{a}\in V$
4	element opus	pentru orice $\vec{a}\in V$ există $(-\vec{a})\in V$ încât $\vec{a}+(-\vec{a})=(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}$
5	unitatea scalară	$1\cdot \vec{a}=\vec{a}$, pentru orice $\vec{a}\in V$
6	asociativitate mixtă	$\beta (\alpha \vec{a})=(\beta \alpha )\vec{a}$, pentru orice $\vec{a}\in V$ și orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$
7	distributivitate față de vectori	$\alpha (\vec{a}+\vec{b})=\alpha \vec{a}+\alpha \vec{b}$, pentru orice $\alpha \in \mathbb{R}$ și orice $\vec{a},\vec{b}\in V$
8	distributivitate față de scalari	$(\alpha +\beta )\vec{a}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{a}$, pentru orice $\vec{a}\in V$ și orice $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$

Concluzia paragrafului

Comparând aceste proprietăți cu definiția spațiului vectorial, cunoscută din algebră, ne convingem că mulțimea $V$ a tuturor vectorilor din spațiu formează spațiu vectorial liniar (peste $\mathbb{R}$).

Ce s-a câștigat

Nimic nou nu s-a demonstrat aici — s-au strâns la un loc rezultatele din §4 și §5. Câștigul e conceptual: de acum înainte, orice teoremă generală de algebră liniară (despre baze, dimensiune, coordonate) se aplică automat vectorilor din spațiu, fără a mai reface demonstrațiile geometric.

Unde a fost demonstrată fiecare proprietate:

• 1–4 → Proprietățile adunării vectorilor
• 5 → Produsul vectorului la un număr
• 6–8 → Proprietățile înmulțirii vectorului cu un număr

2. Subspațiu vectorial

Fie $L$ o submulțime nevidă de vectori a spațiului vectorial $V$.

Definiție

Mulțimea $L$ se numește subspațiu vectorial al spațiului $V$, dacă se satisfac condițiile:

1. Dacă $\vec{a}\in L$ și $\vec{b}\in L$, atunci $\vec{a}+\vec{b}\in L$;
2. Dacă $\vec{a}\in L$, atunci $\alpha \vec{a}\in L$ pentru orice număr real $\alpha$.

Cum se citesc condițiile

Un subspațiu este o parte din care nu se poate ieși prin cele două operații: aduni doi vectori din $L$ — rămâi în $L$; înmulțești cu orice număr — rămâi în $L$. Se spune că $L$ este închisă față de operații.

Observați că din condiția 2 cu $\alpha =0$ rezultă $\vec{0}\in L$: orice subspațiu conține vectorul nul.

3. Exemple

fig. 1 — lanțul de subspații $\{\vec{0}\}\subset V_1\subset V_2\subset V$

Exemplul 7.1 — subspațiul nul

Fie $W=\{\vec{0}\}$ (mulțimea $W$ constă numai din vectorul nul). Mulțimea $W$ este spațiu vectorial.

Exemplul 7.2 — vectorii unei drepte

Notăm prin $V_1$ mulțimea vectorilor coliniari (situați pe o dreaptă). Evident, $V_1\subset V$. Ușor ne convingem că $V_1$ este subspațiu al spațiului $V$.

Precizare: dreapta trebuie fixată — $V_1$ = toți vectorii paraleli cu o dreaptă dată $d$. Mulțimea „tuturor vectorilor coliniari cu ceva” nu e bine definită, iar doi vectori de pe drepte diferite au o sumă care iese de pe ambele direcții.

Exemplul 7.3 — vectorii unui plan

Notăm prin $V_2$ mulțimea vectorilor coplanari (situați în același plan). Ușor ne convingem că $V_2$ este subspațiu al spațiului $V$.

Precizare: analog, planul se fixează — $V_2$ = toți vectorii paraleli cu un plan dat $\pi$ (exact „sistemul de vectori coplanari” din §9).

Cum se citește figura — exemplele 7.1–7.3 (fig. 1)

Pasul 1 — punctul portocaliu. Originea comună și singurul element al lui $W=\{\vec{0}\}$. Adunând sau înmulțind $\vec{0}$ obținem tot $\vec{0}$ — exemplul 7.1.

