Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice

1. Descompunerea vectorului după axe

Fie pe planul de coordonate un vector $a$ . Îl translăm cu originea în originea de coordonate: $a = O A$ . Descompunem acest vector după vectorii de bază ai reperului $R$ :

a = O A = O A_{1} + O A_{2} = x e_{1} + y e_{2} (1)

Reprezentarea (1) se mai numește descompunerea vectorului $a$ după axele de coordonate ale sistemului $(x O y)$ , iar $x$ , $y$ se numesc coordonatele vectorului $a$ în raport cu acest sistem și se notează $a = {x; y}$ .

figură fig. 1 (după fig. 44 din manual) — $O A$ este diagonala paralelogramului $O A_{1} A A_{2}$ , cu laturile pe axe

Cum se citește figura — descompunerea după axe

Pasul 1 — vectorul de descompus. Săgeata violetă $a = O A$ pleacă din origine. Dacă $a$ ar fi desenat altundeva, primul gest este să-l mutați cu originea în $O$ .

Pasul 2 — liniile punctate. Din vârful $A$ se duc paralele la axe: paralela la $(O y)$ taie $(O x)$ în $A_{1}$ ; paralela la $(O x)$ taie $(O y)$ în $A_{2}$ . Se formează paralelogramul $O A_{1} A A_{2}$ .

Pasul 3 — cele două componente. Săgeata albastră $O A_{1}$ stă pe $(O x)$ ; săgeata portocalie $O A_{2}$ stă pe $(O y)$ . Prin regula paralelogramului, $O A = O A_{1} + O A_{2}$ .

Pasul 4 — numărați unitățile. Pe $(O x)$ , $O A_{1}$ cuprinde de 3 ori vectorul scurt $e_{1}$ ; pe $(O y)$ , $O A_{2}$ cuprinde de 2 ori $e_{2}$ . Deci $a = 3 e_{1} + 2 e_{2} = {3; 2}$ .

Pe ce se bazează: teorema 6.9 (existența și unicitatea descompunerii — construcția ei este exact paralelogramul de aici) și teorema 5.3 ( $O A_{1} ∥ e_{1} \Rightarrow O A_{1} = x e_{1}$ ).

Ce să verificați singuri pe figură: măsurați cu rigla $∣ O A_{1} ∣$ și $∣ e_{1} ∣$ — raportul lor trebuie să fie $3$ .

2. Proiecțiile geometrice

Definiția 10.2

Vectorii $O A_{1}$ și $O A_{2}$ se numesc proiecții geometrice ale vectorului $O A = a$ pe axele $(O x)$ și, respectiv, $(O y)$ . Se notează
$O A_{1} = P_{(O x)} O A, O A_{2} = P_{(O y)} O A$

Proiecția pe o axă se face paralel cu cealaltă axă

Într-un sistem afin, proiecția pe $(O x)$ nu este perpendiculara coborâtă pe $(O x)$ , ci paralela la $(O y)$ . Proiecția „perpendiculară” (ortogonală) coincide cu aceasta numai când axele sunt perpendiculare (reper rectangular). Aceasta este cea mai frecventă greșeală la începutul capitolului.

3. Proiecțiile algebrice

Evident, coordonatele $x$ și $y$ ale vectorului $a$ în raport cu $(x O y)$ se pot determina astfel:

x = \frac{O A _{1}}{e _{1}} = \frac{P _{(O x)} O A}{e _{1}}, y = \frac{O A _{2}}{e _{2}} = \frac{P _{(O y)} O A}{e _{2}} (2)

Ce este fracția dintre doi vectori

$\frac{O A _{1}}{e _{1}}$ este raportul a doi vectori coliniari (definiția 5.2): un număr al cărui modul arată de câte ori e mai lung $O A_{1}$ decât $e_{1}$ , iar semnul — dacă au același sens ( $+$ ) sau sensuri opuse ( $-$ ).

Definiția 10.3

Coordonatele $x$ și $y$ ale vectorului $a$ se mai numesc proiecții algebrice ale acestui vector pe axele de coordonate $(O x)$ și $(O y)$ . Se notează
$x = pr_{(O x)} a, y = pr_{(O y)} a$

	Proiecția geometrică $P_{(O x)} a$	Proiecția algebrică $pr_{(O x)} a$
Ce este	un vector (situat pe axă)	un număr
Legătura	$P_{(O x)} a = x e_{1}$	$x = \frac{P _{(O x)} a}{e _{1}}$
Exemplu (fig. 1)	$O A_{1} = 3 e_{1}$	$3$

4. Teorema 10.4 — proiecția sumei

Teorema 10.4

Proiecția sumei a doi vectori $a$ și $b$ pe axa dată $u$ este egală cu suma proiecțiilor, indiferent de tipul proiecției (geometrică sau algebrică).

Demonstrație. Fie $u$ o axă cu originea în punctul $O$ și vectorul unitar $e$ . Fixăm un punct arbitrar $A$ și construim vectorii $A B = a$ și $B C = b$ . Atunci $A C = a + b$ .