Pasul 2 — dreapta și săgeata albastră ($V_1$). Vectorii paraleli cu o dreaptă dată, depuși din origine. Suma a doi astfel de vectori și orice multiplu $\alpha \vec{a}$ rămân pe dreaptă — exemplul 7.2.

Pasul 3 — planul și săgeata verde ($V_2$). Vectorii paraleli cu un plan dat. Diagonala paralelogramului construit pe doi vectori din plan este tot în plan, iar $\alpha \vec{a}$ păstrează direcția lui $\vec{a}$ — exemplul 7.3.

Pasul 4 — lanțul. Punctul e pe dreaptă, dreapta e în plan, planul e în spațiu: $\{\vec{0}\}\subset V_1\subset V_2\subset V$. Fiecare treaptă conține vectorul nul, cum cere orice subspațiu.

Pe ce se bazează: condițiile 1) și 2); Regula paralelogramului (închiderea față de adunare); definiția 5.1 (închiderea față de înmulțire); Vectori coplanari.

Ce să verificați singuri pe figură: (1) suma a doi vectori din planul figurii nu poate „ieși” în sus din plan — diagonala rămâne în plan; (2) vectorii de modul cel mult $1$ (un disc în jurul punctului portocaliu) nu formează subspațiu: dublul unui vector de modul $1$ iese din disc (întrebarea 2).

4. Exemplul 7.4 — acoperirea liniară $L(\vec{a},\vec{b})$

Exemplul 7.4

Fie $\vec{a},\vec{b}\in V$ doi vectori necoliniari. Considerăm mulțimea tuturor vectorilor de forma $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, unde $\alpha$ și $\beta$ sunt numere reale arbitrare. Această mulțime satisface condițiilor 1) și 2) și, prin urmare, este un subspațiu al spațiului $V$. Acest spațiu se notează de obicei prin $L(\vec{a},\vec{b})$.

Afirmație. Fie $\pi$ un plan paralel cu vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$. Atunci $L(\vec{a},\vec{b})$ este mulțimea acelor și numai acelor vectori ai spațiului $V$ care sunt paraleli cu planul $\pi$.

Demonstrație.

(⊆) Pentru orice valori $\alpha$ și $\beta$, vectorii $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$, $\vec{a}$ și $\vec{b}$ sunt liniar dependenți și deci coplanari (teorema 6.11), dar atunci $\vec{p}\parallel \pi$.

(⊇) Invers, orice vector $\vec{p}\parallel \pi$ este coplanar cu vectorii $\vec{a}$ și $\vec{b}$ și, prin urmare, este o combinație liniară a vectorilor $\vec{a}$ și $\vec{b}$ (teorema 6.9). $■$

fig. T1 — exemplul 7.4: cele două incluziuni, $L(\vec{a},\vec{b})\subseteq$ și $\supseteq$ vectorii paraleli cu $\pi$

Cum se citește figura — exemplul 7.4

Pasul 1 — stânga, datele. În planul gri $\pi$: $\vec{a}$ (albastru) și $\vec{b}$ (portocaliu), necoliniari, din $O$.

Pasul 2 — stânga, incluziunea (⊆). O combinație $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$ se construiește cap la cap (punctat): $1,5\vec{a}$, apoi $1,2\vec{b}$. Violetul $\vec{p}$ rămâne în $\pi$ — teorema 6.11: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$ dependenți ⇒ coplanari.

Pasul 3 — stânga, contraexemplul (roșu). $\vec{q}$ iese din plan; nicio alegere a lui $\alpha$ și $\beta$ nu îl poate produce, deci $\vec{q}\notin L(\vec{a},\vec{b})$.

Pasul 4 — dreapta, incluziunea (⊇). Acum $\vec{p}$ (violet) este dat, paralel cu $\pi$. Prin vârful lui se duce paralela gri la $\vec{b}$ până la dreapta lui $\vec{a}$; bucățile punctate sunt $\alpha \vec{a}$ și $\beta \vec{b}$ — teorema 6.9.

Pasul 5 — concluzia. Stânga: tot ce generează $\vec{a}$ și $\vec{b}$ e în $\pi$. Dreapta: tot ce e paralel cu $\pi$ este generat. Deci $L(\vec{a},\vec{b})$ este exact mulțimea vectorilor paraleli cu $\pi$.

Pe ce se bazează: teorema 6.11 (pasul 2); teorema 6.9 (pasul 4); egalitatea a două mulțimi prin dublă incluziune (pasul 5).

Ce să verificați singuri pe figură: (1) drumul punctat din stânga (întâi paralel cu $\vec{a}$, apoi cu $\vec{b}$) are aceeași formă ca cel din dreapta — o construcție, citită în două sensuri; (2) dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$, paralela din dreapta nu mai întâlnește dreapta lui $\vec{a}$ și $L(\vec{a},\vec{b})$ ar fi doar o dreaptă (întrebarea 4).

Ce spune, de fapt, exemplul 7.4

Doi vectori necoliniari generează exact planul lor de direcție — nici mai mult, nici mai puțin. Cele două incluziuni sunt tocmai teoremele 6.11 și 6.9, puse față în față. Este primul exemplu de bază a unui subspațiu.

Pas cu pas — de ce demonstrația are exact două părți

Afirmația este o egalitate de mulțimi: $L(\vec{a},\vec{b})=\{\vec{p}\mid \vec{p}\parallel \pi \}$. Două mulțimi sunt egale când fiecare e inclusă în cealaltă — de aici cele două părți.

Partea 1 ($\subseteq$) — „nu ieșim din plan”.

• luăm un element oarecare al lui $L(\vec{a},\vec{b})$, adică $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$;
• rescriem: $\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}+(-1)\vec{p}=\vec{0}$ — o combinație netrivială (coeficientul $-1$!);
• deci $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$ sunt liniar dependenți, deci coplanari (teorema 6.11);
• fiind coplanari cu $\vec{a}$ și $\vec{b}$, rezultă $\vec{p}\parallel \pi$.

Partea 2 ($\supseteq$) — „acoperim tot planul”.

• luăm un $\vec{p}$ oarecare paralel cu $\pi$;
• atunci $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{p}$ sunt coplanari, iar $\vec{a}$, $\vec{b}$ sunt necoliniari;
• teorema 6.9 dă $\vec{p}=\alpha \vec{a}+\beta \vec{b}$;
• deci $\vec{p}\in L(\vec{a},\vec{b})$.

Ce demonstrează fiecare parte. Partea 1 arată că mulțimea generată nu e prea mare (nu iese din plan). Partea 2 arată că nu e prea mică (prinde tot planul). Împreună: exact planul.

5. Bilanț: unde suntem

graph TD
  A["§3 Vectori<br/>obiectul"] --> B["§4 Adunarea<br/>prima operație"]
  A --> C["§5 Înmulțirea cu un număr<br/>a doua operație"]
  B --> D["§6 Dependența liniară<br/>ce se poate construi"]
  C --> D
  D --> E["§7 Spațiu vectorial<br/>structura"]
  B --> E
  C --> E

Întrebări de control

1. Verificați direct condițiile 1) și 2) pentru $V_1$ (vectorii unei drepte).
2. Este mulțimea vectorilor de modul $1$ un subspațiu? Dar mulțimea vectorilor de modul cel mult $1$?
3. De ce orice subspațiu conține obligatoriu $\vec{0}$?
4. Ce este $L(\vec{a})$ pentru un singur vector nenul $\vec{a}$? Dar $L(\vec{a},\vec{b})$ dacă $\vec{a}\parallel \vec{b}$?
5. Câte subspații ale lui $V$ puteți enumera, „ca tip”?

Legături

• Anterior: Coliniaritate, coplanaritate și dependență liniară
• Continuare: Spațiul V2. Vectori coplanari și dimensiunea planului (§9; §8 neconspectat)
• Concepte: Spațiu vectorial, Combinație liniară
• Recapitulare: Recapitulare — vectori