Proiectăm punctele $A$ , $B$ și $C$ pe axă paralel unei direcții (în cazul axelor $(O x)$ și $(O y)$ , proiectarea pe o axă se face paralel celeilalte). Pentru punctele obținute $A_{1}$ , $B_{1}$ și $C_{1}$ avem $A_{1} C_{1} = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1}$ , deci

P_{u} (a + b) = P_{u} a + P_{u} b (3)

După (2) și (3) avem:

pr_{u} (a + b) = \frac{P _{u} ( a + b )}{e} = \frac{P _{u} a + P _{u} b}{e} = pr_{u} a + pr_{u} b (4)

$■$

figură fig. 2 — triunghiul $A B C$ se proiectează pe axa $u$ paralel cu o direcție fixată

Cum se citește figura — teorema 10.4

Pasul 1 — triunghiul de sus. Săgețile $A B = a$ (albastru) și $B C = b$ (portocaliu) sunt puse cap la cap; săgeata violetă $A C$ închide triunghiul, deci $A C = a + b$ (regula triunghiului).

Pasul 2 — direcția de proiectare. Săgeata gri din colțul dreapta-sus arată direcția fixată. Toate cele trei linii punctate $A A_{1}$ , $B B_{1}$ , $C C_{1}$ sunt paralele cu ea.

Pasul 3 — umbrele de pe axă. Fiecare vârf „cade” pe axa $u$ : $A \to A_{1}$ , $B \to B_{1}$ , $C \to C_{1}$ . Pe axă apar tot o săgeată albastră $A_{1} B_{1}$ și una portocalie $B_{1} C_{1}$ , cap la cap.

Pasul 4 — suma de pe axă. Săgeata violetă de sub axă, $A_{1} C_{1}$ , pornește din $A_{1}$ și se termină în $C_{1}$ — exact acolo unde se termină cele două săgeți puse cap la cap. Deci $A_{1} C_{1} = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1}$ : relația (3).

Pasul 5 — de la vectori la numere. Împărțind fiecare săgeată de pe axă la vectorul unitar $e$ , lungimile cu semn se adună la fel — relația (4).

Pe ce se bazează:

pasul 1 — regula triunghiului;

pasul 4 — relația lui Chasles aplicată punctelor $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ de pe axă — valabilă și pentru puncte coliniare;

pasul 5 — regula de calcul $\frac{p + q}{e} = \frac{p}{e} + \frac{q}{e}$ pentru vectori coliniari.

Ce să verificați singuri pe figură: schimbați mental direcția de proiectare (înclinați liniile punctate altfel). Punctele $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ se mută, dar $C_{1}$ rămâne tot la capătul săgeților $A_{1} B_{1}$ și $B_{1} C_{1}$ — relația nu depinde de direcția aleasă.

Pas cu pas — de ce demonstrația e atât de scurtă

Pasul 1 — ideea-cheie. Proiectarea transformă un triunghi „cap la cap” în trei puncte coliniare $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ — și păstrează ordinea „cap la cap”: capătul lui $A_{1} B_{1}$ este începutul lui $B_{1} C_{1}$ .

Pasul 2 — Chasles nu cere triunghi. Relația $A_{1} C_{1} = A_{1} B_{1} + B_{1} C_{1}$ e adevărată pentru orice trei puncte, deci și pentru cele trei puncte coliniare de pe axă.

Pasul 3 — traducem. $A_{1} C_{1}$ este proiecția lui $A C = a + b$ ; $A_{1} B_{1}$ — a lui $a$ ; $B_{1} C_{1}$ — a lui $b$ . Obținem (3).

Pasul 4 — trecem la numere. Toți vectorii din (3) sunt pe axa $u$ , deci coliniari cu $e$ ; împărțim fiecare termen la $e$ și obținem (4).

Unde intervine „indiferent de tipul proiecției”. (3) e varianta pentru proiecția geometrică (vectori), (4) — pentru cea algebrică (numere). Teorema le acoperă pe amândouă.

Notație — precizare față de manual

În manual, relația (3) și numărătorii din (4) sunt tipărite cu $pr_{u}$ . Pentru a respecta definițiile 10.2 și 10.3, am scris $P_{u}$ acolo unde este vorba de vectori: numai un vector poate fi împărțit la vectorul $e$ (raport de vectori coliniari). Rezultatul matematic este același.

Întrebări de control

De ce, pentru a găsi coordonatele unui vector, trebuie întâi adus cu originea în $O$ ?
În ce reper proiecția pe $(O x)$ paralelă cu $(O y)$ coincide cu proiecția perpendiculară?
Ce semn are $pr_{(O x)} a$ dacă $P_{(O x)} a$ și $e_{1}$ sunt opus orientate?
Generalizați teorema 10.4 la suma a trei vectori. Ce regulă de adunare folosiți?
Arătați că $pr_{u} (- a) = - pr_{u} a$ .

Legături

Anterior: Orientarea planului, a poligoanelor și a unghiurilor
Continuare: Operații cu vectori în coordonate
Se sprijină pe: Raportul a doi vectori coliniari, Descompunerea unui vector după doi vectori necoliniari
Concepte: Proiecția unui vector

Conspecte

Cursuri

Coordonatele vectorului. Proiecții geometrice și algebrice

1. Descompunerea vectorului după axe

2. Proiecțiile geometrice

3. Proiecțiile algebrice

4. Teorema 10.4 — proiecția sumei

Întrebări de control

Legături

Graf

Cuprins

Legături înapoi

Îți sunt utile notițele?